Matematica derivate quarto anno, Schemi e mappe concettuali di Matematica

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DERIVATA DI UNA

FUNZIONE

X

Polth ---

Q x= f(x)f

:

RcR

x

X

=

M(x

xo)

• -- w

@

f(x0)

D

Ptf

x

f(x)

= m(X

xo)

---

⑧ I 

I

I

I

to

• Dom I TRAPPORTO

INCREMENTALE

P

xothl

(tol

I

h + 0 retta

p0--

=

f(xo +

h)

f(x)

xoth

3x

toth

• Xo

h

1

incremento

Se p coincide

con a

ho la rette

tangente

:

Timothy

f(x

=

m

(tangentel

<

DERIVATA PRIMA DI

PCX)

E

il limite

per

h o del

repporto

incrementale (

Si

indica con :

f(x)

Df(x

=

f(x)

X 1

Kelthe-----

X= xe

I

(

I

ex

P)

4) e

Parabola

fe

---

* I 

x

- G =

m(x

I

I

(

I

-htfl e

e

I

I

!

Toth

3x

Tim

h

ch-

=

e non

&

X

=

4(x

Y

• 4 - 4x + 8

= 0

=

V

= 4X + 4

La

Derivata

prima

di

una

funzione in

quel

punto

non

è altro

che

miovvero

il

coefficiente

angolare

,

di

quelle

funzione in

quel

punto.

DERIVATE FONDAMENTALI

1. CER

DICI

=

=>

D(0)

=

Y 1

tim

<- c

=

=

f(x)

=

f(x0th)

X = 2

I (

I

I

I

I

I

I

coth

x

Xo

dX

= x

D(X)

= 1

~ 1

X

= X

Tim

B

=

1

=

= 1

Pxoth)

1

f(xo)

X

To

3xo +h

s

OPERAZIONI CON LE DERIVATE

DERIVATA

DEL

PRODOTIO

DI UNA

COSTANTE

PER

UNA FUNZIONE

DIK.

f(x]

= k

.

f'(x)

DIMOSTRAZIONE

Rim

K

.

P(xth)

• K

e i

·

Timeh-fx]-[imp

. P(xth)

f(x

=

K e

DERIVATA

DELLA

SOMMA

DI FUNZIONI

DIf(x)

g(x]

=

1'(x)

g'()

DIMOSTRAZIONE

= Tim

N +

8(xthl]

If(x) +

y

=

fim

[f(x

+ h)

x

Egxthl -g

e

h

h-

↓Tim

-P

+lin

8(x

=

f(x)

g

DERIVATA DEL PRODOTTO DI FUNZIONI

DIf(x

·

g(x)

=

1(x)

·

g(x

+ f(x)

·

gc)

DIMOSTRAZIONE

limigathl-fagn

=

sottraiamo e sommiamo

glxthl

h - 0

limf(x

+h)

·

9(x

+ h)

g(x

+h)

.

f(x) +

g(x

+ h)

·

f(x)

f(x

·

gen

=

fim

9(x

+ h)

·

If (x +

h) -

f(x)]

+ 1x

.

[9(x

+ h)

ex]

=

Rim[ogcath)

Paxth)

• f(x

S

+him

[f(x)

9(xth

gx

h

h

0

Tim

g(xth)

.

Tim

fixth-1x

fim

f(x)

. Tim

94th

e

e

per

h ipotesi

h - 0

limg(x

h) =

g()

considero

im

f(x)

=

fx

=

g(x

. f(x) + f(x)

.

g'

Ca

DERIVATA DEL QUOZIONTE DI DUE FUNZIONI

DIG]

N

2x

.

gl

con

g(x

to

DIMOSTRAZIONE

x

=

f(x)

·

c

DIG]

=

DIfx

-gai]

=

fix

. x

fax)

.

DIgxi]

DIx]--

DIG]

=

11x

ga

fax

.

[ ]

DIG]

g

Ex

P(x)

STUDIO DI FUNZIONE CON MASSIMI, MINIMI E PUNTI DI FLESSO

X

V =

Ex +

A E

Dom

:

2x +

0 =

X + 0 =

00 O

too

M

·

in

·

lintersezione assi :

3-

B

x SE E

Y

= 0

Top

e

& 08

• S = 0 = S

= 0

<- - b

s

Al

+ B

02 B)

3

B

f o = o

3

B

3 +

B

O

I

I

N <

= x

6X + 4)

= ) X

3

BVX)

3 + E

t

O---

-O

t

t

D >

2X0 = X > P -------

X

t

• m --

t

t

ASINTOTI

asintoti verticali

lim **

=

+

x cot

X =

0

lim

x

+ 6X +

= - 00 xc

ex asin orizzontie =

E

non ci sono

im

o o

asintoto

obliquo m = lim(X

. F

lim (x%Gyts

1x 3

V

= 1x

si

e

MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE

Studio il

segno

della derivata

prima

di

f(x

v

6/(x)

• 2(x

6x +

ex-extex-

= EXs

(2xle

Y's0 =

ex

O

N

0 = 2x

870 = X

VXe +=

t

Dove la derivata

prima "

è

positiva

la funzione

f) cresce

,

mentre

DJ0 = 4X30 = VER

t

1

t

dove è

negativa

fix)

decresce

. X

t t

sostituisco

a f(x)

e non a

X

min

Massimo

: M

2 : f) =

MAX

MINIMO : m(

=

DERIVATE

FUNZIONI COMPOSTE

x

=

f(g(x)

<

x

=

g(x)

·

f'ga

ES

.

Incx

7

V

= In(x-

,

9(x

=

ex

. =

senstucal <x

=

I

coslIncal

=

If1]"

n[fa1]"

"

I'

ES.

x

=

(Xe

ex)3(X

=

3(X

+ 2x)

*-

.

(ex +

4X

• 1

x

= (n(ex

x)

3

X =

2x

• • X

Y

=

sen(5x)

> X =

5 Cos

(3x)

RETTA TANGENTE

ES

.

ri

V=

X

• 2x

A(

x sic

Ti

X

b

=

m(x

Xo)

!

.

P

X

=

m(x

m

<X

=

ex + e

m = 2(1) + 2

=

4

I X

=

4(X

X=

4X

ES

X

X

=

x

Plojo

ti x

=

m(X

-x

-m

=

54

=

X

= -

1(X

X

= -

X

ES.

x

= In(4(1)

=

x

= (n(4x

X

=

P(

0

8 X

ti

x 0

=

M(x

X

.

8x

=

4x

m

=

V

= -

8(x

Y= -

8X-

DERIVATA DI UNA FUNZIONE RECIPROCA

=

f(x)

RECIPROCO

< X

=

D(Ya)

=

fi

ES

.

V

=

Fe

=-

DERIVATA FUNZIONE INVERSA

Considero x=

f(x)

e

la

sua inversa x

=

fYx.

Se

f(x)

è derivabile

nel

punto

x

e I con l'(XIFO

,

allora

anche

1(X)

è

derivabile nel

panto

X

=

Sx

ovvero x

= 1 " (f(x)

.

Allora vale la relazione :

D(X

=

D(99)

= 1

DIfYx]

<Da

=

P

Overo :

DIf(x)

=

PYx)

con x

= fx

ES

.

INVERSA

X

=

arcsenx

X

=

Senx

Cosix =

1-Senix

I

I

Darcsenx)

=

D(seny"

cost

I 1-sens

Darcsenx)

=

1 -x

Cosx

1-Senix

I

W

IN

GENERALE

Darcsenf(x)

=

fi

(f)

Darccosx

=

--xe

-IN

GENERALE

: Dlarccosfax)

=

Pi

f(x)

Darctgx)

=

txe

IN

GENERALE

Darctgx)

=

I f(x1]e

f(x)

Darccotgx)

=

-Lxe

IN GENERALE

Darccotgx)

=

I f(x1]

=

RETTA

NORMALE

La retta

normale

a una curva

in un suo

punto

(to

è la retta

perpendicolare

alla

tangente

passante per

il

I

punto

, perciò

ha coefficiente

angolare

m

=

-l'Ed

L'equazione

della

retta normale al

grafico

di

1

in

Koif(xd)

è

quindi

:

V-

f(xd)

= -

f(xd(X

xd)

con

f(xo

.

Se

f'(xd

,

la

tangente

in

xo

è

parallela

all'asse

x

, quindi

la normale è

parallela

all'asse

Y

,

con

equazione

X

=

Xo

.