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MATEMATICA FINANZIARIA
CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE
Operazioni finanziarie: La matematica finanziaria studia i criteri per la valutazione razionale di importi monetari la cui disponibilità non coincide con l’istante di valutazione. Il “valore” di una somma di denaro si incrementa con il passare del tempo, sia in un’operazione di investimento, sia in un’operazione di finanziamento. I casi descritti comportano uno scambio tra importi disponibili a tempi diversi, il valore della somma di denaro che si vuole valutare coincide con l’importo che oggi si può scambiare con essa. Questo scambio si definisce più propriamente operazione finanziaria. Un’operazione finanziaria un qualsiasi contratto che dia origine allo scambio di somme di denaro riferite a epoche diverse, sono esempi di operazioni finanziarie:
_- Acquisto di BOT e successiva vendita.
- Acquisto di certificati di deposito a scadenza fissa.
- Sconto di cambiale.
- Accensione di mutui.
- Acquisti a pagamento rateale.
- Contratti di leasing._ Un’operazione finanziaria si dice semplice o complessa a seconda anche vi siano coinvolte due o più scadenze. Ad esempio, è un’operazione finanziaria semplice lo sconto di una cambiale, nel quale intervengono due tempi rilevanti: quello in cui la banca anticipa al portatore della cambiale la somma scontata e quello in cui la stessa baca entra in possesso del capitale della cambiale pagato dal debitore. Un’operazione complessa è invece l’investimento in un BTP: in questo caso le date rilevanti sono l’istante di investimento e le date di incasso di ciascuna delle cedole, nonché quella di rimborso finale del capitale. Un’operazione finanziaria si suddivide anche a pronti, quando il prezzo dell’operazione viene pagato nel momento in cui esso viene concordato tra le parti o a termine, in cui il prezzo dell’operazione viene pagato in un’epoca successiva a cui esso è concordato. Un’operazione finanziaria si dice certa se il capitale e la sua epoca (scadenza) sono deterministici (decisioni finanziarie in condizioni di certezza) o aleatoria se tale è almeno uno degli elementi capitale o epoca (decisioni finanziarie in condizioni di incertezza. Montate, Interesse e Sconto: Riportiamo schematicamente sull’asse dei tempi i capitali coinvolti in un’operazione finanziaria semplice. Siano t 1 e t 2 le date iniziali e finali dell’investimento. L’importo investito si dice capitale iniziale, quello disponibile alla fine di investimento capitale finale o montante. Riesce del tutto ragionevole ritenere che il montante si superiore al capitale iniziale: infatti, chi rinuncia oggi ad una disponibilità finanziaria differendola nel tempo, richiede che gli venga corrisposto un adeguato compenso. Analogamente, chi richiede oggi la disponibilità di una somma che gli sarebbe dovuta ad una data futura, deve corrispondere un adeguato compenso. In entrambi i casi, questo compenso è dato dalla differenza tra il montante e il campitale iniziale e viene detto interesse (I) o sconto (D). I = D = M - C
Leggi finanziarie di capitalizzazione: La determinazione del valore del montante di un’operazione finanziaria, della quale siano note le altre quantità caratteristiche, avviene usando particolari funzioni, il cui utilizzo è stabilito di comune accordo tra le parti interessate. Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t) accumulato al tempo generico t da un capitale iniziale C. M(t) = F(C,t) Dove t = t 2 - t 1 è l’ampiezza dell’intervallo di tempo che intercorre tra le due scadenze t 1 e t 2. La funzione M(t) deve rispettare i seguenti postulati:
1. F(C,t) è definita per ogni C ≥ 0 e per ogni t appartenente all’intervallo [0, T). È possibile calcolare il montante M per qualsiasi ammontare di capitale iniziale non negativo e per _qualsiasi durata di impiego inferiore ad un dato tempo T.
- F(C,0) = C per ogni C ≥ 0. Se la data di impiego è nulla, il montante coincide con il_ _capitale.
- t 1 < t 2 —— F(C,t1) ≤ F(C,t2). A parità di capitale investito, il monetante ad un’epoca_ successiva risulta non inferiore al montante ad un’epoca precedente il capitale impiegato _non perde valore nel tempo.
- F(C,t) = C · F(1,t). A parità di durata di impiego, il montante è direttamente proporzionale_ al capitale impiegato. Si dimostrano le seguenti proprietà:
- F(0,t) = 0 per ogni t ≥ 0. Ossia il montante di un capitale nullo è nullo a qualsiasi epoca futura.
- 0 < C 1 < C 2 —— F(C 1 ,t) < F(C 2 ,t). Ossia a parità di durata di impiego, a capitale iniziale maggiore corrisponde montante maggiore. Ponendo C = 1, si definisce la funzione della singola variabile t: f(t) = F(1,t) Che si dice fattore di montante ed è una funzione che esprime il montante al tempo t di un capitale iniziale C unitario. Da quanto esposto si deduce che il datore di montante è una funzione f(t):
- Definita per t appartenente all’intervallo [0,T).
- Tale che f(0) = 1.
- Non decrescente, se derivabile f’(t) ≥ 0. Dunque il montante al generico tempo t sarà dato da: M(t) = C · f(t) Analogamente i tassi di interesse e di sconto maturati al tempo t saranno: I(t) = S(t) = M(t) - C = C · [f(t) - 1]
Regimi finanziari di capitalizzazione: Un’operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria immediata si dice capitalizzazione. Di tale operazione si analizza l’andamento del montante nel corso del tempo, che quindi è la variabile indipendente, essendo noti l’importo del capitale iniziale e il tasso unitario di interesse. I fattori di montante si rappresentano matematicamente mediante tre diverse famiglie di funzioni, caratterizzate da un parametro h:
- Funzioni affini:
- Funzioni esponenziali:
- Funzioni iperboliche: Il parametro h è legato al tasso di interesse caratteristico della capitalizzazione. A un dato valore di h corrisponde una ben determinata funzione di montante, che caratterizza una legge di capitalizzazione. Quando si stabilisce di utilizzare una specifica forma funzionale tra quelle elencate, si dice che si è determinato un regime finanziario, tra cui:
- Regime finanziario di interesse semplice – per funzioni affini.
- Regime finanziario di interesse composto – per funzioni esponenziali.
- Regime finanziario di interesse anticipato – per funzioni iperboliche. Regime di capitalizzazione a interesse semplice: Il regime di capitalizzazione a interesse semplice si basa sull’ipotesi che l’interesse maturato fino al tempo t sia direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo trascorso dall’inizio dell’operazione, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso unitario di interesse i. I(t) = Cit Pertanto: M(t) = C + I(t) = C + Cit = C(1+it) In cui f(t) = 1 + it è il fattore di montante. Secondo questo regime finanziario, l’andamento nel tempo del montante e dell’interesse è rappresentato nei grafici seguenti: Il parametro i è il coefficiente angolare della retta e finanziariamente caratterizza la velocità di accrescimento di 1€ impiegato. Esempio: La capitalizzazione di €5000 iniziata in t0 = 0 = 1/1/2017 al tasso i = 1,5% trimestrale produce al tempo t = 30/06/2017, in regime di capitalizzazione a interesse semplice, un montante di €5150. Infatti, poiché il tasso è trimestrale, occorre misurare il tempo in trimestri:
nel caso in esame, la capitalizzazione si protrae per due trimestri e, applicando la formula, si ottiene: M(2) = C(1 + it) = 5000(1 + 0,015 · 2) = 5150€ Durata intera e durata frazionaria: Si presenta spesso il problema di calcolare il montante per durate non corrispondenti ad un numero intero di periodi, si parla in tal caso di durata frazionaria. Così, il montante di capitalizzazione nell’esempio precedente, valutato dopo 3,5 trimestri dall’inizio, risulta: M(3,5) = 5000(1 + 0,015 · 3,5) = 5262,50€ Vale sempre l’avvertenza di misurare il tempo nella stessa unità in cui è espresso il tasso unitario di interesse. Vediamo con semplici esempi come si procede in pratica prendendo come riferimento un tasso annuo:
- Se il capitale C viene impiegato per m mesi interi con m < 12, si ha: I = Ci · (m/12)
- Se il capitale C viene impiegato per g giorni con g < 30, si ha: I = Ci · (g/365) 365 è il numero di giorni nell’anno civile. In numerose applicazioni pratiche si utilizza invece l’anno commerciale, la cui durata è fissata convenzionalmente in 360 giorni, ovvero 12 mesi da 30 giorni. Considerando una durata t qualsiasi, espressa in n anni, m mesi, g giorni, si ha: I(t) = Cit e M(t) = C(1 + it) Essendo t = n + (m/12) + (g/365) con 0 ≤ m ≤ 12 e 0 ≤ g ≤ 30. Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo: Accade molto spesso che la capitalizzazione venga regolata da una sequenza di tassi di interesse diversi, ciascuno di essi applicabile ad un determinato lasso temporale. Sia i 1 il tasso di interesse applicabile nel periodo da t 0 = 0 a t 1 , i 2 quello da t 1 a t 2 e così via. Nel primo periodo gli interessi prodotti, dovendo essere proporzionali al capitale iniziale e alla durata della prima arte di capitalizzazione in cui è in vigore il tasso i 1 , varranno: I 1 = C · i 1 (t 1 - t 0 ) Mentre gli interessi nella seconda parte varranno: I 2 = C ·i 2 (t 2 - t 1 ) Pertanto il montante in t2, come somma di capitale e interessi maturati sarà dato da: M(t 2 ) = C(1 + i 1 t 1 + i 2 (t 2 - t 1 )) Può anche essere estesa al caso in cui ci siano più tassi di capitalizzazione: Questa formula concretizza il presupposto finanziario del regime di capitalizzazione a interesse semplice, e cioè che gli interessi si rendono disponibili solo alla fine della capitalizzazione, e quindi non producono altri interessi. Esempio: Un capitale di €5000 viene impiegato in capitalizzazione a interessi semplici al tasso trimestrale 1,5% per un trimestre, e successivamente per tre trimestri al tasso trimestrale del 2%. Il montante raggiunto alla fine dopo un anno risulta: M(4) = 5000(1 +(0,015 · 1)+(0,02 · 3) = 5375 Regime di capitalizzazione a interesse composto: A differenza del regime a interesse semplice, il regime di capitalizzazione a interesse composto si caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in modo che anche questi ultimi producano interessi nei periodi seguenti. L’interesse che si forma in ogni istante è quindi proporzionale al montante accumulato in quel tempo.
La funzione M1(t) = (1 + i)t^ è crescente e convessa, al pari della funzione M2(t) = (1 + i)t(1 + if) che è rappresentata da una linea spezzata, i cui punti angolosi hanno ascissa intera. Si conferma allora che, per valori non interi di t e a parità di tasso, la convenzione lineare da luogo ad un montante maggiore. Per durate intere d’impiego, i montanti calcolati con le due convenzioni coincidono. Esempio: C = € 5000 i = 1,5% trimestrale Data iniziale: 1/1/2017 —— Data finale: 31/5/2017 —— t = 1 + 2/3 di periodo. Nella convenzione lineare: M = 5000(1 + 0,015)^1 (1 + 2/3 · 0,015) = 5125, Nella convenzione esponenziale: M = 5000(1 + 0,015)1+2/3^ = 5125, Montante e interesse nel regime a interesse composto: La funzione montante risulta una funzione esponenziale definita sul semiasse positivo dei tempi, la funzione interesse si ottiene per traslazione della precedente in modo che risulti I(0) = 0. Fattore di montante a interesso composto: Dalla relazione M(t) = C(1 + i)t, ponendo C = 1, si ottiene l’espressione del fattore di montante del regime di capitalizzazione a interesse composto: f(t) = (1 + i)t Confronto tra montanti nei regimi a interessi semplice e composto: È interessante confrontare i valori dei montanti che si ottengono a vari tempi secondo i due differenti regimi di capitalizzazione finora analizzati. Per durate maggiori di un periodo, il montante in capitalizzazione a interesse composto supera il montante in capitalizzazione a interesse semplice. Questo accade perché nel caso di interesse composto l’interesse relativo a ciascun periodo viene calcolato non sul capitale iniziale ma sul montante accumulato alla fine del periodo precedente che ovviamente è superiore. Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo: Anche nell’ambito del regime a interesse composto si può prevedere che i tassi di interesse non siano costanti ma variabili nel tempo:
Regime a interesse composto con notazione esponenziale: Per evidenziare alcune particolarità matematiche del regime, si usa spesso rappresentare il montante con notazione esponenziale. Tassi equivalenti: Due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante e quindi gli stessi interessi. Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti: Per trovare la relazione matematica sussistente fra due tassi unitari i e y relativi rispettivamente al regime a interesse semplice e a quello composto, occorre uguagliare i montanti che essi producono a uno specifico tempo t: M(t) = C(1 + it) = C(1 + y)t Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice: Vediamo ora la relazione esistente tra due tassi di interesse equivalenti che si riferiscono a basi temporali di differente ampiezza nell’ambito del regime a interesse semplice. Osserviamo che una durata di capitalizzazione pari a t anni corrisponderà a tk = kt periodi. Uguagliamo i valori raggiunti al tempo t, evidenziando che quando si applica il tasso periodale di tempo deve essere misurato in periodi: M(t) = C(1 + it) = C(1 + ik · tk) Da cui: i = k · ik Si osserva che tale relazione di equivalenza non dipende dal tempo in cui si impone l’uguaglianza dei montanti. Esempio: Dato il tasso annuale i = 5%, determinare:
- Il^ tasso semestrale: i 2 = i/k = 5/2 = 2,5%
- Il^ tasso quadrimestrale: i 3 = i/k = 5/3 = 1,67%
- Il^ tasso trimestrale: i 4 = i/k = 5/4 = 1,25%
- Il^ tasso mensile: i 12 = i/k = 5/12 = 0,42% Esempio: Dato il tasso trimestrale i 4 = 3,25%, determinare:
- Il^ tasso semestrale: i 2 = k · ik = 2 · 3,25 = 6,5%
- Il^ tasso annuale: i = k · ik = 4 · 3,25 = 13% Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto: Analogamente, calcoliamo la relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto, uguagliando i montanti al tempo t: M(t) = C(1 + i)t^ = C(1 + ik)kt Da cui:
Il tasso medio corrisponde alla media aritmetica dei tassi che intervengono nella capitalizzazione, ponderata con le durate di applicabilità dei tassi stessi. Il tasso medio è compreso tra il minimo e il massimo dei tassi applicati. Operando in regime di capitalizzazione a interesse composto, si ottiene: M(t 2 ) = C(1 + i 1 )t1(1+i 2 )(t2-t1)^ = C(1+ iM)t Esplicitando il tasso medio, si trova ora che il fattore di montante 1 + iM è la media geometrica dei fattori di montante associati ai tassi che intervengono nella capitalizzazione. Regime di capitalizzazione a interesse anticipato: Il regime finanziario di capitalizzazione a interesse anticipato prevede che l’interesse sia direttamente proporzionale al montante e alla durata dell’operazione, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso unitario di sconto, e venga corrisposto al creditore all’inizio dell’operazione. In questa interpretazione l’interesse è chiamato più propriamente sconto. Esempio: Consideriamo l’acquisto di BOT annuali per un valore nominale di €5000, al prezzo di €95, per ogni €100 di valore nominale. Di questa operazione si conosce il valore nominale, €5000, ossia il montante. L’importo relativamente investito è il prezzo che viene pagato, cioè €4770. Lo sconto, che ammonta a €230, è corrisposto, invece che alla fine, all’inizio di questa operazione, sotto forma di riduzione del prezzo di acquisto. Dalla definizione si ricava la formula per valutare lo sconto D: D(t) = M(t) - C = M(t)dt Dove d è il tasso unitario di sconto. E si ottiene l’espressione del montante: E il fattore di montante è: Affinché la formula abbia significato matematico e finanziario, è necessario che 1 - dt > 0, cioè t < 1/d. Quindi questa tipologia di regime può essere applicata solo per capitalizzazioni di durata inferiore a 1/ d. Per quanto riguarda la determinazione del tasso unitario di sconto d, vale anche in questo caso la definizione d = [(M(1)-C)/M(1)] Ad esso è associato un tasso unitario di interesse pari a: i = [d/(1 - d)] , di conseguenza, d = [i/(1 + i)] Fattore di montante e interesse nel regime a interesse anticipato: Il fattore di montante del regime di capitalizzazione a interesse anticipato è: Nel regime a interesse anticipato, il tasso di interesse è: i(t) = dt/(1 - dt)
Confronto tra i fattori di montante dei regimi a interesse semplice, composto e anticipato: In figura vengono riportate le curve che descrivono i fattori di montante propri dei tre regimi finanziari appena analizzati: Dal grafico si nota che:
- Tutti e tre i regimi di capitalizzazione, naturalmente, si incrociano nel punto di coordinate (0,0). Se t = 0 l’interesse maturato sarà pari a 0.
- Tutti e tre i regimi si incrociano nel punto di coordinate (1,1): a parità di capitale investito (esempio C = 1) e di tasso di interesse applicato, per tempi unitari (t = 1) tutti e tre i regimi daranno lo stesso montante.
- Per tempi inferiori all’unità (0 < t < 1) il regime dell’interesse semplice darà un montante maggiore del regime dell’interesse composto che a sua volta sarà maggiore del regime ad interesse anticipato.
- Per tempi maggiori all’unità (t > 1) il regime ad interesse anticipato darà un montante maggiore del regime dell’interesse composto che a sua volta sarà maggiore del regime semplice (si ricordi, però, il “vincolo dell’asintoto” per il regime ad interesse anticipato). La forza d’interesse: I regimi finanziari possono anche essere descritti analizzando in che modo si manifesta l’accrescimento del montante nel tempo, ovvero il processo di formazione dell’interesse. Si consideri l’interesse I(t, t + ∆t) prodotto calla capitalizzazione nell’intervallo di tempo (t, t + ∆t), cioè:
- Interrompere l’operazione finanziaria in t 1 e sempre in t 1 reimpiegare il montante allora disponibile fino a t. A priori, non è detto che i montanti a scadenza abbiano valori uguali, le leggi finanziarie per le quali ciò accade si dicono scindibili. Una legge si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’impiego viene interrotto in t 1 , con 0 < t 1 < t e il montante ottenuto in t 1 viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo rimanente t– t 1 , ossia se f(t) soddisfa la seguente relazione: f(t) = f(t 1 ) · f(t - t 1 ) con 0 < t1 < t. Vediamo se tale condizione è verificata.
- Legge di capitalizzazione semplice: non scindibile In caso di reimpiego si ottiene un montante maggiore. Pertanto la legge di capitalizzazione a interesse semplice non è scindibile.
- Legge di capitalizzazione a interesse anticipato: non scindibile Poiché M’(2) < M(2), in caso di reimpiego si ottiene un montante minore, quindi la legge di capitalizzazione non è scindibile.
- Legge di capitalizzazione composta: scindibile Poiché M’(2) = M(2), in caso di reimpiego si ottiene lo stesso montante. Ciò avviene perché la legge di capitalizzazione a interesse composto è scindibile. Tale proprietà si giustifica considerando che in questo regime la produzione di interessi a ogni istante avviene proporzionalmente al montante disponibile allo stesso istante, che è lo stesso sia che si prosegua la capitalizzazione in atto, sia che essa venga interrotta e immediatamente ripresa. Il teorema di scindibilità afferma che una legge di capitalizzazione è scindibile se e solo se è composta con convenzione esponenziale. Una legge è scindibile se e solo se la forza di interesse ad essa associata non dipende dal tempo. Dei tre regimi di capitalizzazione studiati si deduce quindi che l’unico scindibile è il regime di capitalizzazione a interesse composto. Attualizzazione: Ci chiediamo ora come sia possibile pervenire oggi ad una valutazione di un capitale che sarà disponibile a una certa data futura. La capitalizzazione, cioè il differimento di una disponibilità, consente di determinare il valore futuro di un capitale, mentre l’attualizzazione o anticipazione consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale con scadenza futura, cioè anticiparne la disponibilità. È chiaro che tra i due problemi esiste una sorta di simmetria, il valore attuale del montante di un investimento coincide con il capitale iniziale del medesimo investimento. Per questo motivo analizzeremo i regimi finanziari di attualizzazione associati a quelli di capitalizzazione già visti: essi si diranno anche coniugati. Fattore di sconto o di attualizzazione: Il valore attuale V di un capitale C disponibile in un’epoca futura t è proporzionale al capitale e e dipende dalla durata dell’operazione di anticipazione. V = Cg(t) Dalla relazione di capitalizzazione: Vf(t) = C Segue V = C/f(t) Pertanto g(t) = 1/f(t)
È detto fattore di sconto o di attuazione coniugato di f(t). Proprietà del fattore di sconto: Poiché g(t) = 1/f(t), le proprietà del fattore di sconto si deducono dalle proprietà di f(t), pertanto il fattore di sconto è qualsiasi funzione g(t):
- Definita per ogni t appartenente all’insieme [0, T).
- Tasche che g(0) = 1.
- Non crescente, se derivante g’(t) ≤ 0. Tasso di sconto: Essendo D = C - V, indichiamo con d(t) il tasso di sconto sul capitale C a scadenza per la durata t e si ottiene: d(t) = D/C = (C - V)/C = (C - Cg(t))/C = 1 - g(t) Se la durata è unitaria t = 1, il tasso unitario di sconto risulta: d = 1 - [1/f(1)] Regime a sconto semplice o razionale: Il regime di attualizzazione a sconto semplice o razionale è coniugato dal regime di capitalizzazione semplice. Pertanto, ponendo VA = valore attuale o somma scontata C = capitale disponibile in t D = sconto i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione Poiché f(t) = 1 + it si ottiene: e il fattore di sconto razionale g(t) è il valore attuale, in regime di sconto razionale al tasso di interesse i, di un capitale unitario che si renderà disponibile al tempo t. Esempio: In data 1/1/2017 sottoscrivo BOT per un valore nominale di €5200 in scadenza 30/6/2017, al tasso di interesse 3% trimestrale. Quale è il prezzo di sottoscrizione calcolato in regime di sconto semplice? I dati sono: C = €5200; i = 3%; t = 2 trimestri. Applicando la formula il prezzo (valore attuale dell’operazione) risulta: VA = C/(1 + it) = 5200/[1 +(0,03·2)] = 4905, Regime a sconto composto: Il regime di attualizzazione a sconto composto è il coniugato del regime di capitalizzazione a interesse composto. Pertanto, con le stesse nozioni usate in precedenza, da f(t) = (1 + i)t^ si ottiene: E il fattore di sconto composto
- (^) A rata variabile:gli importi delle rate non sono uguali fra loro.
- A seconda della numerosità
- (^) Temporanea: le rate sono in numero finito.
- (^) Perpetua: le rate sono numerabili.
- A seconda della periodicità
- (^) Periodica: le rate sono equintervallate.
- (^) Non periodica: le rate non sono equintervallate.
- A seconda della scadenza
- (^) Posticipata: la scadenza di ciascuna rata è prevista nell’istante finale del relativo periodo di competenza.
- (^) Anticipata: la scadenza di ciascuna rata è prevista nell’istante iniziale del relativo periodo di competenza.
- A seconda della decorrenza
- (^) Immediata: la prima rata è dovuta in t 0 se la rendita è anticipata, la prima rata scade in t 1 se la rendita è posticipata.
- (^) Differita: la prima rata è dovuta in maniera differita, “più avanti nel tempo”. Valore attuale di un rendita: La valutazione delle rendite di avvia del principio dell’additività del valore, secondo il quale il valore attuale di più operazioni semplici è la somma dei valori attuali delle singole operazioni. Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali delle singole rate, calcolati nel regime di attualizzazione prescelto. Il tasso di interesse utilizzato è detto anche tasso di valutazione. Adottando il fattore di sconto g(t) de regime prescelto, il valore attuale di una rendita di n rate è dato da: in t 0 = 0. Dove la sommatoria è estesa agli indici appropriati al caso in esame. Il valore attuale di solito viene calcolato nel:
- Regime di attualizzazione a sconto semplice.
- Regime di attualizzazione a sconto composto.
- Regime di attualizzazione a sconto commerciale. Per la valutazione di una rendita ci si colloca di preferenza nel regime a sconto composto, essendo questo regime caratterizzato dalla proprietà di scindibilità. Esempio: Versando 3 rate annue posticipate di importo R= €196430, poi altre 3 di importo 2R ed infine 3 di importo 3R, si ha, in capitalizzazione composta ad un tasso annuo di valutazione del 10,5%, un valore attuale di €2000000. Infatti, il valore attuale delle prime tre rate è: Il valore attuale delle successive tre è: Il valore attuale delle ultime tre è: Sommando i valori attuali si ottiene: V1 + V2 + V3 = € 2000000
Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a sconto composto al tasso di interesse periodale i: Sia v = (1 + i)-. Per indicare il valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate si usa il simbolo che si legge “a figurato n al tasso i”: è la somma di n termini in progressione geometrica con primo termine v e ragione v, perciò, se i ≠ 0: Se la rata è costante e uguale a R: Esempio: Una rendita annua posticipata, composta da quattro termini di importi costante R = €329,23, valutata ad un tasso annuo i = 12%, vale €1000. Infatti: Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a sconto composto al tasso di interesse periodale i: Sia v = (1 + i)-. Per indicare il valore di una rendita periodica anticipata immediata unitaria di n rate di usa il simbolo che si legge “a anticipato figurato n al tasso i”: È la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine 1 e ragione v, pertanto, se I ≠ 0: Se la rata è costante e uguale a R: Spostando l’istante di valutazione in avanti di un periodo, una rendita anticipata appare come posticipata. Di conseguenza, il valor attuale di una rendita anticipata coincide con quello della posticipata capitalizzato di un periodo. Una rendita anticipata unitaria di n rate si può considerare come l’unione di una rendita posticipata unitaria di n - 1 rate e di un’ulteriore rata unitaria all’epoca 0.
Esempio: Calcola il valore attuale di una rendita di 10 rate annue di €400000 ciascuna al tasso 7,5% la cui prima rata verrà pagata fra 5 anni. La rendita è differita e il suo valore attuale si ricava da: Calcolo il fattore di sconto: Calcolo la rendita ordinaria: Calcolo la rendita differita di 4 anni: Calcolo il valore attuale della rendita: Valore attuale di una rendita unitaria posticipata perpetua, nel regime a sconto composto al tasso d’interesse periodale i: Il valore attuale si ottiene calcolando il limite, se esiste finito di , per n che tende all’infinito e si indica con che si legge “a figurato infinito al tasso i”: Che vale se e solo se |v| < 1, il che è sempre vero per valori positivi del tasso di interesse i. Quindi: Se la rendita paga una rata costante di importo R, si ottiene: Esempio: Una rendita posticipata perpetua, la cui rata è €1000, valutata al tasso di interesse i = 0,08, vale €12500. Infatti: V = 1000/0,08 = 12. Valore attuale di una rendita unitaria anticipata perpetua, nel regime a sconto composto al tasso d’interesse periodale i: Il valore attuale si ottiene calcolando il limite, se esiste finito di per n che tende all’infinito. Esso si indica con e si legge “a anticipato figurato infinito al tasso i”:
Quindi: Se la redita paga una rata di importo costante R, si ottiene: Esempio: Una rendita anticipata periodica perpetua, la cui rata è di €1000, valutata al tasso di interesse periodico i = 8% vale €13500. Infatti: V = 1000[1+(1/0,08] = 13500 Montante di una rendita: Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione scelto. Il tasso di interesse utilizzato è detto anche tasso di remunerazione. Adottando il fattore di montante f(t) del regime prescelto, il montante M di una rendita di n rate è l somma dei montanti Mk (valutati in tn) delle singole rate Rk: M = Dove la sommatoria è estesa agli indici appropriati al caso in esame. Il montante è solitamente calcolato nel:
- Regime di capitalizzazione a interesse semplice.
- Regime di capitalizzazione a interesse composto.
- Regime di capitalizzazione a interesse anticipato. Per il calcolo del montante di una rendita ci si colloca di preferenza nel regime a interesse composto, dato che questo regime è caratterizzato dalla proprietà di scindibilità. Montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate, nel regime a sconto composto al tasso d’interesse periodale i: Sia u = (1 + i). È importante notare che nella rendita posticipata l’istante di valutazione del montante coincide con l’istante in cui viene corrisposta l’ultima rata. Per indicare il montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate si usa il simbolo che si legge “s figurato n al tasso i”: Essendo la somma di n termini in progressione geometrica con primo termine 1 e ragione u si ha: Se la rata è costante e uguale a R:
