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L'arbitraggio
Il rischio di cambio → Risultato di un'operazione finanziaria deve essere
misurato in una valuta diversa da quella di denominazione. Si parla di una
tipologia di mercato relativo alla possibilità che le variazioni dei tassi di
cambio portino ad una perdita del potere d'acquisto della moneta
detenuta e alla conseguente perdita di valore dei crediti.
Tuttavia, esistono dei modelli che consentono di effettuare delle aspettative sul
cambio futuro e il relativo premio al rischio.
(1) L'arbitraggio
Si tratta di un'operazione finanziaria che consente al soggetto che la pone in
essere di conseguire un profitto certo senza correre alcun rischio. Ad
esempio può verificarsi quando un'azione è quotata in due differenti paesi
ad un prezzo diverso.
Anche quando c'è una situazione di non equilibrio, nel momento in cui è
possibile fare un arbitraggio, è come se l'informazione si diffondesse
immediatamente nel mercato, per cui tutti si comportano allo stesso
modo e il mercato ritorna in una situazione di equilibrio.
Pertanto un'opportunità di arbitraggio è una strategia di investimento che
garantisce un guadagno senza nessuna perdita (garantisce un flusso
positivo, senza generare flussi negativi).
Quando si parla di arbitraggio, molto spesso ci si riferisce ad un arbitraggio
applicato in un mercato considerato " perfetto ".
Sappiamo che un mercato può essere inteso come un luogo nel quale in ogni
istante t, viene fissato e reso pubblico il prezzo di acquisto e di vendita di una
quantità unitaria di ciascuno dei beni trattati.
Il riferimento a prezzi unitari implica che il prezzo di un'arbitraria quantità è
ottenuto moltiplicando il prezzo unitario per la quantità.
Tipicamente un mercato perfetto viene qualificato in base a un insieme di
ipotesi che individuano le caratteristiche di non frizionalità e di
competitività****.
Per quanto riguarda la prima, s'intende:
● Assenza di costi di transazione → Prezzo di vendita e di acquisto coincidono
● Divisibilità infinita dei titoli → è possibile trattare qualsiasi quantità, anche
frazionaria di ciascun titolo
● Sono consentite le vendite allo scoperto → Vendita di titoli che non si
possiedono
In riferimento alla competitività, ci si riferisce invece:
● Massimizzatori di profitto → Nella scelta tra due quantità monetarie
preferiscono sempre il possesso della quantità maggiore ( prefer more
to less )
● Agenti Price taker → non hanno cioè la possibilità di influenzare
individualmente con la loro attività di transazione il prezzo dei titoli.
In tale contesto si assumerà che un mercato perfetto sia anche esente da rischio
di credito.
Proprietà di assenza di arbitraggio
Per fare quindi un arbitraggio, bisogna poter costruire una strategia
finanziaria , ossia un insieme di azioni acquisto - vendita, che produca un
profitto certo qualsiasi cosa avvenga.
Se si considera un mercato finanziario idealizzato, in cui siano trattati solamente
titoli obbligazionari default - free (esenti dal rischio), la proprietà di assenza di
arbitraggio può essere rappresentata in una forma particolarmente semplice.
Data un'operazione finanziaria
Si tratta di un arbitraggio non - rischioso se il flusso x 0
non contiene
pagamenti di segno opposto. Si tratta quindi di una transazione che
garantisce una delle due parti contraenti un flusso di pagamenti certamente non
- negativi, con almeno un pagamento strettamente positivo: si incassa almeno
una volta con certezza senza pagare mai.
L'importo c: = - x 0
può essere interpretato come il costo di acquisizione in t del
flusso residuto x/t. Da questo punto di vista si distinguono due forme di
arbitraggio.
Si tratta di una transazione che, anche nel caso di pagamenti
futuri nulli, produce un x alla data corrente
t; si può quindi definire questa operazione
finanziaria
come un arbitraggio immediato.
Anche nel caso in cui sia c = 0 e non si abbia un profitto immediato, questo tipo
di operazione produce comunque un payoff positivo futuro , almeno sulla
scadenza t j
; si può quindi parlare in questo caso di arbitraggio a scadenza.
Si assumerà quindi che sul mercato sia rispettato il principio di arbitraggio ,
cioè che sia esclusa la possibilità di fare arbitraggi. Con questa richiesta
viene imposta al mercato una fondamentale proprietà di coerenza, in base alla
quale intuitivamente, è preclusa la possibilità di realizzare profitti senza
che ciò comporti alcuna assunzione di rischio.
La legge del prezzo unico
Una delle conseguenze del principio di arbitraggio è rappresentata da
questa legge, secondo la quale due contratti che producono lo stesso
payoff in ogni situazione possibile, debbono avere lo stesso
prezzo.
In pratica:
x k
= x' k
→ c = c'
Risulta una conseguenza necessaria del principio di esclusione di arbitraggi e
delle proprietà di mercato adottate, in quanto qualora i due contratti
avessero prezzo diverso, si potrebbe ricavare un profitto certo in t,
senza impegni futuri vendendo allo scoperto il contratto
profitto
positivo -
- v(s,s) = 1 se la data di valutazione t e la data di scadenza s coincidono, si
ha che il prezzo è uguale a 1. Questo vale perché se in s devo avere 1 euro, e la
data di valutazione t è uguale alla data di scadenza s, non abbiamo tempo per
far maturare interessi e il valore è 1.
Tuttavia è necessario introdurre come postulato la relazione v(t,s) < 1, t<s ,
questa proprietà risulta indispensabile per garantire significatività finanziaria e
non può essere ricavata come conseguenza necessaria delle ipotesi sul mercato;
ha quindi il ruolo di un postulato, che si potrà dire postulato di impazienza. Con
l'aggiunta del postulato di impazienza, il sistema delle ipotesi di mercato
permette di formulare il seguente
Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza.
Tale teorema ci dice che se consideriamo due ZCB unitari, uno che scade in s' e
uno in s'', dove s'<s''.
Si ha che il prezzo dello ZCB con scadenza unire è maggiore, rispetto al prezzo
dello ZCB con scadenza maggiore v(t,s'') in quanto più è lunga la durata
dell'operazione e meno si deve pagare perché il tempo le maturare
interessi è maggiore, meno è lunga la durata dell'operazione e più si
deve pagare : il prezzo è decrescente rispetto alla scadenza.
Tuttavia se invece considerassimo la data di valutazione t, piuttosto che la
scadenza t, quindi si supponga che t' < t'' se spostiamo s verso destra
aumentando la durata dell'operazione; s spostiamo t verso destra riduciamo la
durata dell'operazione
(3)Titoli a cedola nulla non unitario
Uno ZCB unitario è un titolo che alla scadenza paga un importo pari ad x s
di
ammontare generico, noto nell'istante di valutazione t s.
Pertanto il prezzo è crescente rispetto alla data di valutazione
t
perché se aumenta la
di valutazione, la durata dell'operazione si riduce e quindi il prezzo data
aumenta.
Per cui si avrà un prezzo indicato con V(t,x s
) → prezzo al tempo t di uno ZCB non
unitario con scadenza in s, che paga valore facciale pari ad un importo x s
alla
scadenza s.
Se si suppone che sul mercato siano trattati in t gli ZCB unitari con scadenza in s,
per l'ipotesi di infinita divisibilità dei titoli è possibile costruire un portafoglio
contenente una quantità x s
di tali titoli.
Dato che il prezzo di ogni ZCB unitario è v(t,s) per l'ipotesi che gli agenti sono
price taker , il costo di acquisizione dell'intero portafoglio sarà dato da x s
_ v_*
(t,s)
Vale pertanto il seguente:
Teorema di Indipendenza dall'importo
Al fine di evitare earbitraggi non rischiosi deve sussistere l'uguaglianza
V(t;x s
) = x s
v(t,s)
Praticamente il prezzo dello ZCB non untiario deve essere uguale al prezzo in t
del portafoglio contenente xs unità di ZCB con uguale scadenza e valore facciale
unitario.
Dimostrazione → dato che si tratta di dimostrare il sussistere di uuna uguaglianza
tra prezzi di titoli, si assume come valida una disuguaglianza in senso stretto e si
mostra che è di conseguenza possibile costruire un arbitraggio mettendo in atto
una strategia basata sulla vendita allo scoperto del titolo che si è ammesso
essere sovrapprezzato.
Il teorema di indipendenza dall'importo può essere ricavato come conseguenza
diretta della legge del prezzo unico, dato che il titolo con valore facciale x s
e un
portafoglio x s
ZCB unitari con scadenza s sono succedanei perfetti. Se si
preferisce, il payoff x s
alla data s viene replicato dal portafoglio di x s
ZCB unitari.
(4) Portafogli di ZCB con diversa scadenza
Passando a considerare portafogli di titoli composti da ZCB unitari con date di
scadenza diverse, è possibile ricavare relazioni di arbitraggio per titoli
obbligazionari "complessi", caratterizzati da pagamenti multipli. Pertanto si
tratterà di approfondire i titoli che pagano cedola, ossia un coupon bon, che non
è altro un titolo che paga cedole, ossia che paga sullo scadenzario { t 1
, t 2
, … t m
gli importi { x 1
, x 2
, … x m
Se si suppone, quindi, che sul mercato vengano trattati in t gli m ZCB unitari che
scadono sulle date di t, per l'infinita divisibilità dei titoli è sempre possibile
costruire il portafoglio contenente x k
unità dello ZCB unitario con scadenza in t k
(k
= 1, 2, …, m).
● Lo ZCB unitario che scade al tempo t 1
, ha prezzo pari a v (t,t 1
) e ne abbiamo
comprato una quantità pari a x 1 , quindi avrà un prezzo complessivo pari a x 1 v(t,t 1 );
In generale si ha che il prezzo a termine, fatto in t per consegna in T di uno ZCB
unitario con scadenza in s, e il prezzo a pronti fatto in T sono due quantità
differenti v(t,T,s) ≠ v(T,s)
Questo succede perché le date sono differenti, per cui sono differenti anche le
condizioni di mercato. Sia che sia un contratto a termine o un contratto a pronti,
la prima data è quella in cui viene "fatto" il prezzo. Se la data è differente,
saranno differenti le condizioni di mercato. Vale invece l'uguaglianza v(t,t,s) =
v(t,s) dove v(t,s) rappresenta in prezzo a pronti (ossia fatto in t e pagato in t)
dello ZCB unitario con scadenza in s.
Un prezzo a pronti e un prezzo a termine, possono essere in teoria rappresentati
con la stessa simbologia, se la data di stipula e la data di consegna coincidono.
Quindi se data di stipula e data di consegna coincidono abbiamo un contratto
a pronti.
Esempio
Se in t=0 lo ZCB unitario con scadenza in s = 9 mesi viene acquistato a termine,
per consegna in T = 3 mesi, al La parte che vende il titolo assume una posizione
debitoria. (Effettua l'operazione di finanziamento)
Il tasso di interesse generato dall'operazione a termine sul periodo [3,9] è
2
L'operazione di scambio a termine è un contratto scritto su un altro contratto o è
un titolo che implica l'acquisto/vendita di un titolo elementare. Ricordiamo
sempre che questa operazione sta a significare che 0,95 è il valore attuale di 1
euro, o che 1 è il montante di 0,95.
Quindi v(t,T,s) = 0,
Se sul mercato sono trattati in t gli ZCB unitari con scadenza in T e s, la natura di
contratto derivato propria di un'operazione a termine è evidenziata dal TEOREMA
DEI PREZZI IMPLICITI, che consente di ricavare i prezzi a termine, se sono noti i
prezzi a pronti. Questo teorema ci dice che in un mercato perfetto, in cui vale il
principio di arbitraggio; il prezzo a termine fatto in t, per consegna in T di uno
ZCB unitario con scadenza in s v(t, T, s) è uguale al rapporto tra il prezzo a pronti
di uno ZCB unitario con scadenza in s e il prezzo a pronti di uno ZCB unitario con
scadenza in T di uno ZCB unitario con scadenza in s v(t,T,s) è uguale al rapporto
tra il prezzo a pronti di uno ZCB unitario con scadenza in s e il prezzo a pronti di
uno ZCB unitario con scadenza in T
Tutti i prezzi presenti in questa equazione, hanno come prima data t. Non
potrebbe essere diversamente perché non potremmo porre l'uguaglianza tra
dati che sono rifieriti a due situazioni di mercato differenti. Più precisamente
v(t,T,s) prezzo a termine fatto in t per consegna in T, di uno ZCB unitario con
scadenza in s
v(t,s) prezzo a pronti di uno ZCB unitario con scadenza in s v(t,T) Prezzo a
pronti di uno ZCB unitario con scadenza in T Dimostrazione per assurdo.
Supponiamo che quindi
Per cui: v(t,s) < v(t,T)v(t,T,s)
Questo vuol dire che il prezzo a pronti dello ZCB unitario con scadenza in s, è
minore del prodotto tra il prezzo a pronti di uno ZCB unitario con scadenza in T e
il prezzo a termine fatto in t, per consegna in T di uno ZCB unitario con scadenza
in s.
Per cui, dato che costa meno, acquistiamo lo ZCB unitario con scadenza in s, il
cui prezzo a pronti è pari a v(t,s)
Si definisce la strategia di compravendita in t:
- Azione (A) : Acquisto a pronti dello ZCB unitario con scadenza in s
con prezzo pari a v(t,s) : dato che è un'operazione a pronti ci saranno solo
due date coinvolte (t e s). Al tempo t compriamo lo ZCB unitario con scadenza in
s, avremo un'uscita pari al suo prezzo - v(t,s). Alla scadenza in s, riceveremo 1
euro. Normalmente quando costruiamo la tabella dei payoff acquistiamo il titolo
che costa meno e vendiamo quello che costa di più. Tuttavia, questa quantità è
data dal prodotto di due prezzi v(t,T)v(t,T,s)
- Azione (B ): Vendita a pronti di ZCB unitari con scadenza in T che
hanno prezzo pari a v(t,T) , per una quantità pari al prezzo termine
v(t,T,s) : Quindi acquistiamo in t una quantità pari al prezzo a termine (t,T,s) di
ZCB unitari con scadenza in T, che hanno prezzo pari a v(t,T); quindi al tempo t
avremo un'entrata pari a v(t,T)v(t,T,s). Alla scadenza T avremo un'uscita pari a
1v(t,T,s)
- Azione (C ): Vendita a termine dello ZCB unitario con scadenza in s
e prezzo pari a v(t,T,s) : Dato che la vendita è a termine, vuol dire che la
vendita avviene al tempo t e il pagamento del prezzo al tempo T; quindi al
tempo T, avremo un'entrata pari al suo prezzo v(t,T,s). Alla scadenza del
contratto, ossia in s, dovremo pagare un euro (ossia il valore facciale)
Dal teorema dei prezzi impliciti si ricavano le proprietà dei prezzi a termine;
- Positività del prezzo a termine : il prezzo a termine è un valore
maggiore di 0 perché è dato dal rapporto tra due quantità positive v(t,T,s) > 0
- Condizione a scadenza : se la data di scadenza s e la data di consegna
T coincidono (T=s), il prezzo a termine è uguale a 1 v(t,s,s) = 1
Questo vale perché se in s devo avere 1 euro e la data di consegna T è uguale
alla data di scadenza s, non abbiamo tempo per far maturare interessi e il valore
è 1.
- Proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza s ; all'aumentare della
scadenza, il prezzo a termine si riduce; al ridursi della scadenza, il prezzo a
termine aumenta.
Se consideriamo
Tassi impliciti
Dalla struttura per scadenza dei prezzi a termine si ricava la struttura per
scadenza dei tassi di interesse a termine. Il tasso di interesse a termine
i(t,T,s) è dato da 1 fratto il prezzo a termine dello ZCB unitario v(t,T,s) tutto
elevato 1 fratto la durata che intercorre tra la data di consegna T e la data di
scadenza s
1/(s-T)
-1 i(t,T,s )
9.2: Le strutture per scadenza implicite
Fissati i prezzi a pronti di due ZCB di diversa scadenza, è possibile ricavare
attraverso il teorema dei prezzi impliciti, il prezzo a termine relativo all'orizzonte
di scambio che ha per estremi le due scadenze assegnate.
Se si effettua il calcolo del prezzo a termine relativamente ad ogni coppia di
date contigue dello scadenzario s, si ottiene la struttura per scadenza dei
prezzi impliciti al tempo t. Espressa v(t, t+ k -1, t+k) = v(t,t+k)/v(t,t+k - 1 )
La struttura dei tassi impliciti in vigore sul mercato al tempo t si ottiene
calcolando per k = 1,2 … m i tassi di interesse a temine uniperiodali: i(t, t +
k - 1, t+k) =
Tra la struttura dei tassi a pronti e quella dei tassi a termine, intercorre una
relazione di dominanza.
● Se la struttura dei tassi a pronti è crescente, allora la struttura dei tassi a
termine è maggiore, cioè domina la struttura dei tassi a pronti.
● Se la struttura dei tassi a pronti è decrescente, allora la struttura dei tassi
a termine è minore, cioè è dominata dalla struttura dei tassi a pronti
● Se la struttura dei tassi a pronti ha un comportamento non monotono cioè
passa da un andamento crescente ad uno decrescente (o viceversa), allora la
struttura dei tassi a termine dovrà incrociare quella dei tassi a pronti.
La Duration
Si consideri al tempo t un generico flusso di
importi: x = {x 1
, x 2
… x m
}/ t = {t 1
,t 2
… t m
L'acquisto o la vendita che determinano questo flusso, costituisce un'operazione finanziaria. In
molti casi, è significativo utilizzare una rappresentazione semplificata della struttura
temporale di tale flusso estraendo dall'insieme delle date dello scadenzario t un indice
sintetico (una "media" dello scadenzario) che ne riassuma le caratteristiche in modo
sufficiente per certe specifiche applicazioni.
La duration è un indice di variabilità del titolo, che ci dà informazioni su quanto il titolo è
sensibile a variazione dei tassi di interesse.
Prendiamo sempre in considerazione operazioni calate sul mercato ed essenzialmente ci
occupiamo di titoli obbligazionari, in quanto sono operazioni certe. Più in generale, le operazioni
finanziarie, sono caratterizzate da un certo grado di rischio (si intende qualcosa che non è
prevedibile), in quanto il valore dell'operazione cambia nel tempo, perché è soggetto a
fluttuazioni , a causa delle variazioni delle condizioni del mercato , quali i tassi di interesse
e la percezione della possibile insolvenza dell'emittente rispetto a qualche pagamento ⟶
Rischio di credito
Il valore di mercato di un'obbligazione è influenzato dai rendimenti correnti, ossia i tassi di
interesse, quotati sul mercato obbligazionario ⟶ Rischio di Tasso di Interesse
(Il rischio di tasso di interesse determina l'aleatorietà dei prezzi; le variazioni dei tassi di interesse
incidono sui prezzi)
Se cambia il tasso di interesse, cambia il valore dell'operazione.
Noi vogliamo definire una quantità che dia informazioni su quanto l'operazione è esposta
al rischio di tasso di interesse.
Una prima quantità da considerare, come operatore di misura del rischio, è la Maturity
(scadenza) del titolo t m
che indica la data in cui il contratto si può considerare concluso.
Più è lunga la durata dell'operazione finanziaria, e maggiore è la probabilità di una
variazione dei tassi di
interess
e.
Un'altra quantità fondamentale è la vita a scadenza ( Time to Maturity ) o vita residua, data dalla
differenza tra la data finale e la data di valutazione t m
- t ; questa quantità rappresenta la durata
complessiva dell'operazione di scambio.
Si supponga quindi che il flusso x non contenga poste
negative, quindi x 0, k = 1,2, …, m
Restando comunque inteso che almeno una delle x k
sia strettamente positiva, la scadenza media
aritmetica è definita come:
E rappresenta quindi la media ponderata delle vite a scadenza t k
- t di tutte le poste, con i pesi
pk =
Espressi dai valori relativi dei singoli importi. Con un'immagine di tipo fisico, si può dire che la
scadenza media aritmetica rappresenta la distanza da t del baricentro della
Le quantità ( t 1
- t ) fino a (t m - t) essendo dei prodotti, possono essere portati al di fuori della
frazione e avere pertanto:
(t 1 - t) + .…+ (tm - t)
Ognuno di questi termini è il valore attuale di ogni importo (cedola) rispetto a tutto quanto il
flusso. Quindi esprime quanto vale in percentuale, una cedola rispetto a tutto quanto il flusso.
Queste quantità possono essere chiamate p k
, ossia dei pesi. Posto quindi che
Per questo motivo, la duration si può scrivere anche come
D(t;x) = ( t 1
- t ) p 1
- t ) p m
In conclusione la duration è la media ponderata delle vite a scadenza delle poste del
flusso, dove i pesi p k
sono i valori attuali percentuali degli importi rispetto a tutto il
flusso.
Il peso, p k
, è il contributo relativo del pagamento effettuato al tempo t k
, al valore attuale
complessivo dei pagamenti del titolo.
Il denominatore della frazione è lo stesso per tutti i pesi perché è sempre il valore del titolo; per
cui ciò che determinerà l' entità del peso è il numeratore.
Più elevato
sarà x k
(ossia il pagamento effettuato al
tempo t k
), tanto più elevato sarà il
suo peso.
Questo comporterà un maggior peso assegnato all'epoca t k
rispetto alle altre epoche.
Pk, è una quantità adimensionale perché è dato dal rapporto tra due quantità monetarie.
Mentre t k
- t si misura in tempo. Quindi l'unità di misura della duration è il tempo (si misura in
anni).
Se ad esempio otteniamo un risultati pari a 3,2 si dice che la duration è uguale a 3,2 anni.
Quindi D(t;x) è la media aritmetica ponderata delle vite a scadenza delle poste del flusso, essendo
in questo caso i pesi pk, calcolati come i valori attuali percentuali delle singole poste, ricavati in
base alla struttura per scadenza in vigore sul mercato.
Anche in questo caso si può pensare a D(t;x) come distanza da t del baricentro della
distribuzione temporale delle masse pk. Ne risulta la proprietà:
t 1
- t D(t;x) t m - t
Dato che il baricentro non può essere esterno al segmento sul quale sono distribuite le masse,
l'uguaglianza della duration con la vita a scadenza di una delle poste di x/t può aversi
solo nel caso degenere di massa concentrata, cioè di un flusso di tipo ZCB. Si ha:
D(t;x) = t m
- t → La duration di uno ZCB coincide con la sua vita a scadenza.
è valida se e soltanto se l'unica posta non nulla del flusso x/t è l'importo x m
disponibile alla
scadenza t m
La duration con struttura piatta
Se la struttura dei tassi di interesse è costante, a un livello i, si ottiene quella che viene chiamata
Flat Duration, (flat = piatta), definita come:
D(t;x) =
Si esprime quindi il fattore di sconto in termini di tasso di interesse.
Se tale è costante il valore dei prezzi è decrescente. Questa equazione non è che un caso
particolare della definizione di Duration. Spesso, viene anche utilizzata come una sua versione
semplificata. Nei casi in cui è
Momenti di secondo ordine
Se si misurano i tempi a partire dall'istante t, la duration rappresenta l'ascissa del baricentro,
fornisce cioè il momento del primo ordine della distribuzione {pk}. Risulta quindi spontaneo
ricavare altri indici temporali del flusso x/t estendendo la definizione al caso di momento di ordine
superiori al primo.
In particolare risulta espressivo il momento di secondo ordine, o duration di secondo ordine,
definito dalla:
D
(2)
(t;x):
O con notazione compatta D
(2)
(t;x):
La Duration di secondo ordine esprime pertanto la medi pesata dei quadrati degli "scarti
temporali" t k
- t e fornisce quindi una misura di dispersione temporale del flusso x rispetto a
t. T k
- T è uno scarto temporale elevato al quadrato.
Analisi di sensibilità del prezzo - semielasticità o volatilità del titolo
Sapendo che la duration è una misura della rischiosità, pertanto ci da informazioni su come il
tasso di interesse influenzi il valore del titolo, si cerca di capire come varia il prezzo del titolo al
variare del tasso di interesse.
Lo strumento matematico che ci da informazioni sulla variazione di una funzione, è la
derivata. Supponiamo che la struttura dei tassi di interesse sia piatta al valore i, per cui il
valore del titolo sarà V(t;x):
Questa può essere scritta anche in termini di intensità istantanea di interesse:
L'obiettivo è pertanto quello di studiare come varia il prezzo V(0;x) al variare di i o di delta, quindi
vogliamo andare a fare la derivata rispetto al tasso di interesse o rispetto all'intensità istantanea
dei interesse. Osservando la formula si avrà
● Il prezzo V è una quantità positiva
● Se il tasso di interesse i è uguale a 0 della formula, rimane solo la somma delle x k
● Se si fa il limite per i che ad infinito, il prezzo è uguale a 0. (1+i)
-t
diventa 1/(1+i)
t
diventa quindi
Lo stesso vale anche per l'intensità.
possibile ricavare il TIR del flusso x/t sulla base del prezzo di
mercato,
la duration calcolata con
struttura
_piatta al livello i fornisce una soddisfacente approssimazione dell'equazione_*
generale della duration
Pertanto, la semielasticità, rispetto all'intensità istantanea di interesse, è uguale alla duration
cambiata di segno.
La regola del pollice
In riferimento alla semielasticità in termini di tasso di interesse, supponiamo che il tasso di
interesse sia sufficientemente piccolo da poter approssimare 1/1+i ad 1, l'espressione della
semielasticità, può allora essere scritta come: D = - V'(i)/V(i)
Supponiamo che ci siano variazioni del tasso di interesse sufficientemente piccoli, ciò vuol
dire che posso approssimare la derivata prima della funzione con il rapporto
incrementale che è data da ∆ V/V ∆ i Quindi si può scrivere:
Supponiamo di avere un incremento del tasso di interesse 1 punto percentuale tale per cui ∆i =
1% (0,01), poiché i si trova al denominatore, il risultato sarà:
D(0,x) - ∆V/V(1/100) = - 100 ∆V/V
Per cui possiamo dire che se il tasso di interesse aumenta di 1 punto percentuale,
allora il titolo subirà
una perdita di valore pari alla
duration.
Quindi, la duration di un titolo può esprimere approssimativamente la variazione percentuale
di prezzo derivante da un incremento o decremento del tasso di interesse di un punto
percentuale.
Se il tasso di interesse aumenta di 1 punto percentuale, il prezzo diminuirà di un importo pari
alla duration; se il tasso di interesse diminuisce di un punto percentuale, il prezzo aumenterà di
un importo pari alla duration. Duration di portafogli
Dove
pj è interpretabile come peso che esprime il valore percentuale del singolo titolo rispetto all'intero
portafoglio.
Duration di una rendita perpetua
Si consideri una rendita immediata posticipata di durata m anni, con rate annue costanti R.
La duration del portafoglio viene quindi espressa come la media pesata delle
duration dei titoli che
stanno nel
portafoglio
Sì ha che xk = R e tk = k, per k=1,2, ..., m.
La duration della rendita calcolata rispetto ad una curva dei rendimenti piatta a un
livello del tasso annuo,
è espressa
dalla
Dove il valore R è indipendente dalla sommatoria. Al denominatore vi è il valore attuale di una
rendita con rate unitarie, per il quale utilizzando le proprietà delle serie geometriche
unitarie, per il quale utilizzando le proprietà delle serie geometriche
Il numeratore che invece si indicherà con d figurato m al tasso i, questo viene indicato come
dollar Duration della rendita unitaria r. Con alcuni semplici passaggi anche questa quantità
può essere espressa in modo esplicito.
Moltiplicando e dividendi per (1-v) si ottiene
Utilizzando ancora l'espressione della somma di m termini in progressione geometrica con ragione
v si può scrivere anche come
Si può scrivere pertanto
La Duration del titolo a cedola fissa può essere quindi ricavata come media pesata
della Duration del
flusso cedolare I, calcolata secondo la Duration ma dello ZCB che corrisponde al
rimborso del valore
nominale
C
Come pesi andranno utilizzati i valori attuali percentuali di I e dello ZCB, calcolati col tasso di
valutazione i.
- Se I = 0 il titolo si riduce a uno ZCB con valore facciale C e si ha D(0;x) = m
- Se I > 0 la Duration risulta funzione decrescente sia del tasso di valutazione , che del tasso
cedolare I/C (che coincide col tasso nominale)
- Al variare della maturity la Duration ammette ancora il valore asintotico (1+i)/i come per le
rendite a rata costante; tuttavia al variare di m, l'andamento della Duration non ha sempre
andamento monotono.
Se si aumenta la vita a scadenza del titolo, la Duration risulta avere andamento
strettamente crescente quando il tasso di valutazione non supera il tasso cedolare, cioè
se i ; invece per valori più bassi della cedola, cioè se è I/C < i , la Duration del titolo arriva a
superare il livello asintotico, crescendo fino ad un valore massimo, raggiunto il quale comincia a
decrecere, avvicinandosi dall'alto al valore (1+i)/i.
Questo effetto di decrescenza della Duration raramente si riscontra nei casi pratici dato che, per
valori tipici deiparametri i, I e
C,
il punto di massimo corrisponde a valori di m ben superiori alle
maturity usuali dei titoli con cdfola presenti sul
mercato
I/C
Metodi di misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse
Metodi basati sul tasso di rendimento
Si supponga che in t, siano osservabili i prezzi V j
, tale per cui j:1,2, … , n di n titoli a cedola fissa,
considerati caratteristici del mercato, per ciascuno dei quali è possibile ricavare il TIR rispetto al
prezzo.
Poiché l'orizzonte di scambio che caratterizza l'operazione di acquisto di un titolo con cedola è
rappresentato dalla vita a scadenza del titolo, si può ottenere una rappresentazione approssimata della
curva dei tassi facendo corrispondere al tasso interno del j - esimo titolo.
Si considerino in t = 0 tre Coupon Bond con valore facciale 100€, con:
Maturity : 1
: 2 anni 2
: 4 anni 3
: 7 anni
Cedola annuale : I 1
: 3€ I 2
: 4€ I 3
: 5€
I titoli, inoltre, sono quotati alla pari: V 1
= V 2
= V 3
= 100€
I tassi interni di rendimento sono espressi dal rapporto tra il valore della cedola e il
valore facciale i * 1
: (3/100)=0,03 (3%) i * 2
: (4/100) = 0,04 (4%) i * 3
: (5/100) = 0,
(5%)
Vengono poi tratta due ZCB con valore facciale di 100€
Maturity : 4
: 0,5 aanni 5
: 1 anno
Quotazione : V 4
: 99€ V 5
: 97,7€ i * 4
:
(100/99)
(1/0,5)
(2,0304%)
La misurazione della struttura per scadenza come problema di algebra lineare Vengono
trattati al tempo t, sul mercato n titoli obbligazionari. Fissato lo scadenzario t = {t1, t2, …, tm}
comune a tutti i titoli, ottenuto come insieme unione degli n scadenzari caratteristici dei singoli titoli.
Ovviamente il numero m di date in t sarà non minore del numero di date del più lungo degli
scadenzari specifici del singolo titolo.
Si indicherà poi con xj: {xj1, xj2, … , xjm} il flusso di pagamenti generati dal j - esimo titolo, ridefinito
sullo scadenzario comune aggiungendo poste nulle sulle date di t che rientrano tra le scadenze
specifiche del titolo.
Inoltre, se abbiamo n titoli, dobbiamo utilizzare una notazione con doppio indice, uno che ci dica qual è il
titolo e l'altro che ci dica qual è la data di pagamento.
In generale si avrà xji flusso pagato dal j - esimo titolo della scadenza i.
i * 5 : (100/97,7)- 1 = 0,
(2,35%)
Ponendo sul grafico i tassi sulle ordinate e il tempo sulle ascisse, graficamente si avrà una curva dei
tassi, con interpolazione
lineare
, dando origine alla curva
Questo metodo trascura il cosiddetto "effetto spezzata.
cedola";
semplifica cioè la struttura cedolare dei titoli
coupon bond ad uno ZCB con stesso rendimento e stessa vita a assimilando ogni
scadenza
.
Interpolare vuol
dire
fissare l'ascissa e vedere l'ordinata a quanto sarebbe
uguale
.
