LE DERIVATE
Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a,b], e due diversi numeri reali c e c+ h
interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f il numero tale che
b / a = f (c + h) - f (c) / h
Il rapporto incrementale cil coefficiente angolare della retta passante per i punti A (c; f (c))
e B (c+h; f (c+h).
Si chiama derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, e si indica con f1 (c), il
limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale relativo a c:!
f1 (c) = lim f (c + h) - f (c) / h
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta
tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.
(La derivata può essere sinistra 0- o destra 0+).
Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in tutti i punti
interni all’intervallo e se esistono o sono finite la derivata di destra in a e la derivata sinistra
in b.
Data la funzione y = f (x) e un suo punto x = , se f1 (c) = 0 allora x = c si dice punto
stazionario o punto di tangente orizzontale.
Se una funzione f (x) è derivabile nel punto x0, in quel punto la funzione è anche continua.
Una funzione è continua se lim f(x0 + h) = f (x0).
Derivate notevoli:
Teoremi sul calcolo delle derivate:
-La derivata del prodotto di una costante k per una funzione derivabile f (x) è uguale al
prodotto della costante per la derivata della funzione: D [k * f(x)] = k * f1(x).
-La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabilli è uguale alla somma
algebrica delle derivate delle singole funzioni: D [f(x) + g(x)] = f1(x) + g1(x).
-La derivata del prodotto di due funzioni derogabili è uguale alla somma della derivata
della prima funzione moltiplicata per la seconda non derivata e della derivata della
seconda funzione moltiplicata per la prima non derivata: D [f(x) * g(x)] = f1(x) * g(x) +
f(x) * g1(x).
