Interesse semplice e composto: teoria ed esempi - Prof. Fabretti, Dispense di Matematica Finanziaria

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Matematica Finanziaria

AA 2017 2018

Annalisa Fabretti [email protected]

N.B. Questo materiale NON sostituisce il libro di testo

Operazione Finanziaria Un’operazione finanziaria ´e un contratto che prevede uno scam- bio di capitali esigibili ( o disponibili ) in istanti di tempo differ- enti.

Una operazione finanziaria pu´o essere:

• certa quando ´e caratterizzata da importi certi a scadenza fissa;
• aleatoria quando gli importi e/o le scadenze sono incerti.

Esempi di operazioni finanziarie: mutui, investimenti, finanzia- menti, rendite, pensioni sociali, assicurazioni, ecc.

Esempio

Un prestito di 1000 euro ricevuto oggi e restituito in 4 rate di 300 euro ciascuna restituite con cadenza annuale

x = (+1000, − 300 , − 300 , − 300 , −300)

con

t = (0, 1 , 2 , 3 , 4)

• (^) t 0

Un capitale C produce dopo un tempo t un montante M. Si definisce interesse totale l’importo

I = M − C

Con i si indica il tasso unitario annuo d’interesse.

La relazione tra I ed i dipende dal regime finanziario utilizzato. I regimi finanziari sono leggi stabilite per la capitalizzazione e per l’attualizzazione, cio´e dei modi diversi di risolvere operazioni finanziarie.

Studieremo 2 regimi :

• Interesse semplice dove gli interessi sono proporzionali alla durata dell’investimento
• Interesse composto dove gli interessi vengono capitalizzati annualmente andandosi ad aggiungere al capitale iniziale.

Regime dell’interesse semplice

Sia C il capitale iniziale da investire e r il tasso unitario di inter- esse annuo. Dopo un anno C produrr´a un interesse pari a rC. Se I = rC abbiamo il montante

M = C + I = C + rC = C(1 + r).

Il termine 1 + r ´e detto fattore di capitalizzazione in un anno. Che succede il secondo anno? L’interesse al secondo anno ´e ancora rC.

Indichiamo con Ii l’interesse maturato nell’anno i e Mi il relativo montante allora

M 2 = M 1 +I 2 = C +I 1 +I 2 = C +rC +rC = C +2rC = C(1+2r)

Studiamo M (t) = C(1 + rt) come funzione del tempo:

t

6 M





















C

una retta con pendenza rC

Esempi interesse semplice

Sia C = 1000 Euro investiti al tasso r = 5% per 3 anni.

• Trovare il montante dopo 3 anni.
• Quanto vale il montante dopo un anno e mezzo?

Esempi interesse semplice

Calcolare l’interesse prodotto da un capitale di 800 euro investito in regime di interesse semplice al tasso 7% per 2 anni e 5 mesi

Esempi interesse semplice

Conviene investire (opzione A) 1000 euro per 4 anni al tasso 4% oppure (opzione B) 900 euro per 4 anni al tasso 6%? E se il periodo di investimento raddoppiasse?

Montante OpA: 1000(1 + 4 · 0 .04) = 1000(1 + 0.16) = 1160

Montante OpB: 900(1 + 4 · 0 .06) = 900(1 + 0.24) = 1116

Risposta:

E su 8 anni?

Risposta al quesito

Quesito: calcolare t∗^ il tempo in cui le 2 opzioni sono equivalenti.

Sono equivalenti quando producono lo stesso montante, quindi

1000(1 + t · 0 .04) = 900(1 + t · 0 .06)

risulta

t =

= 7. 14 anni

Come convertire 7.14 anni in mesi e giorni? 7 anni e 0.14 di un anno.

0 .14 equivale (0. 14 · 365) in giorni a circa 51 giorni, che equivale a un mese e 21 giorni o un mese e 3 settimane.

Sintesi sull’interesse semplice

Gli interessi sono proporzionali alla durata dell’investimento.

Posto r il tasso di interesse annuo, dopo t anni un’unit´a di capi- tale produrr´a un interesse I(t) = rt.

Sia C il capitale investito, dopo t anni si avr´a

M (t) = C(1 + rt)

Il fattore (1 + rt) ´e detto fattore di capitalizzazione e rappre- senta il montante prodotto da una unit´a monetaria investita al tasso r per il tempo t.

Alcune volte pu´o risultare utile rispondere a domande del tipo:

• qual ´e il tasso di interesse che ha prodotto il montante M avendo investito C per t anni?
• per quanto tempo devo investire il capitale C al tasso i per ottenere un montante M?
• quale capitale ´e stato investito al tasso r per ottenere un montante M dopo t anni?

Ricavare il tasso

Qual ´e il tasso di interesse che ha prodotto il montante M avendo investito C per t anni? Invertiamo la formula

M = C(1 + rt)

rispetto a r

1 + rt =

M

C

→ rt =

M

C

quindi

r =^1 t

(M

C

)