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Matematica Finanziaria
1 Introduzione
Un’operazione finanziaria è un contratto che prevede uno scambio di capitali esigibili o disponibili in istanti di tempo diversi. Possiamo dunque distinguere un’operazione finanziaria in:
- certa: importi certi e scadenza fissa.
- aleatoria: importi e/o scadenze incerte.
1.1 Flussi di cassa
Il flusso di cassa è una quantità x (di entrata o uscita) che avviene in un deter- minato periodo t. Conseguentemente si definiscono una serie di tali flussi su più periodi una successione di flussi di cassa.
Dunque si genera una successione di importi monetari e uno scadenzario che consiste in una successione di tempi, ossia le scadenze dei relativi importi.
1.2 Investimenti
1.2.1 Principio di confronto
Parlando di investimenti, i mercati finanziari semplificano il processo decisionale attraverso il cosiddetto principio di confronto. Si valuta l’investimento confrontandolo con altri investimenti disponibili nel mercato stesso, che forniscono quindi una base di confronto.
1.2.2 Arbitraggio
Si parla di arbitraggio (free lunch) quando, avendo alternative di investimenti simili, è possibile guadagnare "senza investire nulla", sfruttando semplicemente differenti quotazioni di mercato e annullando di fatto i rischi. É chiaro che tali situazioni nella realtà accadono di rado, dato che le diverse quotazioni si livellerebbero nell’immediato. Perciò, nell’analisi si assume che non esistano opportunità di arbitraggio.
1.2.3 Dinamica
Una caratteristica dei mercati finanziari è la dinamicità, nel senso che gli strumenti finanziari vengono scambiati in modo continuo. Pertanto un titolo non può essere considerato con un singolo numero, bensì come un processo che varia. Dal momento che i mercati sono dinamici, l’investimento stesso è dinamico e di conseguenza il suo valore varia nel tempo e la composizione ottimale può variare.
1.2.4 Avversione al rischio
Un altro principio degli investimenti è l’avversione al rischio, in base al quale un agente economico sceglierà un’alternativa "sicura" anziché una più rischiosa. Tuttavia accetterà un rischio maggiore in cambio di un rendimento atteso mag- giore. La formalizzazione o la resa analitica di tale principio può avvenire in differenti modi, tra questi vi è l’analisi media-varianza.^1
2 Interesse
Si definisce interesse il compenso che si versa o si riscuote per il prestito di un capitale, in proporzione al tempo di durata e in misura espressa in percentuale, ordinariamente riferita all’anno. Un capitale C produce dopo un tempo t un montante M. Si ottiene il cosiddetto Interesse totale dalla differenza tra capitale e montante.
I = M − C (1)
Mentre si definisce come r (o i) il tasso unitario annuo d’interesse. La differenza tra i vari I e i dipende dal regime finanziario utilizzato e dalle regole stabilite per la capitalizzazione e per l’attualizzazione.
j Capitalizzazione, ossia il calcolo del valore futuro di un capitale disponibile al tempo presente
Attualizzazione, attribuzione del valore attuale a flussi monetari futuri
M
M
C
C
(^1) Teoria alla base del metodo di analisi quantitativa del portafoglio di Harry Markowitz, vincitore del premio Nobel per l’economia nel 1990.
2.1.1 Formule inverse
Dall’equazione 5 si possono ottenere tre ulteriori equazioni del regime dell’interesse semplice. Tali formule sono:
- Tasso, al fine di ricavare il tasso d’interesse a cui è stato investito il capitale C che ha prodotto il montante M dopo t anni:
r =
t
M
C
t
(I − 1) (7)
- Capitale, al fine di ricavare il capitale che ha prodotto il montante M :
C =
M
(1 + rt)
- Tempo, al fine di ricavare il tempo per cui è stato investito il capitale C che ha prodotto il montante M dopo t anni:
t =
r
M
C
r
(I − 1) (9)
Il termine: 1 (1 + rt)
r(t)
= v(t) (10)
è definito come il fattore di attualizzazione (v(t)).
2.2 Interesse composto
Il regime di interesse composto permette di capitalizzare gli interessi annual- mente. Infatti, se avendo un investimento con tale tipo di interesse dopo due anni si ottiene:
I 2 = r(C + I 1 ) = rC + r^2 C M 2 = C + I 1 + I 2 = C + rC + rC + r^2 C = C + 2rC + r^2 C = C(r^2 + 2r + 1) = C(1 + r)^2 (11)
In generale, la formula del regime dell’interesse composto è:
Mt = C(1 + r)t^ (12)
Dunque, all’aumentare degli anni t la crescita dovuta alla capitalizzazione può diventare notevole. La seguente figura permette di visionare graficamente del fatto che si parli di una funzione esponenziale.
C
t
M
2.2.1 Formule inverse
Dall’equazione 12 si possono ottenere tre ulteriori equazioni del regime dell’interesse composto. Queste formule sono:
- Tasso, al fine di ricavare il tasso d’interesse a cui è stato investito il capitale C che ha prodotto il montante M dopo t anni:
r = (
M
C
(^1) t − 1 (13)
- Capitale, al fine di ricavare il capitale che ha prodotto il montante M dopo t anni: C =
M
(1 + r)t^
- Tempo, al fine di ricavare il tempo per cui ´e stato investito il capitale C che ha prodotto il montante M dopo t anni:
t =
log MC log(1 + r)
2.2.2 Regola del 7-
Riguardo agli interessi composti esiste una semplice regola che consiste di sti- mare l’effetto della capitalizzazione sugli interessi stessi.
2.4 Principio di Equivalenza
Due operazioni si dicono equivalenti se a parità di tempo e capitale investito producono lo stesso montante. Ugualmente due tassi si dicono equivalenti se producono lo stesso montante. Due tassi rk e rh relativi a periodi diversi si dicono equivalenti se applicati a capitali uguali nello stesso tempo t producono lo stesso montante:
(1 + rk)kt^ = (1 + rh)ht^ (23)
Sia r il tasso annuo, r è equivalente al tasso periodale rm se soddisfa:
(1 + r) = (1 + rm)m^ (24)
da cui si ricava 2
r = (1 + rm)m^ − 1 rm = (1 + r) m^1 − 1 (25)
e allora il tasso nominale annuo sarà:
jm = mrm = m((1 + r) m^1 − 1) (26)
Bisogno inoltre ricordare che il tasso nominale (jm) è sempre minore del tasso effettivo (r ). Riassumendo: se il tasso annuale è:
- nominale (jm), il periodale è rm = j mm
- effettivo (r), il periodale è rm = (1 + r) m^1 − 1
2.5 Forza istantanea d’interesse
Dato jm il tasso nominale annuo, se si mandasse m all’infinito, tale tasso diven- terebbe un tasso istantaneo. Si avrà che:
lim m→+∞ jm = lim m→+∞ mrm = lim m→+∞ m((1 + r) m^1 − 1) = lim m→+∞
(1 + r) m^1 − 1 1 m (27) Ponendo (^) m^1 = x
lim x→ 0
(1 + r)x^ − 1 x
Così facendo è posibile applicare il teorema di De l’Hopital:
limx→ 0
(1 + r)xlog(1 + r) 1
= log(1 + r) = δ (29)
Dunque δ viene definito come forza istantanea d’interesse. (^2) La prima equazione serve a determinare il tasso annuo effettivo, dato il tasso periodale. La seconda serve invece a determinare il tasso periodale, dato il tasso annuo effettivo.
2.6 Capitalizzazione continua
Suddividendo l’anno in periodi sempre più piccoli e applicando una capitaliz- zazione mensile, settimanale, quotidiana, oraria, etc. si arriva ad un concetto di capitalizzazione continua. Si determina il suo l’effetto considerando il limite della normale capitalizzazione al tendere all’infinito di m.
limm→+∞(1 + rm)m^ = limm→+∞[1 + ( jm m
)]m^ = eδ^ (30)
Sarà possibile anche calcolare il valore di un montante in un periodo di durata arbitraria. (interesse composto) Considerando il capitale C investito in capitalizzazione continua al tasso istan- taneo d’interesse δ per il tempo t, ottenendo:
M = Ceδt^ (31)
2.6.1 Formule inverse
Dall’equazione 31 possiamo ottenere tre ulteriori formule. Queste equazioni sono:
- Tasso istantaneo d’interesse, al fine di ricavare il tasso δ che nel tempo t investendo un capitale C ha prodotto il montante M :
δ =
t
log(
M
C
- Capitale, al fine di ricavare il capitale che nel tempo t al tasso δ ha prodotto il montante M : C = M e−δt^ (33)
- Tempo, al fine di ricavare il tempo t che investendo un capitale C al tasso δ ha prodotto il montante M :
t =
δ
log(
M
C
2.8 Valore attuale
Il Valore attuale (VA) si può considerare come l’inverso del Valore futuro. Di conseguenza con VA si intende l’importo ad oggi del capitale che ha prodotto un determinato montante grazie ad un’operazione di attualizzazione. Dunque, data un’operazione finanziaria del tipo: x/t = {x 0 , x 1 , ..., xn}/{t 0 , t 1 , ..., tn}, ed il tasso di interesse r per ciascun periodo. Il suo valore attuale ad oggi sarà:
V A = x 0 v(t 0 ) + x 1 v(t 1 ) + ... + xnv(tn) =
∑^ n
i=
xiv(ti) (37)
0 t 0 t 1 tn− 1 tn
x 0 x 1 xn− 1 xn tempo
Figura 5 Valore attuale
Come per il valore futuro, in tal caso ad ogni importo (xi) viene attribuita la sua attualizzazione.
Il fattore di attualizzazione v(t) varia a seconda del regime utilizzato:
- Semplice [1 + r(t)]−^1
- Composta (1 + r)−t
- Continua e−δ(t)
Anche il Valore attuale può esser calcolato in m intervalli dell’anno. Per cui posto jm il tasso nominale convertibile. Il VF sarà:
V A =
∑^ n
i=
xi(1 +
jm m )−(ti)(m)^ (38)
2.9 Banca ideale
La banca ideale è un concetto teorico con cui viene definita una banca che presenti le seguenti caratteristiche:
- Applicazione di uno stesso tasso di interesse sia per i depositi che per i prestiti.
- Assenza di spese per il servizio.
- Assenza di commissioni alle transazioni.
- Applicazione di uno stesso tasso interesse per capitali di qualsiasi entità.
Assunta tale definizione, è possibili affermare che per una banca ideale due operazioni finanziarie x = {x 0 , x 1 , ..., xn} e y = {y 0 , y 1 , ..., ym} si dicono equivalenti se e solo se i rispettivi valori attuali calcolati al tasso r della banca sono uguali. Ciò risulta fondamentale dato che si potrà caratterizzare una successione di flussi di casa con il solo Valore attuale.^3
2.10 Criteri di valutazione
Al fine di determinare quale sia l’operazione finanziaria maggiormente conve- niente si utilizzano una molteplicità di criteri di valutazione, tra i più rilevanti vi sono:
- Valore attuale netto (VAN)
- Tasso interno di rendimento (TIR)
2.10.1 Valore attuale netto
Nell’utilizzo del Valore attuale netto è necessario considerare tutti i flussi di cassa dell’investimento, positivi (entrata xi > 0 ) e negativi (uscita xi < 0 ). La differenza tra il valore attuale di questi due flussi determinerà il cosiddetto Valore attuale netto (VAN).
Una singola operazione si dirà conveniente solo se il VAN sarà positivo. Mentre nel confronto di più operazioni finanziarie, quella più conveniente sarà l’operazione con il VAN maggiore
(^3) Se qualcuno offre una successione di flussi di cassa, basterà calcolare il VA e poi utilizzare la banca per configurare secondo le proprie esigenze la successione grazie al VA.
- Metodo di Newton-Raphson. Tale metodo, definito anche come metodo delle tangenti, consiste nel sostituire alla curva y = f (x), definita in un intervallo [a, b] e dove è confermato il teorema degli zeri, la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto all’interno dell’intervallo. Ri- cordando che la derivata prima e seconda dell’intervallo non si annullino. Si procede poi in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo è xn+1 = xn − (^) ff ′((xxnn))
Figure 2: Metodo di Newton-Raphson
Bisogna utilizzare questi metodi iterativi applicandoli al seguente grafico. Per cui andrà selezionato un intervallo di interesse, in seguito per questi stessi in- teressi calcolare i relatavi VAN, calcolare il valore medio e così via.
Figure 3: Grafico VAN e TIR
Teorema di esistenza del TIR Data una successione di flussi di cassa x 0 , x 1 , ..., xn con scadenzario 0 , 1 , ..., n, sia x 0 < 0 e xk ≥ 0 , con k = 1, 2 , ..., n e almeno un termine strettamente positivo. Posto c = (1 + r)−^1. L’equazione: x 0 + x 1 c + x 2 c^2 + ... + xncn^ = 0 (40)
ha un’unica soluzione positiva. Inoltre se
∑n k=o xk^ >^0 il corrispondente TIR r∗^ = (^1) c − 1 è positivo.
Andando a scomporre tale teorema si individuano le ipotesi "base", ossia:
x 0 < 0 xk ≥ 0 , k = 1, 2 , ..., n ed almeno un xk ≥ 0 (41)
In tal modo si ottiene che la funzione f (c) al tendere di c all’infinito cresce senza limite limc→∞ f (c) = ∞, e che f (0) = x 0 < 0. Dunque per il teorema degli zeri, dato che esistono dei punti discordi, la funzione (strettamente crescente) ammette un unico zero. La seconda ipotesi stabilisce che se
∑^ n
k=o
xk > 0 (42)
allora risulta che f (1) > 0. Tale passaggio è facilmente dimostrabile come segue f (c) = x 0 +x 1 c+x 2 c^2 +...+xncn^ −→ f (1) = x 0 +x 1 +x 2 +...+xn =
∑n k=o xk^ >^0. Questa seconda ipotesi sta a significare che l’unico zero è tra 0 e 1 [c(0, 1)]. Pertanto r∗^ = (^1) c − 1 > 0.
3.3 Rendita limitata
Considerando una rendita (immediata) limitata di durata n e rata R valutata al tasso r in capitalizzazione composta, si ottiene:
V A =
∑^ n
t=
R(1 + r)−t^ (46)
R R R
0 1 2 n
t
Si tratta di una serie geometrica finita. Al fine di ricavare la formula per la rendita limitata, basterà considerare due rendite perpetue.
R R R R
0 1 2 n n+
t
Rendita perpetua immediata posticipata con rata R
R R
0 n n+1 n+
t
Rendita perpetua posticipata differita di n periodi con rata R
Infatti una rendita limitata di durata di n con rata R equivale alla differenza tra una rendita perpetua immediata posticipata con rata R e una rendita perpetua posticipata differita di n periodi con rata R
V A =
∑^ n
t=
R(1 + r)−t^ =
∑^ ∞
t=
R(1 + r)−t^ −
∑^ ∞
t=n+
R(1 + r)−t^ (47)
V A =
∑^ n
t=
R(1 + r)−t^ =
R
r
R
r
(1 + r)−n^ (48)
Pertanto si ottiene:
V A =
R
r
(1 − (1 + r)−n) oppure R( 1 − (1 + r)−n r
In altri termine, una rendita immediata posticipata di durata n si può consid- erare come: V A = Raner (50)
dove aner = 1 −(1+r)
−n r , che viene definito come il^ valore attuale unitario.
Inoltre, dato che V A = V F (1 + r)−n^ e V F = V A(1 + r)n, allora sarà pos- sibile scrivere anche il montante^56 :
V F = Rsner (51)
dove sner = (1+r)
n− 1 r
3.3.1 Rendita limitata differita
Per una rendita limitata di durata n, rata R e differita di m periodi il suo valore attuale sarà pari al valore attuale di rendita immediata limitata di pari durata e R attualizzato rispetto agli m periodi.
V A =
m∑+n
t=m
R(1 + r)−t^ =
R
r
(1 − (1 + r)−n)(1 + r)−m^ (52)
(^5) Dimostrazione: V F = V A(1 + r)n (^) segue che V F = aner (1 + r)n, il secondo mem-
bro si prò riscrivere come 1 −(1+r) −n r (1 +^ r) n, moltiplicando i due termini si ottiene 1(1+x)n−(1+r)−n(1+r)n r , date la proprietà della potenza^ −n^ +^ n^ = 0^ e qualcosa elevato a 0 è uguale a 1. Pertanto si ottiene V F = (1+r)
n− 1 6 r Ricordando che il montante differito è uguale a quello immediato
