limiti notevoli e derivate, Schemi e mappe concettuali di Matematica

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Allo stesso modo si dimostra quest’altro limite notevole:

Limiti notevoli

Altri limiti notevoli: y

& mm

Punti di discontinuità e di singolarità

f(x) , definita in x 0 e in un suo inorno, non è continua in x 0 se lim f(x) = f(x 0 ). Diciamo allora che x 0 è un punto di discontinuità di f(x). È possibile classificare i punti di discontinuità di una funzione in tre categorie: di prima specie, di seconda specie e di discontinuità eliminabile. Punti di discontinuità di prima specie Un punto x 0 del dominio di una funzione f(x) è un punto di discontinuità di prima specie per f(x) quando, per x x 0 , il limite destro e il limite sinistro di f(x) sono entrambi finiti , ma diversi fra loro limx x 0 f(x) = l = lim f(x) = l (^1) x x 0 2 La differenza | l - l 1 (^) 2 | è il salto della funzione Punti di discontinuità di seconda specie Un punto x 0 del dominio di una funzione f(x) si dice punto di discontinuità di seconda specie per f(x) quando per x x 0 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f(x) è infinito oppure non esiste Punti di discontinuità eliminabile Un punto x del dominio di una funzione f(x) si dice punto di discontinuità eliminabile per f(x) quando: esiste definito il limite di f(x) per x x 0 , ossia limx x 0 f(x) = l f(x 0 ) = l Punti singolari esempio (^) si tratta di una discontinuità eliminabile perchè togliendo l’indeterminazione otteniamo un valore finito (se dovessimo trovare un valore infinito rientreremmo nella seconda specie) y = sin x x D: x = 0 lim x 0 sin x x =^

F.I.

In questo caso è possibile prolungare la funzione scrivendo: f (x)= sin x x x = 0 1 x = 0 questo perchè esiste il valore del limite anche quando la x tende a 0, dunque noi prolunghiamo la funzione anche fuori dal dominio, in quanto sappiamo che vale 1 Questi concetti possono essere estesi anche appunti che non appartengono al dominio della funzione, a condizione che siano punti di accumulazione. Chiamiamo punti singolari (o di singolarità) sia questi punti sia i punti di discontinuità. I

• Y · = I

Y

is · E / Y

Asintoti

Una retta è un asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando la ascissa o l’ordinata del punto tendono a +∞ o -∞ Gli asintoti possono essere verticali, orizzontali, obliqui. Asintoto verticale La retta di equazione x = x è un asintoto verticale del grafico di una funzione se al tendere di x a x o a x , la funzione tende a + ∞ o - ∞

0 0 -^ + 0

Se è soltanto il limite sinistro è infinito si ha una asintoto verticale sinistro , mentre se è soltanto il limite destro è infinito si ha un asintoto verticale destro Asintoto orizzontale La retta di equazione y = l è un asintoto orizzontale del grafico di una funzione f(x) se lim f(x) = l. Anche in questo caso si parla di asintoto orizzontale destro se x tende a + ∞ , o di asintoto orizzontale sinistro se x tende - ∞. x ∞ Il grafico di una funzione può avere contemporaneamente un asintoto orizzontale destro e un asintoto orizzontale sinistro distinti tra loro se: Asintoti obliqui La retta di equazione y = mx + q, con m = 0, è asintoto obliquo per il grafico di una funzione f(x) se lim [ f(x)- (mx + q) ] = 0 x ∞ Se la condizione è soddisfatta solo per x che tende a +∞, partiamo di asintoto obliquo destro , se invece è soddisfatta solo per x che tende a -∞, parliamo di asintoto obliquo sinistro La definizione di asintoto obliquo potremmo anche esprimerla dicendo che la distanza tra il punto P del grafico e il punto Q (con la stessa ascissa di P ) della retta y = mx + q deve tendere a zero quando x tende a + ∞ o a - ∞ Con questa seconda definizione dimostriamo che la distanza PH di P dall’asintoto tende a 0

I

• (^) & / > I
• (^) &

Le Derivate

Uno dei problemi che portò al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto. Nel caso ad esempio della parabola basta scrivere il sistema fra l’equazione y - y = m( x - x ) del fascio di rette passanti per il punto P (x ; y ) e l’equazione della parabola, ponendo la condizione 0 Δ=0 nell’equazione risolvente (^0 ) 0 In generale, però questo metodo non può essere applicato dunque, basandoci sul concetto di limite possiamo affermare che: La retta tangente a una curva in un punto P e la retta limite, se esiste, a cui tendono le secanti PQ al attendere di Q a P (sia da destra sia da sinistra) Rapporto incrementale Dati una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b] e un punto del suo grafico A (c; f(c)), incrementiamo l’ascissa di A di una quantità h = 0 e così otteniamo il punto B di coordinate: Sia c sia c + h devono appartenere all’intervallo (a;b), ovvero essere interni all’intervallo [a;b]. h può essere positivo o negativo. Consideriamo gli incrementi: Dati una funzione y = f(x) , definita in un intervallo [a;b], e due numeri reali c e c+h (con h = 0) interni all’intervallo, il rapporto incrementale di f(x) nel punto c è il numero Considerati A e B il rapporto incrementale di f nel punto c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B Derivata di una funzione Consideriamo una funzione y = f(x) definita è un intervallo [a;b]. Del grafico consideriamo i punti A(c; f(c)) e B(c+h; f(c+h)). Il punto A è fissato, B varia al variare di h. Tracciamo la retta AB secante il grafico per diversi valori di h. Tracciamo inoltre la retta tangente al grafico in A Attribuendo a h valori sempre più piccoli, il punto B si avvicina sempre di più al punto A .quando h tende a 0, il punto B tende a sovrapporsi al punto A, e la retta secante AB tende a diventare la retta tangente alla curva in A. Di conseguenza il coefficiente angolare della retta secante AB (il rapporto incrementali dal punto C) tende al coefficiente angolare della tangente che viene chiamato derivata della funzione nel punto c. Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b], la derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, che indichiamo con f ’(c) , è il limite se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c. I /

Una funzione viene detta derivabile in un punto C se esiste la derivata f ’(c). Quindi: la funzione è definita in un intorno del punto c esistono il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a zero, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono questo limite è un numero finito La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c. Possiamo calcolare la derivata di una funzione anche in un punto generico x. In questo caso otteniamo un’espressione in funzione di x, che indichiamo con f ’(x) e parliamo di funzione derivata Anche per le derivate, come per i limiti, possiamo definire la derivata sinistra e la derivata destra di una funzione: Da un punto di vista geometrico, sei in un punto c le derivate destre e sinistra sono diverse , significa che nel punto ci sono due tangenti diverse Una funzione è derivabile in un punto se esistono finite e uguali tra loro la derivata sinistra e la derivata destra Una funzione y= f(x) è derivabile in un intervallo chiuso [a;b] se derivabile in tutti i punti interni di [a;b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b Continuità e derivabilità Una funzione può essere continua in alcuni punti del dominio, ma non derivabile. Invece, il caso inverso viene escluso dal seguente teorema: Se una funzione f(x) è derivabile nel punto x 0 , in quel punto la funzione è anche continua TEOREMA Ipotesi (^) lim f(x + h) - f(x ) h = f ’(x ) 0 (^0 0 ) h 0 Tesi lim^ f(x) = f(x ) 0 x x Nella dimostrazione del teorema vediamo che la scrittura lim f(x + h)=f(x ) è equivalente a lim f(x) = f(x ). lim f(x + h) = f(x ) h 0 Quindi possiamo dare un’altra definizione di funzione continua: 0 0 0 0 0 x x^0 h 0 ~ 7

i

Derivata del reciproco di una funzione Derivata del quoziente di due funzioni Derivata della funzione tangente e della funzione cotangente

Derivata di una funzione composta

Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile nel punto z= g(x), allora la funzione composta y= f(g(x)) è derivabile in x e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a g e di g rispetto a x: D[ f(g(x)) ]= f ’(g(x)) g’(x)

Derivata della funzione inversa

Consideriamo la funzione y= f(x) definita e invertibile nell’intervallo I e la sua funzione inversa x=f (y). Se f(x) è derivabile nel punto x appartenente a I con f ’(x) = 0 , allora anche f (y) è derivabile nel punto y=f(x) e vale la relazione: D[ f (y) ] =

-

1 f ’(x) -1 con x= f (y) Derivata di ordine superiore al primo Quando svolgiamo la derivata della derivata prima otteniamo la derivata seconda , continuando con questo procedimento possiamo ottenere la derivata terza e così via. La derivata di ordine n di una funzione la indichiamo con y(n) &

↓ ↓ I

Differenziale di una funzione

Il differenziale di una funzione f(x) , relativo al punto x e all’incremento Δx, è il prodotto della derivata della funzione, calcolata in x, per l’incremento Δx. Il differenziale viene indicato con df(x) oppure con dy dy = f ’(x) Δx dipende dal punto x e dall’incremento Δx Consideriamo la funzione y=x , il differenziale è: dy = dx = 1 Δx dx = Δx quindi il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della variabile stessa sostituendo nella definizione : dy = f ’(x) dx il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della sua derivata per il differenziale della variabile indipendente ricavando dall’ultima equazione f ’(x): f ’(x) = dy dx la derivata prima di una funzione è dunque il rapporto fra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente Quest’ultima equazione è utile per le funzioni in cui compaiono oltre a x anche altri parametri Interpretazione geometrica del differenziale

I A

Punti di non derivabilità

Può accadere che una funzione f(x) sia continua in un punto x 0 , ma non sia derivabile (ovvero in x 0 non esiste finito il limite del rapporto incrementale). Questi punti possono essere classificati in: flessi a tangente verticale, cuspidi e punti angolosi. Flessi a tangente verticale Dai grafici, vediamo che il coefficiente angolare delle secanti, ossia il rapporto incrementale della funzione per x c, tende a +∞ sia da destra sia da sinistra. Poiché per definizione il limite del rapporto incrementale deve essere un valore finito la funzione non è derivabile in c. In particolare, nei casi rappresentati in figura sia il limite destro che il limite sinistro tendono entrambi o a +∞ (figura a) o a - ∞, quindi parliamo di flessi a tangente verticale o flessi a tangente parallela all’asse y Cuspidi In questo caso, in x=c la funzione è continua, ma non è derivabile. Quando come in figura il limite destro e il limite sinistro sono infiniti e di segno opposto , i punti di non derivabilità prendono il nome di cuspidi. Punti angolosi Parliamo di punti angolosi, quando il limite destro e quello sinistro del rapporto incrementale sono diversi tra loro e almeno uno ha un valore finito

Criterio di derivabilità

Il criterio esprime una condizione sufficiente ma non necessaria per la derivabilità. Possono esistere infatti delle funzioni derivabili che non rispettano queste condizioni. Y

Teorema di Lagrange

interpretazione geometrica Essendo y = f(x) derivabili nell’intervallo aperto (a;b), nel grafico tutti i punti sono dotati di una retta tangente. Secondo il teorema deve esistere almeno un punto c per il quale la retta tangente sia parallela alla secante passante per gli estremi A e B della funzione. La tangente al grafico nel punto di ascissa C ha coefficiente angolare f ’(c). Considerando il triangolo rettangolo ABH il coefficiente angolare di AB è: Dunque, se come afferma il teorema di Lagrange, la tangente in c alla curva è parallela ad AB, vale la relazione: Come già affermato per il teorema di Rolle, anche il teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un punto c, ma nulla vieta che ne possano esistere più di uno. Inoltre se non vengono rispettate tutte le ipotesi del teorema, questo non vale, ma potrebbero comunque esistere dei punti in cui si verifica la condizione espressa dal teorema. L

Conseguenze del teorema di Lagrange

Funzioni crescenti e decrescenti e derivate

Data una funzione y= f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I: se f ’(x) > 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è crescente in I se f ’(x) < 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è decrescente in I L’intervallo I può essere sia limitato sia illimitato. Questo teorema è una condizione sufficiente per affermare che una funzione è crescente o decrescente in un intervallo Il teorema può essere invertito: Data una funzione y = f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I: se f(x) è crescente in I, allora f ’(x)>0 per ogni x interno a I se f(x) è decrescente in I, allora f ’(x)<0 per ogni x interno a I

· S S

Massimi, minimi e flessi

Massimi e minimi assoluti Data una funzione y = f(x) il cui dominio è D, un punto x 0 appartenente a D è un punto di massimo assoluto se f(x)f(x 0 ) per ogni x appartenente a D. Il valore f(x 0 ) = m è il minimo assoluto della funzione Massimi e minimi relativi Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b], x 0 appartenente ad [a;b] è un punto di massimo relativo se esiste un intorno I del punto x 0 tale che f(x 0 ) > f(x) per ogni x dell’intorno I. Il valore f(x 0 ) è detto massimo relativo della funzione in [a;b] Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b], x 0 appartenente ad [a;b] è un punto di minimo relativo se esiste un intorno I del punto x 0 tale che f(x 0 ) < f(x) per ogni x dell’intorno I. Il valore f(x 0 ) è detto minimo relativo della funzione in [a;b] I punti di massimo e minimo assoluti di una funzione si dicono anche punti di estremo assoluto, che se esistono sono unici. L’intorno di x 0 deve avere le seguenti caratteristiche: se x 0 è interno all’intervallo [a;b], l’intorno di x 0 deve essere completo se x 0 coincide con a, l’intorno di x 0 è destro se x 0 coincide con b, l’intorno di x 0 è sinistro Una funzione può avere più punti di massimo o minimo relativi che vengono chiamati punti estremanti relativi di f(x). I valori assunti dalla funzione in questi punti si chiamano estremi relativi di f(x). Inoltre un punto di estremo assoluto è anche un punto di estremo relativo, ma non è sempre vero il viceversa Concavità Considerando la funzione y= f(x), definita e derivabile nell’intervallo (a;b), e la retta di equazione y = t(x), tangente al grafico nel suo punto di ascissa x 0 , interno all’intervallo (a;b), diciamo che: La funzione f(x) in x 0 ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y ( verso l’alto ) se esiste un intorno completo I di x 0 tale che, per ogni x appartenente all’intorno e diverso da x 0 , la funzione assume valori maggiori di quelli di t(x) nei punti aventi la stessa ascissa: f(x) > t(x) ∀ x ∈ - {x 0 } La funzione f(x) in x 0 ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle y ( verso il basso ) se esiste un intorno completo I di x 0 tale che, per ogni x appartenente all’intorno e diverso da x 0 , la funzione assume valori minori di quelli di t(x) nei punti aventi la stessa ascissa: f(x) < t(x) ∀ x ∈ - {x 0 } Funzione convessa (^) Funzione concava I

:

Flessi Se la funzione è derivabile nel punto di flesso, esiste la tangente in quel punto ed è obliqua o parallela all’asse x; invece se la derivata è infinita, la tangente è parallela all’asse y. La tangente in un punto di flesso viene anche detta tangente inflessionale e ha la caratteristica di attraversare la curva. Il flesso viene detto: orizzontale se la tangente nel punto di flesso è parallela all’asse x vericale se la tangente è parallela all’asse y obliquo se la tangente non è parallela a uno degli assi ascendente se ha la concavità verso il basso a sinistra e verso l’alto a destra discendente se ha la concavità verso l’alto a sinistra e verso il basso a destra

Massimi, minimi, flessi orizzontali e derivata prima

Noi sappiamo che data una funzione derivabile y= f(x) in un suo punto x=c, se f ’(c)=0 , allora x=c è un punto stazionario. In quanto tale la tangente nel punto è parallela all’asse x (f ’(c)=0, quindi m=0)

Teorema di Fermat

Il teorema di Fermat afferma quindi che i punti di massimo e di minimo relativi di una funzione derivabili sono punti stazionari. Il teorema fornisce una condizione necessaria per l’esistenza di un massimo di un minimo relativo ma non sufficiente. Infatti potrebbe accadere che in un punto di una funzione derivabile la tangente sia parallela all’asse x ma in quel punto non ci sia né un massimo né un minimo. Inoltre, il teorema parla dei punti interni all’intervallo di definizione, quindi per gli estremi dell’intervallo, la condizione non è necessaria; la stessa cosa vale quando viene a mancare l’ipotesi della derivabilità in punti interni dell’intervallo. Quindi i punti di massimo e di minimo in una funzione vanno ricercati tra: i punti interni all’intervallo in cui f ’(x)= gli estremi dell’intervallo i punti in cui la funzione non è derivabile I