Scarica Matematica Finanziaria: Esercizi e Quiz e più Appunti in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity!
MATEMATICA FINANZIARIA
CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE
La matematica finanziaria studia i criteri per la valutazione razionale di importi monetari la cui disponibilità non coincid con l’istante di valutazione.
C= capitale attuale M= montante = capitale finale
Da qui avrò uno sconto D o un interesse I pari a I= D = M C.
LEGGE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE: è una funzione atta a definire il montante M(t) accumulato in un generico tempo t, da un capitale iniziale C → M(t) = F(C ; t). Da ciò si determinano 4 postulati:
1. F(C ; t) definita per ogni C ≥ 0 e per ogni t ∈ [0; T) → si può calcolare il montante M per qualsiasi
ammontare di C iniziale non negativo e per una durata di tempo inferiore a T.
2. F(C ; t) = C con C ≥ 0 → se t=0 allora M=C.
3. t 1 <t 2 → F(C ; t 1 ) < F(C ; t 2 ) → a parità di C il montante M di un’epoca t 2 risulta superore a t 1
4. F(C ; t) = F(1 ; t) → il montante M è direttamente proporzionale al capitale C investito.
FATTORE MONTANTE: M= C*f(t) dove f(t)=F(1,t) → secondo il postulato n°4. Ha 3 proprietà:
1. t ∈ [0; T) la funzione è definita;
2. f(0) = 1;
3. f’(t) ≥ 0 la funzione è sempre crescente.
INTERESSE E SCONTO E I RISPETTIVI TASSI: il tasso d’interesse e quello di sconto si possono riferire ad un periodo e, quindi, definiti periodali; oppure ad un tempo t=1 e, quindi, definiti unitari:
- PERIODALI: i. i(t)= f(t) 1 ii. d(t)= (^1) f^1 ( t )
- UNITARI: per l’ipotesi di non decrescenza del fattore montante f(t), il tasso unitario di interessa sarà non negativo. i. i(t)= f(1) 1 ii. d(t)= (^1) f (1)^1
Da qui si ha che i e d sono legati dalla seguente relazione: d = (^) 1 + i i i = 1 −^ d d
REGIMI FINANZIARI DI CAPITALIZZAZIONE: quest’ultima è un’operazione che comporta un differimento di disponibilità monetaria. Il montante M è la variabile indipendente in quanto si conoscono sia il capitale iniziale C che il tasso di interesse i(t). Per la rappresentazione del montante M, si parte dalla funzione di montante, in particolare, esistono tre tipi di funzioni che portano ad una diversa capitalizzazione:
- FUNZIONI AFFINI → f(t) = 1+ ht (h≥ 0) → capitalizzazione ad interesse semplice;
- FUNZIONI ESPONENZIALI → f(t) = eht^ (h≥ 0) → capitalizzazione ad interesse composto;
- FUNZIONI IPERBOLICHE → f(t) = (^) 1 −^1 ht (h≥ 0) → capitalizzazione ad interesse anticipato.
(h≥ 0) perchè δ secondo la proprietà non deve decrescere.
- REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE SEMPLICE f(t)= 1 + ht Si parte dal presupposto che l’interesse maturato fino al tempo t sia direttamente proporzionale al capitale iniziale C. Si avrà così:
I(t)= Cit M(t)= C + I(t) = C + Cit = C (1 + it) D= Mdt
Grafico di M(t) = C(1 + it) e I(t)= Cit Grafico di f(t)= 1 + it dove i determina l’angolazione della retta (coefficiente angolare). Nel caso in cui t non corrispondo no ad un numero intero, per quanto riguarda la capitalizzazione semplice, si usa la stessa formula per il montante. Per quanto riguarda l’individuazione del periodo se:
- C impiegato per mesi interi (m<12) → I= C* i* m 12
- C impiegato per giorni (gg<30) → I= C* i* 365^ gg → per anno commerciale utilizzo 360
Infine, a volte, succede che il periodo sia costituito da tassi d’interesse diversi. Sia i 1 il tasso applicato da 0 a t 1 e i 2 il tasso applicato da t 1 a t 2. Avrò:
I 1 = C*t 1 i 1 I 2 = Ct 2 *i 2 M(t)= C (1 + i 1 t 1 +i 2 (t 2 t 1 ))
Se ho un’interruzione del tempo per il calcolo del montante avrò: M(t)= Cf(t 1 )f(t t 1 ).
2) REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE COMPOSTO f(t)= eht
A differenza della capitalizzazione semplice, in quella composta, sono gli interessi che si formano in ogni periodo ad essere proporzionali direttamente al montante M. È diversa da quella semplice, perchè in questa è l’interesse maturato al tempo t ad essere proporzionale e in più è proporzionale al capitale.
M(n)= C (1 + i)n^ I(n)= C [(1 + i)n^ 1]
Nel caso di tassi variabili nel tempo, si avrà: M(t 2 )= C (1 + i 1 )t1^ (1 + i 2 )(t2^ t1)
Nel caso in cui t non corrisponda ad un numero intero, si possono adattare due convenzioni:
1. CONVENZIONE LINEARE → M= C(1 + i)n^ (1 + if)
fattore montante in tempi non interi
2. CONVENZIONE ESPONENZIALE → M(n)= C (1 + i)n
Bisogna comunque notare che la Convenzione lineare > Convenzione esponenziale. Legenda grafico 1: Linea blu (rette) = M1 della convenienza lineare; Linea nera (curva) = M2 della convenienza esponenziale. Come si può notare, M1 è una spezzata in cui i punti angolosi hanno ascissa intera, mentre M2 è una curva
● per periodi di durata superiore a quella unitaria MA sarà il montante maggiore.
TASSI EQUIVALENTI: due tassi si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale impiegato C, lo stesso montante M, ovvero gli stessi interessi I. A seconda del tipo di capitalizzazione ho diverse relazioni tra tassi equivalenti:
- RELAZIONI TRA TASSI EQUIVALENTI DI REGIMI DIFFERENTI: tassi unitari i e y relativi rispettivamente al regime di capitalizzazione semplice e quello composto, occorre eguagliare i due
montanti. → M(t)= C (1 + it)= C (1 + y)t^. Da ciò si può estrarre i e y → i= t^1 [(1 + y)t
y= (^) √^ t^ (1 + it ) 1
- RELAZIONI TRA TASSI EQUIVALENTI NEL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE: Beni temporali di differente ampiezza, si ha i il tasso annuo e ik il tasso espresso in ragione di^1 k anno. La durata sarà t e _tk= kt_*. Eguagliamo i montanti e otteniamo: M(t)=
C (1 + it) = C (1 + ik (tk)) → i= k*ik.
3. RELAZIONI TRA TASSI EQUIVALENTI NEL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTO:
Eguaglio montante , beni temporali differenti: i → t ik → tk= k*t. Avrò, così: M(t)= C (1 + i)t^ = C (1 + ik)tk. → i= (1 + ik)k^1 ik= (^) √^ k^ (1 + i ) 1
TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE IN k VOLTE L’ANNO (jk): Si ha che jk= ik*t. Non ha
alcun significato finanziario e quindi bisogna far riferimento a ik. → i > jk → i= (1 + ik)k^ 1 > jk= k*ik →
i= jkt
TASSI MEDI: tassi d’interesse non costanti nel tempo. È il tasso “costante equivalente” alla sequenza dei tassi variabili, ossia si ottiene lo stesso M. Cambia a seconda che si usi la capitalizzazione:
● SEMPLICE : avrò: ● M(t 2 )= C (1+ i 1 t 1 + i 2 (t 2 t 1 )) = C (1 + it 2 ) ● i= i 1^ tt 21 + i 2^ t 2 − t 2 t^1 → media ponderata ● COMPOSTO : avrò: ● M(t 2 )= C (1+ i 1 )t1^ (1 + i 2 )t2^ t1^ = C (1 + i)t
● 1 + i= √^ n (1 + i 1 )^ t^1 + ( 1 + i 2 )^ t 2 −^ t^1 + ...... (1 + i n ) tn^ −^ t^1 → media geometrica
FORZA D’INTERESSE: analizza il modo in cui cresce il M nel tempo, ovvero il processo si formazione dell’interesse. I(t , t+Δt)= M (t , t+Δt) M(t)
i (t , t+Δt)=^ M^ ( t^ ,^ t +Δ M ( tt ) −)^ M ( t )=^ f ( t^ ,^ t +Δ f ( tt )) −^ f ( t )
INTENSITÀ D’INTERESSE: i^ ( t ,^ Δ t +Δ t t )^ =^ f ( t^ ,^ Δ t +Δ t * tf ) −( t )^ f ( t )^ Se f(t) è differenziabile, allora faccio il limite: lim
Δ t →
i ( t , Δ t +Δ t t ) = f f ′(( tt ))
FORZA D’INTERESSE: ∂(t)=^ ff^ ′(( tt )) essa è differente a seconda del tipo di capitalizzazione:
● SEMPLICE : avrò: ∂(t)= 1 + i it
● COMPOSTO : avrò: ∂(t)= ln (1 + i)
● ANTICIPATO : avrò: ∂(t)= 1 + d dt
Se integro la forza d’interesse ad un intervallo [0 ; t] posso risalire al fattore montante f(t)= e^ ∫δ( s ) ds
CAPITALIZZAZIONE CONTINUA: gli interessi si capitalizzano istante per istante. ho jk= k*ik e i+1= (1 + ik)k
Esplicito i tassi e avrò la scissione ⎨jn⎬ → 1+i = 1+j 1 = ( 1 + 2^ j^2 )^2 = ( 1 +^ j 33 )^3 = (1 + j nn )n^ monotona
decrescente → 1+i = lim (1 + )n^ = e j’
n →∞ n
jn
SCINDIBILITÀ: una legge si dice scindibile se il M di un capitale C, impiegato fino ad un tempo t, non varia se l’impiego viene interrotto in t 1 , con 0<t 1 <t, e il M ottenuto in t 1 viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo t t 1. → f(t)= f(t 1 )( t t 1 ). A seconda del tipo di capitalizzazione, si ha o meno la scindibilità: ● SEMPLICE : non è scindibile, in quanto la forza d’interesse dipende da t (essendo questo posto al denominatore). Infatti, se si seguono le due modalità non si ottiene lo stesso montante, questo sarà maggiore nel caso in cui l’impiego viene interrotto; ● COMPOSTO : è scindibile, in quanto è composta con una convenzione esponenziale. Avrò, infatti, che i M delle due modalità sono uguali. ● ANTICIPATO : non è scindibile, in quanto la forza d’interesse dipende da t (essendo questo posto al denominatore). Infatti, se si seguono le due modalità non si ottiene lo stesso montante, questo sarà maggiore nel caso in cui l’impiego viene interrotto.
VA RENDITA ANTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA A REGIME DI SCONTO COMPOSTO
V= R* i (1 + i)
1 − ( i + 1)− n
VA RENDITA POSTICIPATA DIFFERITA DI p PERIODI UNITARIA A REGIME DI SCONTO
COMPOSTO V= R* i (1 + i) n
1 − ( i + 1)− n
VA RENDITA ANTICIPATA DIFFERITA DI p PERIODI UNITARIA A REGIME DI SCONTO
COMPOSTO V= R* i (1 + i) (1 + i) p
1 − ( i + 1)− n
VA RENDITA POSTICIPATA PERPETUA A REGIME DI SCONTO COMPOSTO
V= Ri
VA RENDITA POSTICIPATA PERPETUA A REGIME DI SCONTO COMPOSTO
V= R* (1+ (^) i^1 )
RENDITA SEMPLICE COMPOSTA COMMERCIALE
POSTICIPATA
∑
n
k =
1 1+ ki i
1 − ( i + 1)− n n [1 d ] 2
n + 1
ANTICIPATA
∑
n −
k =
1 1+ ki
i (1 + i)
1 − ( i + 1)− n n [1 d ] 2
n − 1
VA RENDITA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA IN PROGRESSIONE ARITMETICA DI
REGIONE b E PRIMA RATA R A REGIME DI SCONTO COMPOSTO
V= R* (^) i + ( nvn)
1 − ( i + 1)− n i
b i
1 − ( i + 1)− n
VA RENDITA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA IN PROGRESSIONE GEOMETRICA DI
REGIONE q E PRIMA RATA R A REGIME DI SCONTO COMPOSTO
V= 1 − qv
Rv [1−( qv ) ]
n
MONTANTE DI UNA RENDITA: è la somma dei M delle singole rate, calcolati al termine del regime di capitalizzazzione (e non sconto) prescelto. Il tasso d’interesse è definito, in questo caso, tasso di remunerazione.
M= ∑Rk* f(tn tk)
k
M RENDITA PERIODICA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA A REGIME DI INTERESSE COMPOSTO
M= R* i
( i + 1) n − 1
M RENDITA PERIODICA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA A REGIME DI INTERESSE
COMPOSTO
M= R* (1+i) i
( i + 1) n − 1
RENDITA SEMPLICE COMPOSTA COMMERCIALE
POSTICIPATA (^) n [1+ (n 1) i ] (^2) i
( i + 1) n − 1 ∑
n −
k =
1 1− kd
ANTICIPATA (^) n [1+ (n+1) i ]
2 (1+i) i
( i + 1) n − 1 ∑
n
k =
1 1+ kd
VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t: è la somma delle rate anteriori alla scadenza t + la rata alla scadenza in t + VA rate a scadenza posteriore a t, calcolati in base al regime di capitalizzazione e attualizzazione prescelto: ● SEMPLICE :
○ V(t)= ∑ Rk* f(tn tk) + Rk* g(tn tk)
j k =
n k = j + ● COMPOSTO :
○ V(t)= (1+i)t^ ∑ Rk* (1+i) tk^ + Rk* (1+i) tk^ = (1+i)t^ V(0)
j k =
n k = j +
PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA : due rendite con VA uguali sono finanziariamente equivalenti ad ogni tempo t se, e solo se, il loro valore è calcolato con leggi congiunte ad interesse composto. Per capitalizzazione semplice, non è detto che rimangono uguali sempre nel tempo, quindi bisogna semplificare il tempo t. Per capitalizzazione composta rimangono sempre equivalenti.
CALCOLO Q CARATTERISTICHE RENDITA PERIODICA POSTICIPATA A CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
R= 1 − ( Vi^ + 1) i − n n= ln (1+ i ) g(i)= R (1+i) k^ v
ln [ R^ − R^ iv ]
n k =
COSTITUZIONE DI UN CAPITALE MEDIANTE VERSAMENTI PERIODICI POSTICIPATI
COSTANTI S= R* i
( i + 1) n − 1
COSTITUZIONE DI UN CAPITALE MEDIANTE VERSAMENTI PERIODICI POSTICIPATI
COSTANTI S= R*(1+i) i
( i + 1) n − 1
FONDO DI COSTITUZIONE DELL’EPOCA k MEDIANTE VERSAMENTI PERIODICI COSTANTI IN REGIME COMPOSTO: per conoscere quale somma è stata accantonata fino ad una certa epoca, occorre calcolare
il fondo di costituzione, ossia il montante in t delle k rate versate. Ft= R* i
( i + 1) − 1 k
COSTITUZIONE MEDIANTE VERSAMENTI PERIODICI DI IMPORTO VARIABILE
S= ∑Rs*(1+i)n s
n s =
COSTITUZIONE CON VARIAZIONE DEL TASSO: S’= R*(1+i’)n k i
( i + 1) n − k − 1
RIMBORSO DI UN PRESTITO: possono essere di tre tipi: ● GLOBALE FINALE: il capitale S e gli interessi maturati vengono restituiti alla scadenza. Alla scadenza sarà, dunque, da corrispondere il montante dell’importo prestato.
○ REGIME SEMPLICE : M= S (1+it)
○ REGIME COMPOSTO : M= S (1+i)t
○ REGIME ANTICIPATO : M= 1 + S dt
● GLOBALE CON INTERESSI PERIODICI:
○ ANTICIPATI : Ik= d*S
○ POSTICIPATI : Ik= i*S
AMMORTAMENTI: l’importo di ciascuna rata Rk sarà costituito da una parte destinata alla restituzione (Ck) e da un’altra parte, quota d’interesse (Ik), che remunera il capitale effettivamente disponibile nel periodo considerato.
Rk= Ck * Ik
● INTERESSI:
● QUOTA DI INTERESSE POSTICIPATA Ik= i*Dk 1
● QUOTA DI INTERESSE ANTICIPATA Ik= d+Dk
● DEBITO:
● D0= S
● Dn= 0
● Dk= Dk 1 Ck
● DEBITO ESTINTO:
● E0= 0
● En= S
● Ek= Ek 1 + Ck
● CONDIZIONI DI CHIUSURA INIZIALE: ∑Ck=S
● CONDIZIONI DI CHIUSURA FINALE: S= ∑ (1 + Rk i ) k
TIPI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTO:
- AMERICANO: operazione finanziaria composta nella quale figurano: ● un’operazione di rimborso globale con interessi periodici; ● operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q, consenta all’epoca n (scadenza del prestito), di poter disporre di un capitale d’imposto pari all’ammontare S del prestito. Questa operazione si regola sulla base del tasso i’, solitamente inferiore a i. Si ha due tassi:
● EPOCA INIZIALE : Sk= Rk + Qk
● SCADENZA : Rn= i*S + S
i= i’= S* (i+ (^) (1 + ii ) −1 n )
Q= costante
- FRANCESE: è a rate costanti, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento al variare della scadenza in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R.
S= R* i
1 − ( i + 1)− n
Ck= C1 (1 + i)k 1^ Ck 1 = Ck (1 + i)
Ek= S* (1 + ii ) −1 n i
( i + 1) − 1 k
Dk= R* i
1 − ( i + 1)−( n − k )
- ITALIANO: è a quota di capitale costante. Prevede che, a fronte di capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote di capitale siano di uguale importo.
Rk= Ck * Ik
C1= C2= …….= Cn= Q
Q= nS
S= ∑Ck= n*Q
n k =
Ek= k*Q → Ek+1= Ek + Q
Dk= S Ek → Dk+1= Dk Q
Ik= i* Dk 1
NUDA PROPRIETÀ: Ps= ∑ Cj * v j^ s
n j = s + i
ESTINZIONE ANTICIPATA DI PRESTITO: nel corso dell’ammortamento il debitore chiede di estinguere anticipatamente il suo debito → riscatto del debito.
AMMORTAMENTO FRANCESE: Vs= R* i
1 − ( i + i ′) −( n − s )
i= i’= Vs= Ds
ESTINZIONE IN EPOCA INTERMEDIA s: t = s + f
● ESPONENZIALE: Vs+f= R* i (1+i’)f
1 − ( i + i ′) −( n − s )
● LINEARE: Vs+f= R* i (1+i’f)
1 − ( i + i ′) −( n − s )
AMMORTAMENTO A TASSO VARIABILE: prestiti a tasso variabile nel tempo. Rimane valida la condizione di chiusura elementare, la condizione di chiusura finanziaria non vale più.
AMMORTAMENTO ITALIANO : Q= nS = C
Ih= i* Dh 1 → I’h= i’* Dh 1
R’k= C * I’k
AMMORTAMENTO FRANCESE A R COSTANTE : S= R* i
1 − ( i + 1)− n
Ih= i* Dh 1 → I’h= i’* Dh 1
R’k= Dk * (1 + ii ′ ′) −1 n
CRITERI DI SCELTA: bisogna associare ad ogni progetto P, un indice di preferenza I(P)∊ℝ:
● COMPLETEZZA : definisce un progetto negativo. Medesima struttura rispetto a tempo e capitale; ● AMMISSIBILITÀ : compatibilità con la situazione economico finanziaria; ● INDIPENDENZA : attuazione alternativa non ha effetti sull’attualbilità di altre; ● ALTERNATIVA : accettazione dell’una esclude l’accettazione dell’altra. Se due progetti A e B hanno le 4 caratteristiche sopra elencate, associo I(P): ● I(A) > I(B) preferisco A a B A ≻ B ● I(A) < I(B) preferisco B a A B ≻ A ● I(A) = I(B) progetti equivalenti A ≋ B
CRITERIO DEL PAY BACK: detto anche tempo di recupero, rappresenta il tempo necessario affinché si possa recuperare integralmente il capitale impiegato. Per una data operazione finanziaria, è la scadenza più vicina tra quelle per le quali il totale dei ricavi consente di recuperare i costi sostenuti (ossia quando si realizza un’inversione di segno nei saldi di cassa). Si tratta di calcolare: tp= ⎨min tk | C0* Sk <0, k= 0,1,2,...,n⎬ I(P)= tp se P investimento +tp se P finanziamento Tra più alternative di investimento si preferisce quella con tempo di recupero minore per investimento e maggiore per finanziamento. Se bisogna scegliere tra due investimenti P e Q, I(P)= tp I(Q)= tq, cosicché
I(P)>I(Q) solo se tp> tq. I soldi di cassa sono moltiplicati per C0 in modo da utilizzare la stessa formula per gli investimenti (C0<0) che per i finanziamenti (C0>0). I(P) conduce ad indicazione di una dimensione temporale (invece che valore reddituale economico). Non tiene conto della distribuzione temporale dei costi e dei ricavi entro tp; nè dei ricavi e/o costi successivi a tp.
R.E.A (Risultato Economico Attualizzato): è il valore attuale dei suoi flussi di cassa. Ck importi dei flussi di cassa derivanti da operazioni finanziarie di P, non tutti uguali a = e tk le scadenze. g(tk) è il fattore di sconto.
V(i)= ∑Ck* g(tk) → I(P) = V(i) sia che si tratti di un investimento che di un finanziamento.
L’investimento preferisce R.E.A maggiore, mentre il finanziamento minore. Se due alternative hanno un R.E.A. uguale sono indifferenti. R.E.A. (^) A+B = R.E.A. (^) A + R.E.A. (^) B e R.E.A.αA = αR.E.A.A. La determinazione del R.E.A. richiede la scelta di valutazione i, di solito si utilizza il regime d’interesse composto. Si
ha, così: V(i)= ∑ Ck (1 + i) k
n k = ● con i= 0 avrò V(i)= ∑Ck;
● con i nullo avrò (^) i lim→+∞ V ( i ) = C 0
La R.E.A. fornisce un criterio soggettivo, in quanto dipende dalla scelta del tasso i: ● si possono effettuare reimpieghi per investimenti; ● dove regola la provvista di fondi per P per finanziamenti. Qualora i P a confronto non siano completi, si ha la necessità di procedere al completamento, solo se non possono essere effettuate nello stesso tasso con le quali si effettuano le valutazioni. Se si bisogna integrare i progetti P e P’ con le operazioni Q e Q’, si ha che R.E.A.Q = R.E.A.Q’ e, di conseguenza, R.E.A.P + R.E.A.Q = R.E.A.P e R.E.A.P’ + R.E.A.Q’ = R.E.A.P’.
T.I.R. (Tasso Interno di Rendimento): è il tasso di valutazione i, in corrispondenza al quale il VA dei suoi
flussi si annulla. V(i)= ∑ Ck*g(tk). Il T.I.R. dell’operazione è quel tasso che, se esiste nell’intervallo ( 1; + ),
n k =
rende equa l’operazione, ossia il tasso i* per il quale V(i)=0. I(P)= +i* se P investimento i* se P finanziamento Si preferisce quella con T.I.R. maggiore per investimento e minore per finanziamento (TIC). Se due alternative hanno un R.E.A. uguale sono indifferenti. T.I.R. (^) A = T.I.R. (^) A e T.I.R.αA = αT.I.R.A. Nel regime ad interesse composto avrò
V(i)= ∑ Ck (1 + i)k
n k =
TEOREMA DI LEVI: dato un investimento (finanziamento) con saldo contabile alla scadenza positivo
(negativo), S(tn)= ∑ Ck>0 (S(tn)= ∑Ck<0), condizione suffciente dell’esistenza del T.I.R. (T.I.C.) positivo
è che la scadenza media aritmetica delle uscite (entrate) preceda la scadenza della prima entrata (uscita), ossia che l’investimento (finanziamento) sia in senso lato. TEOREMA NORSTRØM: dato un investimento (finanziamento), condizione sufficiente di esistenza del T.I.R. (T.I.C.) positivo è che il saldo contabile cambia segno una sola volta, ossia che l’investimento
t= istante valutazione; T= scadenza.
Realizza uguaglianza tra Pt e la ∑dei VA di tutte le prestazione future. Lo yeld prevede due ipotesi:
● REINVESTIMENTO DEI FLUSSI INTERMEDI; ● MANTENIMENTO DEL TITOLO FINANZIARIO A SCADENZA. Ho il limite che non offre nessuna garanzia che si mantenga costante fino a scadenza, in quanto non tiene conto dei mutamenti delle condizioni di mercato.
RENDIMENTO CEDOLARE rc: è una metodologia efficace per approssimare lo yeld. Viene definito anche
coupon return, ed è il rapporto tra la cedola annua C e il prezzo P. rc= PC
Non considera le variazioni di prezzo. Questo problema si risolve applicando: y ≋ rc = D^ P −^ P^^1 n
Curva dei rendimenti (Ti ; yi) Ti= scadenza e Yi= yeld i esimo → yeld curve (bisognerebbe farlo solo con titoli zero cupon).
TASSI SPOT: sono tassi d’interesse che il mercato finanziario adotta ad una determinata epoca t per valutare prestazioni finanziarie certe. Sono determinati, ossia ne esiste uno solo per la scadenza k esima. Si identificano con uno yeld che scade tra k periodi. Ha una struttura per scadenza dei tassi di rendimento ⎨Rk,K= 0,1,2,....,n⎬. Avrò Rk= tassi spot, C= cedola e D= rimborso capitale.
V= C + (1 + Rk ) k
D (1 + Rn ) n
TASSI FORWARD srp : sono tassi a termine ed impliciti. Indicano il tasso d’interesse che il mercato ritiene
debba manifestarsi tra s per impegni che si protranno per p periodi.
srp=^ [^ ]
1/p 1 (1 + R
(1 + R s ) s s+p)s+p^ = (1 + R^ s)s^ (1 +^ srp^ )p
(1 + R (^) s + p )^ s + p
DURATION: è la variazione del prezzo rispetto ad una variazione infinitesima dello yeld (ex mutamento condizioni di
mercato). D= (th t0)wh wh= Ch (1 + y)t0 th^ P^1 può essere anche scritto come D=^ 1 + y^ y
CONVESSITÀ: è la variazione % del valore conseguente alla variazione dello yeld. Δ PP (^) = (^) 1 + D y Δ y + (^21 1) P ddy P 2 ( ) (^2) + o (( ) (^2) ) 2
Δ y Δ y
OBBLIGAZIONI INDICIZZATE: dovute a variabilità dei tassi d’interesse. Sono strumenti d’investimento simili a titoli obbligazionari, ma con cedola d’importo variabile (CCT). Ciò, comporta seri problemi di valutazione.
ASSICURAZIONI
ASSICURAZIONI: contratto mediante il quale l’assicurazione si impegna, dietro versamento, a pagare capitali predefiniti al beneficiario se si verifica un evento di natura aleatoria. I soggetti di un contratto sono: ● COMPAGNIA ASSICURATRICE; ● CONTRAENTE : colui che stipula il contratto; ● ASSICURATO : a cui si riferiscono gli eventi aleatori oggetto dell’assicurazione; ● BENEFICIARIO : a cui vengono versate le somme assicurate. Inoltre, esistono diversi tipi si contratto assicurativo: ● ASSICURAZIONI DI RAMI ELEMENTARI O CONTRO DANNI: evento assicurativo è un sinistro aleatorio che danneggia direttamente l’assicurato o del quale l’assicurato è responsabile a danno del beneficiario. ● ASSICURAZIONI SULLA VITA: evento assicurativo è l’essere in vita ad una data epoca o di morire entro un certo intervallo di tempo. Essi si suddividono a loro volta in: ● ASSICURAZIONE VITA PER CASO VITA; ● ASSICURAZIONE VITA PER CASO MORTE; ● ASSICURAZIONI MISTE. ● ASSICURAZIONI SOCIALI.
BASI TECNICHE: premi assicurativi calcolati in funzione di due quantità: ● BASI TECNICHE FINANZIARIE : scelta del tasso d’interesse; ● BASI TECNICHE DEMOGRAFICHE : scelta degli strumenti per la valutazione della probabilità di vita o di morte.
DURATA ALEATORIA DI VITA DI UN INDIVIDUO: possedendo T0 come durata aleatoria di vita si un
individuo di età x=0, la funzione di morte è F0(x)= Prob ⎨T0 ≤ x⎬. La funzione F0(x) è crescente.
Si definisce funzione di sopravvivenza la funzione: l(x)= 1 F0(x) = Prob ⎨T0 > x⎬→ probabilità individuo di
essere in vita all’età x. La durata di vita Tx= T0 x. Per il teorema della probabilità composta, la probabilità di morte entro t anni per una
testa di età x è /tqx= l ( x ).
l ( x ) − l ( x + t )
La probabilità di vita tpx =^ ll (( xx +) t ).
La probabilità di morte differita z /tqx=^ l ( x + z ) − l (^ xl )( x + z + t )
La probabilità di una testa di età x+z+t z + tpx =^ l ( xl +( xz )+ t ).
Il tasso annuo di mortalità px = l ( x ).
l ( x +1)
TAVOLE DELLA SOPRAVVIVENZA: si consideri una collettività Γ formata da un numero L di individui nati tutti nello stesso momento, omogenei rispetto al rischio di decesso e gruppo chiuso: l(0); l(1); l(2);....; l(z) ;....;l(w 1). Il numero di decessi d(x)= l(x) l(x+1) con una tavola della mortalità: d(a); d(a+1); d(a+2); ….; d(x); ....; d(w 1).
PROBABILITÀ DI VITA npx: data l’omogeneità degli individui della collettività rispetto al rischio di decesso, è
possibile utilizzare la funzione di sopravvivenza per cui la probabilità per una testa di età x di essere viva tra n anni è
