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Spazi vettoriali euclidei.
- Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalit`a in Rn. Consideriamo lo spazio vettoriale
Rn^ = {x =
x 1 .. . xn
, x 1 ,... , xn ∈ R},
con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti rispettivamente da
x + y :=
x 1 + y 1 .. . xn + yn
,^ λx^ :=
λx 1 .. . λxn
(^) , x =
x 1 .. . xn
, y =
y 1 .. . yn
,^ λ^ ∈^ R.
Definizione. (Prodotto scalare.) Dati due vettori x e y in Rn, il prodotto scalare x · y fra x e y `e il numero reale x · y := x 1 y 1 +... + xnyn.
- Il prodotto scalare gode delle seguenti propriet`a
(i) (Propriet`a commutativa) Per ogni x, y ∈ Rn
x · y = y · x;
(ii) (Propriet`a distributiva) Per ogni x, y, z ∈ Rn
x · (y + z) = x · y + x · z;
(iii) (Omogeneit`a) Per ogni x, y ∈ Rn^ ed ogni λ ∈ R
λ(x · y) = (λx) · y = x · (λy);
(iv) (Positivit`a) Per ogni x ∈ Rn x · x ≥ 0 , x · x = 0 se e soltanto se x = 0.
Dimostrazione. La dimostrazione segue immediatamente dalle definizioni. Il punto (i) segue da
x · y = x 1 y 1 +... + xnyn = y 1 x 1 +... + ynxn = y · x.
Il punto (ii) segue da x · (y + z) = x 1 (y 1 + z 1 ) +... + xn(yn + zn) = = x 1 y 1 + x 1 z 1 +... + xnyn + xnzn = = x · y + x · z.
Confrontando le quantit`a
λ(x · y) = λ(x 1 y 1 +... + xnyn) = λx 1 y 1 +... + λxnyn, (λx) · y = (λx 1 )y 1 +... + (λxn)yn = λx 1 y 1 +... + λxnyn, x · (λy) = x 1 (λy 1 ) +... + xn(λyn) = λx 1 y 1 +... + λxnyn,
otteniamo (iii). Per dimostrare (iv), osserviamo che
x · x = x^21 +... + x^2 n.
Poich´e i quadrati di numeri reali sono sempre non negativi, si ha che x · x ≥ 0. Se x = 0 , chiaramente x · x = 0. Viceversa, se per un vettore x ∈ Rn^ vale x · x = 0, allora x^21 +... + x^2 n = 0. Cioe possibile solo se x 1 =... = xn = 0.
Mediante il prodotto scalare definiamo in Rn^ nozioni di lunghezza, distanza, ortogonalit`a e angolo.
Definizione. La norma o lunghezza ||x|| di un vettore x ∈ Rn^ `e definita da
||x|| =
x · x =
x^21 +... + x^2 n.
Nel piano cartesiano R^2 , questo fatto `e precisamente l’enunciato del Teorema di Pitagora.
x 1 x 1
x 2
x 2
x 3 x (^) x
(^) x 12 +^ x 22
x 12 + x 22
x 12 + x 22 + x 23
Fig.1. La norma di un vettore x in R^2 e di un vettore x in R^3
Definizione. La distanza fra i punti x e y in Rn^ `e definita da
d(x, y) := ||x − y||.
In particolare, ||x|| coincide con la distanza di x dall’origine.
- La norma gode delle seguenti propriet`a:
(i) (Omogeneit`a) ||λx|| = |λ|||x||, per ogni λ ∈ R.
(ii) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) |x · y| ≤ ||x||||y||, per ogni x, y ∈ Rn.
Tale relazione `e infatti equivalente a
||x − y||^2 = ||x + y||^2 ⇔ ||x||^2 + ||y||^2 + 2x · y = ||x||^2 + ||y||^2 − 2 x · y ⇔ x · y = 0.
x
-x
y
Fig.3. Ortogonalit`a fra vettori in R^2.
- A partire dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz possiamo definire una nozione di angolo fra vettori non nulli in Rn. Da essa segue infatti che dati x 6 = 0 e y 6 = 0 ,
x · y ||x||||y||
per cui esiste un unico angolo θ ∈ [0, π] tale che
cos θ =
x · y ||x||||y||
Definizione. Definiamo θ = cos−^1 ||xx||||·yy|| ∈ [0, π] come l’angolo fra x e y in Rn^ \ { 0 }.
In particolare, due vettori non nulli x e y risultano ortogonali se e solo se l’angolo fra essi `e θ = π/2.
- Dall’equazione (1), otteniamo la seguente relazione fra il prodotto scalare fra due vettori e le loro norme
x · y = ||x||||y|| cos θ.
Osservazione. Nel piano cartesiano R^2 , la stessa relazione si pu`o ottenere applicando la regola del coseno al triangolo di vertici 0 , x e y, i cui lati hanno lunghezze ||x||, ||y|| e ||x − y||. Ne segue che
||x − y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2 − 2 ||x||||y|| cos ϕ.
Dalla definizione stessa della norma abbiamo (x 1 − y 1 )^2 + (x 2 − y 2 )^2 = x^21 + x^22 + y^21 + y^22 − 2 ||x||||y|| cos ϕ e quindi − 2 x 1 y 1 − 2 x 2 y 2 = − 2 x · y = − 2 ||x||||y|| cos ϕ come richiesto.
θ
sinθ cosθ
y
y
x
y x-y
Fig.4. La regola del coseno.
- La proiezione ortogonale πy(x) di un vettore x su un vettore y 6 = 0
e un vettore πy(x)) = cy multiplo di y caratterizzato dalla proprieta (x − πy(x)) · y = 0.
In altre parole, la proiezione ortogonale di un vettore x su un vettore y 6 = 0 determina una scomposizione del vettore x nella somma di un vettore parallelo a y e un vettore ortogonale a y
x = z + πy(x), z = x − πy(x), z ⊥ y. (2)
Risulta πy(x) = ||x|| cos θ
y ||y||
x · y ||y||||y||
y.
y
x
π (^) y(x)
Fig.5. La proiezione ortogonale del vettore x sul vettore y.
Esempio. Sia data la base {v 1 =
(^) , v 2 =
(^) , v 3 =
} di R^3. Allora i vettori
u 1 =
u 2 =
u 3 =
formano una base ortogonale di R^3 e i vettori
e 1 =
(^) , e 2 =
(^) , e 3 =
formano una base ortonormale di R^3.
Osservazione. Sia U ⊂ Rn^ il sottospazio generato dai primi k vettori {v 1 ,... , vk} della base {v 1 ,... , vn} di Rn. Dalla relazione (3) segue che i vettori {u 1 ,... , uk}, ottenuti nel corso del procedimento di ortonor- malizzazione di Gram-Schmidt, sono una base ortogonale di U.
Esercizio. Dato un sottospazio U in Rn^ di dimensione k, esiste una base ortonormale di Rn
{u 1 ,... , uk, uk+1,... , un}
con la proprieta che {u 1 ,... , uk}e una base ortonormale di U e {uk+1,... , un} e una base ortonormale di U ⊥. In altre parole, data una base ortonormale di U , essa puo essere completata ad una base ortonormale di Rn.
- Sia B = {v 1 ,... , vn} una base ortogonale di Rn^ e sia x ∈ Rn. Allora le coordinate di x in B sono date da
x 1 =
x · v 1 v 1 · v 1
,... , xn =
x · vn vn · vn
In particolare, se la base B `e ortonormale, le coordinate di x in B sono date da
x 1 = x · v 1 ,... , xn = x · vn.
Dimostrazione. Il vettore x si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi di B
x = x 1 v 1 +... + xnvn.
Per 1 ≤ j ≤ n, vj · x = vj · x 1 v 1 +... + vj · xnvn = xj vj · vj ,
da cui xj =
x · vj vj · vj
- Complementi ortogonali. Proiezioni ortogonali.
Sia U un sottoinsieme di Rn.
Definizione.. Un vettore x ∈ Rn^ si dice ortogonale a U se e ortogonale a tutti gli elementi di U. L’ortogonale U ⊥^ di Ue per definizione
U ⊥^ := {x ∈ Rn^ | x · u = 0, ∀u ∈ U }.
Proposizione. U ⊥^ `e un sottospazio vettoriale di Rn.
Dimostrazione. Siano x, y ∈ U ⊥, λ ∈ R e sia u un arbitrario elemento di U. Dalle propriet`a del prodotto scalare e dalle ipotesi segue che
(x + y) · u = x · u + y · u = 0 + 0 = 0, (λx) · u = λx · u = λ0 = 0.
In altre parole, x + y ∈ U ⊥^ e λx ∈ U ⊥, per ogni λ ∈ R, come richiesto.
Esempio.
(i) Sia U = {
} ⊂ R^2. Allora U ⊥^ = {
x 1 x 2
| x 1 + 3x 2 = 0} `e la retta per l’origine ortogonale a
(ii) Sia U = {
} ⊂ R^3. Allora U ⊥^ = {
x 1 x 2 x 3
(^) | x 1 + 3x 2 + x 3 = 0} `e il piano per l’origine ortogonale a
(iii) Sia U = {
} ⊂ R^3. Allora U ⊥^ = {
x 1 x 2 x 3
x 1 + 3x 2 + x 3 = 0 x 1 = 0 } `e la retta per l’origine
parallela a
r r⊥
Fig.6. Il complemento ortogonale ad una retta in R^3.
Osservazione. L’applicazione πU : Rn^ −→ Rn, x 7 → πU (x),
che ad un vettore associa la sua proiezione ortogonale sul sottospazio U , `e un’applicazione lineare. Vale infatti πU (αx + βy) = απU (x) + βπU (y), ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ Rn.
Inoltre, la proiezione ortogonale di x su U `e data dalla somma delle proiezioni di x sui singoli vettori ortogonali {u 1 ,... , uk}.
Esercizio. Sia x un vettore in R^3. La proiezione ortogonale π(x) di x sul piano β passante per l’origine di equazione ax 1 + bx 2 + cx 3 = 0 `e data da
π(x) = x − λn, ove λ = n · x n · n
, n =
a b c
Sol. Sia π(x) la proiezione ortogonale di x sul piano β. Allora x − π(x) `e un vettore perpendicolare a β e dunque soddisfa x − π(x) = λn
per un opportuno scalare λ. Poich´e π(x) appartiene a β vale n · π(x) = 0, da cui si ricava λn · n = n · x e quindi
λ =
n · x n · n
come richiesto.
x
πβ(x)
β
Fig.7. La proiezione del vettore x sul piano β.
La proiezione ortogonale di un vettore x su un sottospazio U e il punto di U piu vicino ad x.
Proposizione. Sia U un sottospazio di Rn, sia x ∈ Rn^ e sia xU la proiezione ortogonale di x su U. Allora, per ogni u ∈ U d(x, xU ) ≤ d(x, u).
Dimostrazione. Sia u ∈ U un elemento arbitrario. L’identit`a
x − u = x − xU + xU − u, con x − xU ∈ U, xU − u ∈ U ⊥
scompone di x − u come somma di due vettori ortogonali. In particolare implica
||x − u||^2 = ||x − xU ||^2 + ||xU − u||^2
e ||x − xU ||^2 ≤ ||x − u||^2 ⇔ ||x − xU || ≤ ||x − u||
come richiesto.
Definizione. La distanza di un vettore x da un sottospazio U `e per definizione la distanza fra x e la sua proiezione ortogonale su U d(x, U ) = d(x, xU ).
In particolare, se x ∈ U , allora xU = x e d(x, U ) = 0.
- Un’applicazione: il metodo dei minimi quadrati.
I sistemi lineari che si incontrano nelle applicazioni pratiche dell’algebra lineare spesso sono incompatibili e non hanno soluzioni. Il metodo dei minimi quadrati e un procedimento per trovare “ il miglior sostituto” alle soluzioni di un sistema lineare incompatibile e si basa sul fatto che la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazioe il punto del sottospazio ad esso pi`u vicino.
Esempio Supponiamo che, secondo una certa teoria, esista un rapporto di tipo lineare fra due quantit`a fisiche X e Y : Y = λX + μ
per certe costanti λ e μ che dipendono dalla situazione. Effettuando varie misurazioni delle quantit`a X e Y, si cerca di risalire alle costanti λ e μ. Nella figura, ogni punto rappresenta i dati di un esperimento. Per esempio il punto P 1 = (3, 1) corrisponde ad un esperimento i cui risultati erano X = 3 e Y = 1.
3 7 10 14
1
2
3
4
P 1
P 2
P 3
P 4
Fig.8. I dati.
Si verifica facilmente che non esiste una retta y = λx + μ passante per tutti i punti Pi. In altre parole, il sistema lineare (^)
1 = 3 λ + μ 2 = 7 λ + μ 3 = 10 λ + μ 4 = 14 λ + μ
risulta incompatibile e soddisfa le ipotesi del Teorema 2. Calcoliamo tA · A e tAb.
tA · A =
tAb =
Il sistema tAAx = tAb′^ `e (^) ( 344 34 34 4
λ μ
Questo sistema ha un’unica soluzione
λ′ μ′
data da
λ′^ =
≈ 0. 327 , μ′^ =
L’equazione della retta che passa piu vicina ai punti Pie quindi Y = 0. 327 X − 0 .282. Per curiosit`a calcoliamo
b′^ = A
λ′ μ′
e controlliamo che la soluzione e effettivamente buona. Questo vuol dire che il vettore b′^e
“vicino” al vettore dei termini noti b. Troviamo
A
λ′ μ′
Infatti, gli errori sono relativamente piccoli: 0.3, 0.01, 0.01 e 0.3.
- Il prodotto vettoriale in R^3. Introduciamo adesso il prodotto vettoriale in R^3 che ad una coppia di vettori x, y ∈ R^3 associa un terzo vettore x × y ∈ R^3 , ortogonale ai primi due. Si noti che il prodotto vettoriale non
e definito nel piano R^2 , n´e in Rn^ per n > 3. E una nozione che esiste solo in R^3.
Definizione. Siano x, y ∈ R^3. Il prodotto vettoriale x × y di x e y `e il vettore di R^3 definito da
x × y =
x 2 y 3 − x 3 y 2 x 3 y 1 − x 1 y 3 x 1 y 2 − x 2 y 1
Proposizione. Siano x, y ∈ R^3. Il prodotto vettoriale x × y gode delle seguenti proprieta: (i) y × x = −x × y; (ii) Il vettore x × ye perpendicolare sia ad x che a y:
x · (x × y) = 0, y · (x × y) = 0;
(iii) La norma di x × y soddisfa ||x × y|| = ||x||||y||| sen ϕ|, dove ϕ `e l’angolo fra x e y.
Dimostrazione. (i) Direttamente dalla definizione, abbiamo
y × x =
y 2 x 3 − y 3 x 2 y 3 x 1 − y 1 x 3 y 1 x 2 − y 2 x 1
(^) = −x × y.
Per dimostrare (ii), calcoliamo
x · (x × y) =
x 1 x 2 x 3
x 2 y 3 − x 3 y 2 x 3 y 1 − x 1 y 3 x 1 y 2 − x 2 y 1
= x 1 (x 2 y 3 − x 3 y 2 ) + x 2 (x 3 y 1 − x 1 y 3 ) + x 3 (x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = 0.
Similmente troviamo y · (x × y) = 0. Per la parte (iii) abbiamo
||x||^2 ||y||^2 sen^2 ϕ = ||x||^2 ||y||^2 (1 − cos^2 ϕ) = ||x||^2 ||y||^2 − (x · y)^2 = (x^21 + x^22 + x^23 )(y^21 + y^22 + y^23 ) − (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 )^2 = x^21 y^22 + x^21 y^23 + x^22 y^21 + x^22 y^23 + x^23 y^21 + x^23 y^22 − 2 x 1 x 2 y 1 y 2 − 2 x 1 x 3 y 1 y 3 − 2 x 2 x 3 y 2 y 3 = (x 1 y 2 − x 2 y 1 )^2 + (x 1 y 3 − x 3 y 1 )^2 + (x 2 y 3 − x 3 y 2 )^2 = ||x × y||^2.
Estraendo le radici quadrate, troviamo l’uguaglianza cercata. Questo conclude la dimostrazione della propo- sizione.
x
y
0
Fig.10. Il triangolo di vertici 0 , x, y.
Proposizione. Il parallelepipedo di spigoli i vettori x, y e z in R^3 ha volume V uguale a
V = |x 1 y 2 z 3 + y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 − x 1 z 2 y 3 − y 1 x 2 z 3 − z 1 y 2 x 3 |
det
x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3
Dimostrazione. Il volume V del parallelepipedo di spigoli x, y e z e uguale all’area del parallelogramma di vertici 0 , x, y e x + y moltiplicata per l’altezza. L’altezzae uguale alla lunghezza della proiezione del vettore z sulla retta che passa per 0 e x × y.
ϕ
x
y
z
xxy
θ
Fig.11. Il parallelepipedo di spigoli x, y e z.
Per la proposizione precedente, l’area del parallelogramma e uguale a ||x||||y||| sen ϕ|, ove ϕe l’angolo fra i vettori x e y, e la lunghezza della proiezione di z sulla retta per 0 e x × y e uguale a ||z||| cos ϑ|, ove ϑe l’angolo fra i vettori z e x × y. Il volume V `e quindi dato da
V = ||x||||y||| sen ϕ|||z||| cos ϑ| = ||x × y||||z||| cos ϑ| = ||z · (x × y)|| = |z 1 (x 2 y 3 − x 3 y 2 ) + z 2 (x 3 y 1 − x 1 y 3 ) + z 3 (x 1 y 2 − x 2 y 1 )|.
Osserviamo infine che l’espressione z 1 (x 2 y 3 −x 3 y 2 )+z 2 (x 3 y 1 −x 1 y 3 )+z 3 (x 1 y 2 −x 2 y 1 ) coincide col determinante della matrice (^)
x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3
e ci`o completa la dimostrazione della proposizione.
