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MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
15 Luglio 2004
Esercizio A (A1+A2+A3+A4+A5) B C D (D1+D2)
Punti (12=2+2+3+3+2) (4) (7) (7=4+3)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) =
x √ x^2 − 1
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
Dom f =
x ∈ R : x
2 − 1 > 0
La funzione non si annulla mai, `e positiva in (−∞, −1) e negativa in (1, +∞).
A2. calcolare i limiti necessari per capirne l’andamento ed eventuali asintoti:
lim x→−∞
f (x) = − 1
lim x→+∞
f (x) = 1
lim x→− 1 −^
f (x) = −∞
lim x→ 1 +^
f (x) = +∞.
Le rette x = − 1
− e x = 1
sono asintoti verticali, mentre la retta y = 1 `e un asintoto orizzontale per
x → +∞ e y = −1 `e un asintoto orizzontale per x → −∞.
A3. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f :
f
′ (x) =
x^2 − 1 − x
2 x 2
√ x^2 − 1
x^2 − 1
x
2 − 1 − x
2
√ (x^2 − 1)^3
(x^2 − 1)^3
La derivata prima non si annulla mai ed e sempre negativa; quindi la funzionee sempre decrescente
nel suo dominio.
A4. studiare la concavit`a della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
f
′′ (x) =
3 2
x^2 − 1 2x
(x^2 − 1)^3
3 x √ (x^2 − 1)^5
La derivata seconda non si annulla mai, `e positiva in (1, +∞) e negativa in (−∞, −1). La funzione
rivolge la concavit`a verso l’alto in (1, +∞) e verso il basso in (−∞, −1).
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
6
y
x
0
x=
x=-
y=
y=-
A.5 disegnare il grafico di f.
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
ln 1. 03
Per ottenerlo consideriamo lo sviluppo di punto iniziale x = 1 ed incremento h = 0, 03.
f (x) = ln x f (1) = 0
f
′ (x) =
1 x
f
′ (1) = 1
f ′′(x) = −
1 x^2
f ”(1) = − 1
f
′′′ (x) =
2 x^3
f
′′′ (1) = 2
e quindi il polinomio assume la forma
P 3 (x) = f (1) + f
′ (1) (x − 1) +
f
′′ (1)
(x − 1)
2
f
′′′ (1)
(x − 1)
3 = 0 + (x − 1) −
(x − 1)
2
(x − 1)
3
e quindi
ln 1, 03 ∼ P 3 (1, 03) = 0 + 0, 03 −
2
3
(ln 1, 03 = 0, 02558802... )
ESERCIZIO C
Calcolare il seguente integrale:
0
x √ x^2 + 3
2 e
x
dx
la matrice A ha rango 2.
IV) Se k = 2 la matrice A diviene
A =
e poich`e
la matrice A ha rango 2.
D2. Chiamare K l’insieme dei valori di k per cui il rango di A non `e massimo. Per ciascuno di questi
valori, discutere la compatibilit`a del sistema seguente e, qualora sia possibile, risolverlo:
A(k)
x
y
z
(^) con k ∈ K
I) Se k = 0 il sistema diviene
x
y
z
La sua matrice completa assume la forma
e poich`e
non e soddisfatto il teorema di Rouche -Capelli e quindi il sistema `e impossibile.
II) Se k = −1 il sistema diviene
x
y
z
La sua matrice completa assume la forma
e poich`e
e soddisfatto il teorema di Rouche -Capelli e quindi il sistema `e possibile con soluzioni data da
− 2 x = 2 − 2 z
−y = 5
z = λ
(x, y, z) = (λ − 1 , − 5 , λ).
III) Se k = 2 il sistema diviene
x
y
z
La sua matrice completa assume la forma
e poich`e
non e soddistatto il teorema di Rouche -Capelli e quindi il sistema `e impossibile.
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.
5
10
y
x
y=
y=-
x= -1 x= A.5 disegnare il grafico di f.
ESERCIZIO B
Calcolare il seguente integrale:
1
0
e
2 − 3 x
2 x + 1
x^2 + x + 1
dx
e
2 − 3 x
2 x + 1
x^2 + x + 1
dx = −
e
2 − 3 x
2
1
0
e
2 − 3 x
2 x + 1
x^2 + x + 1
dx =
[
e
2 − 3 x
2
] 1
0
3 e
e
2
ESERCIZIO C
Assegnata la matrice:
A =
k − 5 0 − 4
0 k 0
1 0 k
C1. discuterne il rango al variare di k.
|A| =
k − 5 0 − 4
0 k 0
1 0 k
= k
k − 5 − 4
1 k
= k (k
2 − 5 k + 4) = k (k − 1)(k − 4).
I) Se k = 0, k = 1 e k = 4 , |A| = 0 e la matrice A ha rango 3.
II) Se k = 0 la matrice A diviene
A =
e poich`e
∣ = 4^ = 0
la matrice A ha rango 2.
III) Se k = 1 la matrice A diviene
A =
e poich`e
la matrice A ha rango 2.
IV) Se k = 4 la matrice A diviene
A =
e poich`e
la matrice A ha rango 2.
C2. Chiamare K l’insieme dei valori di k per cui il rango di A non `e massimo. Per ciascuno di questi
valori, discutere la compatibilit`a del sistema seguente e, qualora sia possibile, risolverlo:
A(k)
x
y
z
(^) con k ∈ K
I) Se k = 0 il sistema diviene
e poich`e
e soddistatto il teorema di Rouche -Capelli e quindi il sistema `e possibile con soluzion date da:
− 4 x = 4z − 1
4 y = 3
z = λ
(x, y, z) =
1 − 4 λ
, λ
ESERCIZIO D
Considerare la funzione:
f (x, y) =
xy − y √ x + 1
e
y
D1. Determinare le derivate parziali prime di f.
∂f
∂x
y
x + 1 − (xy − y)
1 2
√ x+
x + 1
e
y
2 y(x + 1) − (xy − y)
2 (x + 1)
x + 1
e
y .
∂f
∂y
(x − 1)e
y
y
√ x + 1
D2. Determinare e disegnare il luogo degli zeri di f , ovvero l’insieme {(x, y) | f (x, y) = 0}
f (x, y) = 0 ⇔ xy − y + 0 ⇔ y (x − 1) = 0
e quindi sono le rette x = 1 e y = 0.
