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MEBS
Lecture 1
Contratti indicizzati a tassi di
interesse
MEBS, lezioni
Roberto Renò Università di Siena
Introduzione Ambiente di lavoro: i contratti su tassi di interesse (bond market).
Contratti standard: zero coupon bond (BOT, corporate bond), contratti a cedola fissa (BPT).
Questi contratti vengono valutati in assenza di arbitraggio con metodi standard. Gli importi sono deterministici su di uno scadenzario prefissato, non c’e’ aleatorietà dei pagamenti.
Nota bene. In realtà c’è nascosta una fonte di aleatorietà: la possibilità di insolvenza (default). 1.
Contratti indicizzati I contratti indicizzati si distinguono dalle tipologie precedenti per il fatto che, mentre lo scadenzario resta prefissato, gli importi sono aleatori.
L’aleatorietà degli importi viene parametrizzata ad un tasso di interesse contrattato sul mercato (meccanismo di indicizzazione).
Esempi di questo tipo dei contratti, sui quali torneremo in seguito, sono i CCT, i mutui a tasso variabile e gli interest rate swap.
Definiamo con v(t, s) il prezzo di un TCN unitario emesso in t e pagato in s. 1.
TCNi Il TCN è l’oggetto fondamentale per la struttura a termine dei tassi di interesse. Ogni tipologia di contratto può essere espressa come combi- nazione lineare di TCN.
Introduciamo un concetto analogo per i contratti indicizzati: il TCNi (Titolo a Cedola Nulla indicizzato).
Consideriamo tre istanti di tempo, t < T < s. Il TCNi unitario emesso in t prevede il pagamento in s dell’importo monetario:
XT,s =
v(T, s)
Nota: il valore del contratto è aleatorio perché sarà noto solo in T. 1.
TCNi Il TCNi corrisponde in s il capitale unitario rivalutato secondo gli in- teressi fra T e s; in pratica ci si impegna a pagare antecedentemente un tasso di interesse incognito. Il periodo T, s prende il nome di periodo di indicizzazione.
Nota bene: in sede contrattuale, occorre specificare con attenzione come si intende misurare v(T, s) (BOT, Libor, ecc.).
Nota: stiamo trattando il caso di indicizzazione puntuale (l’istante di inizio del periodo di indicizzazione coincide con la lettura del tasso di in- teresse) e sincrona (il pagamento dell’importo avviene alla fine del periodo di indicizzazione). 1.
TCNi: un esempio Sia t = 0 , T = 1 , s = 2 anni. Si stabilisce contrattualmente che j(T, s) = 1 v(T,s) −^ 1 è il rendimento del BOT a tre mesi emesso in^ T^ ed espresso su base annua.
Pertanto, se j( 1 , 2 ) = 4% il TCNi corrisponderà in s 1.04, se j( 1 , 2 ) = 5% il TCNi corrisponderà in s 1.05.
Come si valuta questo contratto in t? L’importo in s è aleatorio, per- tanto non si possono usare risultati standard. 1.
Cedola indicizzata Si chiama cedola indicizzata unitaria l’importo:
cT,s = XT,s − 1
La cedola indicizzata è sicuramente positiva, perché pur se aleatorio siamo sicuri che j(T, s) > 0, da cui XT,s > 1.
La cedola indicizzata rappresenta la quota interesse (aleatoria) prodotta dal contratto indicizzato.
La valutazione della cedola indicizzata è semplice:
V (t, cT,s) = v(t, T ) − v(t, s)
Il fatto che la cedola indicizzata è positiva esprime quindi in maniera di- versa la proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza. 1.
Spread In sede contrattuale, può avvenire che alla cedola indicizzata venga aggiunto un importo σ (percentuale) noto in t, detto spread.
Lo spread può essere legato al premio per il rischio di fallimento dell’emettitore: ad esempio, rispetto allo stato italiano, un azienda che emette corporate bond aggiunge uno spread per premiare il rischio del contraente.
La valutazione della cedola indicizzata con spread è:
V (t, cT,s + σ ) = v(t, T ) − v(t, s) + σ v(t, s) = = v(t, T ) − ( 1 − σ )v(t, s)
Esempio Riprendiamo l’esempio precedente. Sia t = 0 , T = 1 , s = 2 anni.
Se si osserva in t un BOT a un anno con j( 0 , 1 ) = 5%, allora il valore del TCN è
V (t, XT,s) =
indipendentemente dal rendimento del BOT che si osserverà in T. 1.
Esempio Se, in t si osserva un BOT a due anni con j( 0 , 2 ) = 9%, allora il valore della cedola indicizzata è:
V (t, cT,s) =
Se si aggiunge uno spread del 2%, allora il valore della cedola indiciz- zata con spread è:
V (t, cT,s + σ ) = 0. 03494976 + 0. 02
Titolo a Tasso Variabile Un titolo a tasso variabile (TTV) è il corrispettivo di un titolo a cedola fissa, nel quale le cedole siano indicizzate.
Si parla di un titolo perfettamente indicizzato quando lo spread è nullo e tutte le cedole sono indicizzate in maniera puntuale e sincrona.
Considero lo scadenzario {t 0 ,... ,tm} e sia C il capitale di riferimento. Il TTV è emesso in t 0 e scade in tm. Ad ogni scadenza viene corrisposta una cedola Ik pari a: Ik = C · j(tk− 1 ,tk)
Alla data di scadenza viene rimborsato C + Im. 1.
Valutazione del TTV Per valutare il TTV si segue la stessa strategia che porta alla valutazione dei titoli con cedola: esprimere il TTV come combinazione dei TCNi.
Sia t < t 0 la data nella quale vogliamo valutare il TTV. Dalla proprietà di linearità del prezzo si ha:
VT TV (t) =
m
k= 1
V (t, Ik) +Cv(t,tm)
Valutazione del TTV Utilizzando le formule di valutazione viste in precedenza abbiamo:
VT TV (t) =
m
k= 1
V (t,Cctk− 1 ,tk ) +Cv(t,tm) =
Il valore del TTV un anno prima dell’emissione, dipende dal valore del BOT a un anno rilevato all’istante della valutazione. Se ad esempio j(t,t 0 ) = 3%, allora:
VT TV (t) =
Esempio Tre mesi dopo l’emissione, se I 1 = 1 .5, rilevando dal BOT a tre mesi j( 0. 25 , 0. 5 ) = 3 .5% si ha
VT TV (t) =
Analogamente si procede in istanti diversi. 1.
TTV con spread Nel caso di TTV con spread ad ogni cedola, il ragionamento è analogo anche se più complesso. Ogni cedola indicizzata diviene:
Ik = C(ctk− 1 ,tk + σk)
La valutazione si ottiene decomponendo il TTV nella sua parte aleatoria con quella deterministica dovuto allo spread. Varrà quindi, per t ≤ t 0 e nel caso di spread costante ad ogni cedola e pari a σ :
VT TV (t, σ ) = Cv(t,t 0 ) +Cσ
m
k= 1
v(t,tk)
TTV con spread Per istanti intermedi varrà:
VT TV (t, σ ) = (C + In)v(t,tn) +Cσ
m
k=n+ 1
v(t,tk)
dove tn è l’istante precedente, nello scadenzario, al distacco della prossima cedola, con l’accortezza di sosituire C a C +In subito dopo lo stacco dell’ultima cedola. 1.
CCT e mutui a tasso variabile Un esempio importante di contratto indicizzato sono i Certificati di Credito del Tesoro (CCT). Nella loro più recente versione, essi sono TTV con spread, solitamente con vita a scadenza di sette anni. In genere ven- gono indicizzati ai rendimenti dei BOT con vita a scadenza pari all’intervallo fra cedole, rilevati alle aste.
Un altro esempio rilevante è il Mutuo a Tasso Variabile (MTV), nel quale le quote interesse di ogni rata sono cedole indicizzate riferite ad un nominale pari al debito residuo dopo il pagamento della rata precedente.
Il flusso di pagamenti è dato quindi da una parte nota (la quota capitale) e una aleatoria (la quota interesse). 1.
Mutui a tasso variabile Sia S il debito iniziale. Ad ogni istante sia Ck la quota capitale, prefis- sata, e Ik la quota interesse, aleatoria. La rata è Rk = Ck + Ik. Nella pratica bancaria, il piano di ammortamento viene compilato definendo esogena- mente le quote capitale, la cui somma coincide con S. In questo modo rimangono fissati i debiti residui, che sono i nominali di riferimento per l’indicizzazione.
Esempio: Consideriamo un mutuo a cedola annuale e durata 10 anni, con S = 120. Supponiamo che per i primi 4 anni si abbia C = 15 e poi C = 10. Il nominale all’emissione è 100; dopo 4 anni è 60, al nono anno è
Valutazione di mutui a tasso variabile Per la valutazione si segue la stessa linea di ragionamento percorsa per il TTV. Se t < t 0
VMTV (t) =
m
k= 1
V (t, Rk) =
m
k= 1
V (t,Ck + Mk− 1 ctk− 1 ,tk ) =
m
k= 1
{Ckv(t,tk) + Mk− 1 [v(t,tk− 1 ) − v(t,tk)]}
Raccogliendo si ottiene:
VMTV (t) = Sv(t,t 0 )
In presenza di spread, la duration si può definire dalla decomposizione in un contratto indicizzato e in uno a pagamenti noti.
In generale, se t 0 ≤ t < t 1 si ha:
D(t) =
(t 1 − t)(C + I 1 )v(t,t 1 ) +Cσ
m
k= 2
(tk − t)v(t,tk)
V (t)
La duration di un contratto con spread è più elevata di quella di un analogo contratto senza spread, come l’intuizione suggerisce.
Analoghi ragionamenti possono essere ripetuti per i momenti di ordine superiore. 1.
Gli interest rate swap Gli interest rate swap costituiscono una particolare tipologia di contratti indicizzati.
Tratteremo solo il caso più semplice, denominato plain vanilla.
Il contratto prevede lo scambio, da parte di due controparti, di cedole fisse e di cedole indicizzate rispetto allo stesso capitale nominale.
Tipicamente questo contratto è periodico e a periodicità annuale. 1.
Tassi swap Il tasso delle cedole fisse prende il nome di tasso swap, il suo corrispet- tivo flusso di pagamenti si chiama fixed leg.
Il tasso delle cedole indicizzate viene rilevato secondo un meccanismo stabilito contrattualmente, come per i contratti indicizzati. Il suo flusso di pagamenti si chiama variable leg.
Il mercato dei tassi swap è il mercato più liquido su tassi di interesse per maturità superiori ad un anno. 1.
Il contratto di swap L’attivazione di un contratto swap non richiede costi iniziali per le con- troparti. Chi decide di corrispondere il tasso fisso crede in una salita dei tassi e viceversa.
L’equità del contratto viene garantita calibrando il tasso swap. In tale calibrazione, si tiene in genere anche conto della qualità creditizia della controparte.
La calibrazione del tasso swap avviene imponendo l’uguaglianza in valore della gamba fissa e della gamba variabile. 1.
Valutazione di uno swap È utile notare come un contratto swap sia equivalente allo scambio di un TTV con un TCF di pari capitale nominale C.
Il valore in t 0 del TTV è C, mentre quello del TCF è:
VTCF (t 0 ) = iC
m
k= 1
v(t 0 ,t 0 + k) +Cv(t 0 ,t 0 + m)
Valutazione di uno swap Imponendo l’uguaglianza si ottiene:
i =
1 − v(t 0 ,t 0 + m) m
i= 1
v(t 0 ,t 0 + k)
che esprime il tasso swap di parità in funzione della struttura per scadenza osservata. Esso non dipende né dal nominale, né dalla periodicità di pagamento delle cedole. Indicheremo perciò il tasso swap con isw(t 0 ; m). 1.
Struttura per scadenza Nel mercato, è più comune rilevare la struttura per scadenza dai tassi swap che, per esempio, dai tassi zero coupon, per i motivi di liquidità di tale contratto.
I tassi a tutte le scadenze sono impliciti nel tasso swap dalla relazione:
i =
1 − v(t 0 ,t 0 + m) m
i= 1
v(t 0 ,t 0 + k)
1 − [ 1 + i(t,t + m)]−m m
i= 1
[ 1 + i(t,t + k)]−k
