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Lezione 3: Ancora sui vettori
Norma
Abbiamo detto che uno degli elementi che contraddistinguono un vettore `e la sua lunghezza. Allora incominciamo a vedere i vantaggi della rappresentazione dei vettori usando le coordinate e usiamole per determinare la lunghezza di un dato vettore.
Se prendiamo un qualsiasi vettore del piano u =
( x y
) quanto varr`a la sua lunghez-
za?
x 0
v
P=(x 0 ,y 0 )
O
y 0
Figura 26: Quanto vale la lunghezza di questo vettore?
Semplicemente sar`a uguale alla distanza del punto P dall’origine:
lunghezza di u = dist (O, (x, y)) =
√ x^2 + y^2.
Questa quantita nel “linguaggio degli spazi vettoriali” si chiama norma del vettore (e noi da ora in poi la chiameremo cosı) e si indica con ‖u‖ (norma del vettore u)
‖u‖ =
∥∥ ∥∥
( x y
)∥∥ ∥∥ =
√ x^2 + y^2.
Esempio 20 Se u =
( 3 − 1
) , allora ‖u‖ =
E chiaro quindi che in modo del tutto analogo possiamo definire lanorma di un vettore dello spazio u = OP, che non sara altro che la lunghezza del segmento OP e quindi la distanza del punto P dall’origine:
Se u `e un vettore dello spazio, quindi u =
x y z
, la sua norma (la sua lunghezza) `e
‖u‖ =
∥∥ ∥∥ ∥∥ ∥
x y z
∥∥ ∥∥ ∥∥ ∥
√ x^2 + y^2 + z^2.
Esempio 21 La norma del vettore u =
`e data da ‖u‖ = √1 + 1 + 4 = √6.
Questa quantita appena definita per i vettori del piano e dello spazio (la norma) verifica le seguenti proprieta:
Propriet`a della norma:
‖u‖ ≥ 0 per tutti i vettori u;
‖u‖ = 0 se e soltanto se u = 0 (vettore nullo);
‖λu‖ = |λ|‖u‖ per tutti i vettori u e per qualsiasi numero reale λ;
‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ (questa si chiama disuguaglianza triangolare).
Le prime due proprieta sono evidenti se pensiamo alla definizione in termini delle componenti, ma sono anche ovvie se pensiamo al significato della norma. La proprieta
- dice che la lunghezza
e un numero positivo e la 2) dice che l’unico vettore che ha lunghezza nullae il “vettore nullo”, cio quello che degenera in un punto. Proviamo a verificare la proprieta 3) nel caso dei vettori del piano (per i vettori dello spazio la verifica `e ovviamente del tutto analoga):
‖λu‖ =
∥∥ ∥∥
( λx λy
)∥∥ ∥∥ =
√ (λx)^2 + (λy)^2 =
√ λ^2 (x^2 + y^2 ) = |λ|
√ x^2 + y^2 = |λ|‖u‖.
Notate che nel far uscire λ^2 dalla radice abbiamo avuto l’accortezza di mettere il modulo (
λ^2 = |λ|). Per cio che riguarda la proprieta 4), la si pu`o verificare graficamente:
u
v u+v
lungo || v ||
lungo || v+u ||
lungo || u ||
Figura 27: Disuguaglianza triangolare
con i tre vettori ‖u + v‖, ‖u‖ e ‖v‖ si puo costruire un triangolo. La disuguaglianza triangolare (”triangolare” appunto!) dice semplicemente che in un triangolo la somma della lunghezza di due lati (‖u‖ + ‖v‖)e sempre maggiore della lunghezza del terzo
Esempio 24 In E^2 ci sono due versori “speciali”,
( 1 0
) e
( 0 1
)
. L’insieme formato da
questi due vettori, per un motivo che capiremo presto, si chiama base canonica di
E^2. Vi faccio notare che un qualsiasi vettore, diciamo
( 5 3
) , si pu`o ottenere usando i
due vettori della base canonica, ossia
( 5 3
) = 5
( 1 0
)
( 0 1
)
...ci torneremo. E chiaro che, analogamente, anche i vettori`
,
,
sono speciali (si dice che formano la base canonica di E^3 .)
Prodotto scalare
Introduciamo un’altra importante operazione tra vettori. Questa operazione che tra poco definiremo associa a due vettori un numero (uno scalare), contrariamente alle due operazioni definite finora il cui risultato e un vettore. Cerchiamo di capire con un esempio quali possone essere delle motivazioni per introdurre questa nuova operazione. Pensiamo di avere una situazione in cui delle forze (dei vettori) agiscono su un oggetto che pero e soggetto a dei vincoli (cioe non e libero di muoversi in qualsiasi direzione). Se noi vogliamo descrivere come agiscono queste forze, dobbiamo tener conto che i vettori che le rappresentano vengono “deviati dai vincoli”. Cerchero di essere un po’ meno generica:
Esempio 25 Se un oggetto di massa m viene lasciato in caduta libera, su questo agira una forza F = mg diretta lungo la direzione verticale e di intensita pari alla norma di F (‖F‖).
Figura 28: caduta libera
Ora se pero questo stesso oggettoe poggiato su un piano inclinato la velocita con cui cadra sara minore (cosı come la forza che agisce su di lui). Su questo agira una forza, F′, diretta nella direzione obligata dal vincolo, cioe quella del piano inclinato, e con un intensita che dovra dipendere dall’inclinazione del piano (`e chiaro a tutti che
Figura 29: vincolo
piu il pianoe inclinato piue difficile tener fermo l’oggetto). Vorremmo sapere pero come dedurre la norma di F′^ conoscendo quella di F. Se chiamiamo u il versore nella direzione del vincolo e α l’angolo che u ha con F, la forza risultante dall’azione del vincolo sara data dalla “proiezione” di F lungo la direzione u:
Figura 30: forza risultante
e quindi si avra ‖F′‖ = ‖F‖ cos α. Notate che questoe coerente con l’esperienza comune a tutti che gli oggetti poggiati su piani orizzontali stanno fermi (l’angolo α e di 90 gradi e quindi il cosenoe zero). L’operazione che vogliamo definire, e che servira in tanti altri contesti,e quella che in questa situazione associa ai vettori F e u il valore ‖F′‖.
Definizione 26 Dati due vettori u e v il prodotto scalare tra questi vettori (〈u, v〉) e dato da 〈u, v〉 = ‖u‖‖v‖ cos α dove 0 ≤ α ≤ πe l’angolo tra i due vettori.
Notazione: Una notazione alternativa molto usata per il prodotto scalare e u · v. Quindi se di due vettori conosciamo la lunghezza e l’angolo tra i due possiamo calcolarne il prodotto scalare. Un altro esempio notevole dell’uso del prodotto scalaree il calcolo del lavoro di una forza durante uno spostamento. Come tutti dovreste sapere, il lavoro compiuto da una forza e pari alla forza per lo spostamento. Ebbene, il “per” in questa affermazione none altro che il prodotto scalare tra i vettori forza e spostamento.
triangolo rettangolo P 1 OP 2 e l’angolo α. Infatti, per definizione di cos α otteniamo che l 1 = ‖v‖ cos α e quindi sostituendo in (2) otteniamo
‖u − v‖^2 = ‖v‖^2 + ‖u‖^2 − 2 ‖v‖‖u‖ cos α
ossia (x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2 == x^21 + y^21 + x^22 + y^22 − 2 〈v, u〉,.
Svolgendo i quadrati e semplificando i termini comuni (questo potete farlo da soli), si ottiene l’identita richiesta, cioe
〈v, u〉 = x 1 x 2 + y 1 y 2.
L’ho fatta lunga, ma questa `e finalmente la fine della dimostrazione. ©
Esempio 28 1. 〈
( 1 2
) ,
( − 1 3
) 〉 = −1 + 6 = 5
( 0 3
) ,
) 〉 = − 3
( 1 3
) ,
( − 6 2
) 〉 = 0
Domanda: cosa posso dire dell’angolo tra i vettori di questo esempio conoscendo il loro prodotto scalare? Se mi ricordo come si definisce il prodotto scalare in termini delle norme e dell’angolo compreso (ossia in termini geometrici), posso dedurre che se il prodotto scalare e positivo, negativo o nullo, tale sara il coseno dell’angolo tra i due vettori. Quindi nei tre casi l’angolo sar`a:
- ACUTO (il coseno `e positivo sugli angoli minori di 90 gradi)
- OTTUSO (il coseno `e negativo sugli angoli maggiori di 90 gradi)
- RETTO !! (il coseno
e nullo se l’angoloe di 90 gradi)
Domanda: dato un vettore v come faccio a trovare un vettore ad esso ortogonale?
Per il momento siamo in grado di dare una risposta a questa domanda se il vettore v e in un riferimento cartesiano del piano, mentre nel caso dello spazio il problemae evidentemente piu complicato. E chiaro infatti che se assegno una direzione sul piano ci sara una sola altra direzione ad essa ortogonale, mentre se sono nello spazio ci sono infinite direzioni ortogonali ad una data e quindi sara meno facile caratterizzarle. In altri termini data una retta del piano c’e una sola retta ad essa ortogonale, mentre nello spazio le rette ortogonali a una data retta sono infinite, tutte quelle appartenenti al piano ortogonale alla retta (ma questo lo vedremo poi...). Torniamo all’ortogonalita sul piano:
Esempio 29 Prendiamo il vettore v =
( 2 3
) e cerchiamo un vettore u =
( x 0 y 0
) ad
esso ortogonale. Se vogliamo che siano ortogonali dobbiamo imporre che il loro prodotto scalare sia nullo
〈
( x 0 y 0
) ,
( 2 3
) 〉 = 2x 0 + 3y 0 = 0.
Cerco x 0 e y 0 in modo che questa equazione (lineare) sia vericata, come faccio? Osser- vate:
2 x 0 + 3y 0 = 0 ⇐⇒ 2 x 0 = − 3 y 0 ⇐⇒ x 0 = −
y 0
quindi ho infinite soluzioni di questo problema, tutte le coppie del tipo (−^32 y 0 , y 0 ). Ogni volta che fisso a mio piacimento un valore per y 0 determino automaticamente x 0 in modo che sia verificata l’equazione. Ma come?... avevamo detto che la soluzione (visto che siamo nel piano) sarebbe stata unica! Ma osservate un’altra cosa: tutte le coppie che troviamo sono tutte proporzionali, e quindi i vettori corrispondenti sono tutti paralleli (ricordate come agisce la moltiplica- zione di un vettore per uno scalare? Non gli cambia la direzione, cambia solo lunghezza e eventuamente verso). Comunque... Per esempio possiamo scegliere y 0 = 2 e otteniamo di conseguenza x 0 = −3. Quindi ( − 3 2
) `e ortogonale a
( 2 3
) !
Nota: Un modo facile per ottenere un vettore ortogonale a un dato vettore del piano e quello di invertire l’ordine delle componenti e cambiare di segno una delle due. Attenzione: Non cercate di inventarvi un meccanismo simile per determinare un vettore ortogonale a uno dato nello spazio. So chee una tentazione, ma non funziona.
Esempio 30 Determiniamo un vettore ortogonale al vettore
( − 3 7
)
. Invertiamo l’or-
dine delle componenti e cambiamo di segno a una: per esempio
( 7 3
) , ma anche
( − 7 − 3
) . Verifica: 〈
( − 3 7
) ,
( 7 3
) 〉 = −21 + 21 = 0 Ok!
( − 3 7
) ,
( − 7 − 3
) 〉 = 21 − 21 = 0 Ok!
Facciamo un ultimo esempio:
Esempio 31 Calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori dello spazio
e
,
e poi ancora tra
e
. Si ha
,
〉^ = 2^ −^ 8 + 6 = 0^ e^ 〈
,
〉^ =^ −3 + 3 = 0^.
Quindi i vettori
e
sono entrambi ortogonali al vettore
, ma non `e
facile individuare “cosa li caratterizza”, “cosa hanno in comune”.
