Matematica finanziaria Agliari, Appunti di Matematica Finanziaria

Scarica Matematica finanziaria Agliari e più Appunti in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity!

MATEMATICA

FINANZIARIA

1 HOMEWORK:

termine 4a settimana di lezione e da consegnare entro martedì 23 marzo

2 HOMEWORK:

ultima settimana di lezione e da consegnare entro martedì 11 maggio

APPELLI: 18/05, 08/06, 29/06 e 7/

ESERCIZIO:

contratto in cui un sogg A cede a un sogg B —> 2000 $

x ricevere da B le somme 1000 $ (tra 6 mesi) e 700 $ (tra 2 anni)

A :

1. acquisto oggi un bot con scadenza 6 mesi al prezzo di 98 $

e valore nominale ( =valore rimborso) 100$

2. investo tra 6 mesi 100 $ che mi renderanno 120 $ dopo 9 mesi

3. finanziamento tra 3 mesi di 200 $ con rimborso di 2 rate da 120 $ dopo 1 anno e 2 anni

operazione???

OPERAZIONE DI CAPITALIZZAZIONE

ESEMPIO INVESTIMENTO: ESEMPIO FINANZIAMENTO:

tempo 0 0,5 2

euro -2000 1000 700

• 2000 +1000 +
• 98 + 200^100

• 1000 +

MONTANTE MONTANTE

T T

t t

k k

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

consente di determinare il montante prodotto a un generico istante t

da un capitale K investito alla data t 0. Il montante dipende solo dalla durata dell’operazione.

Quindi possiamo considerare t 0 = 0. Ponendo inoltre K = 1, la funzione f (t ) = F (1, 0, t )

è detta fattore di montante.

È ogni funzione f (t) che soddisfa le seguenti proprietà:

1. f (t) è a valori reali non negativi x ogni 0 ≤ t ≤ T

2. f(0) = 1;

3. f (t) è non decrescente risp variabile t, ossia,

se derivabile, f ′(t) ≥ 0.

es.

r = f (t) = 1,25 t = 1 tasso di interesse?

f (1) - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 = 25 %

K = 1000 $ t = 1 anno i = 3,75 % annuo

I = 37,50 $ M = 37,5 + 1000 = 1037,5 $

LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE

funzione a valori non negativi V (M, t 0 , t) che consenta di determinare

il valore attuale, in t 0 , di un capitale M, disponibile alla data t, con t ≥ t 0

Posto t 0 = 0 e M = 1, la funzione v(t) = V(1,0,t) è detta fattore di sconto.

Ogni funzione v(t) che soddisfa le seguenti proprietà:

1. v(t) `e a valori non negativi definita x ogni 0 ≤ t ≤ T

2. v(0) = 1;

3. v(t) `e una funzione non crescente rispetto alla

variabile t, ossia, se derivabile, v′(t) ≤ 0

es. K = - 100 M = 121 i? f(t)? v (t)? d (t)? M / k = 121 / 100 = 1, 1,21 - 1 = 21 % K / M = 0,82644 1 - 0,82644 = 17,36 %

t T

K M

M = K f(t) K = M v(t)

f(t) = M/K v(t) = K/M

d = i

i + 1

REGIME DEGLI INTERESSI SEMPLICI

interesse direttamente proporzionale a K + alla durata dell’operazione ( t )

i = costante di proporzionalità

capitalizzazione:

I = K * t * i

M = K + K * i * t = K ( 1 + it ) f (t) = 1 + it f(1) -1 = 1 + i -1 = i

attualizzazione:

f(t) * v(t) = 1

v(t) = 1 K = M

1 + it 1 + it

1) tasso 8% annuo —> montante generato in 2 anni da C = 2000$

M = k * (1 + it) = 2000 * (1 + 0,082)= 2320 $

2) VA = 10 000$ tra 6 mesi, tasso 8%

10 000 / (1+0,08*0,5) = K = M/ (1+ it) = 9615, 39 $

3) m= 2000$ i = 8%

dopo quanto tempo raddoppio il capitale investito?

M = 1 + i = (M -1 ) * 1 = 2-1 * 12,5 = 12,5 anni

k k i

4) finanziamento 1200$, fra 7 mesi 1350 $, tasso di interesse?

m = k (1 + it) m/k -1 = 1t 1/t (m/k -1)

0 t

K M

leggi coniugate f(t) * v (t) = 1

2000 M?

0 6 mesi

VA? 10000

0 7 mesi

1 + i

CAPITALIZZAZIONE CONTINUA

tasso interesse istantaneo ∆

M = K * e i t

f (t) = e ∆^ t^ i = f(1) - 1 = e i^ - 1

K = M * e -i t

v (t) = e - ∆t^ d = e i^ - 1

e i

1) ∆ = 4 % k= 900$ t = 1 anno 6 mesi

900 * e 0,04 *1,5^ = 955,65 $

ln 1800/900 * ln e ^-0,08*t = 8,66%

REGIME SCONTO COMMERCIALE

sconto proporzionale al capitale e al tempo

D = M * t * d

K = M - Mtd

1) d = 7% annuo

VA? 2000$ disp fra 6 mesi

VA = M * (1-dt) = 2000 * (1 - 0,070,5) = 1930 $

TASSI FINANZIARIAMENTE EQUIVALENTI quando trasformano un importo K nello stesso montante durante lo stesso arco temporale k * (1 + is t) = k * ( 1 + ic)t is = ((1 + ic) t^ -1) t

es. i = 12% t = 2 anni 4 mesi

(1 + 7/3 * 0,12) = (1 + ic) 7/3^ ic = (1+ 7/3 * 0,12) 3/7^ -1 = 0,

es. k= 1000 $ t= 7 semestri 42/12= 7/2 i = 6%

M = k * ( 1 + i*t ) = k * ( 1 + 0,06 * 7/2 ) = 1210 $

es. i = 6 %

i6 = 3 %

j2 = 6 % —> tasso annuo nominale convertibile 2 volte all’anno

RIC i2 = J2/2 = 3%

jk = ki

j2 = 15,25 % —> i2 = 0,1525/2 = 7,625 %

i12 = 0,15/12 = 1,25 %

1 + i = (1 + i2)^2 ia = (1 + i2)^2 - 1 = 15,83 %

jk ik = jk/k jk= kik 1 + i = (1 + ik)k jk = k* [(1 + ik)i/k^ - 1] jk = (1+ik)1/k^ - 1 / (1/k)

RENDITE

flusso di rate che si propaga nel tempo

1) RENDITA POSTICIPATA

es.1 INPS versa 30$ ogni fine mese, tasso 9% annuo convertibile mensilmente 1^ : 31 maggio 2009 —> montante 31-12- 8+1211 = 140 rate —> non calcolabili —> formula _“somma di n termini in progressione geometrica”_ es. 3 6 12 24 48 —> a 0 + a 0 q + a 0 q 2 + a 0 q 3 = sommatoria di a 0 q k- q * S = q * somma k che va da 1 a n di a 0 q k-1^ = somma per k che va da 1 a n a 0 q k q * S - S = a 0 qk - somma k che va da 1 a n-1 a0 q k q * S -S = a 0 qn^ - a^0 = Ss = a 0 * ( qn^ -1 ) / q -1 Sn = a 0 * 1 - qn^ / (1 - q)

es. 1 R(1+i)^139 + R(1+i)^138 + … + R(1+i) + R

R ( 1+ (1+i) + (1+i)^2 + … + (1+i)^139

S 140 = 1 * 1 - (1+i)n^ * R = R * (1+i)n^ -1 = 30 * (1,75)^140 - 1 = S n | i

1 - (1+i) i 0,

0,09 /12 = 0,75 % tasso

2) RENDITA ANTICIPATA —> calcolo del valore attuale della rendita Mi^ = R * (1+i)n^ - i M = Mi^ (1+i) = R * (1+i)n^ -1 * (1+i)-(p-1) i es. 6% annuo effettivo —> 4 versamenti da 1000 $ k = 1000* (1+i)-1^ + 1000* (1+i)-2^ + 1000* (1+i)-3^ + 1000* (1+i)- 1000 * 1 - (1+i )-n^ * 1 = VA =R * 1 - (1+i)-n 1 - (1 +i )-1^ (1+i) i a) 12 000$ rate mensili x 3 anni iniziando 1 mese dopo al tasso annuo = 12% b) rate mensili x 4 anni iniziando dopo 1 mese al tasso annuo = 15% quale è la rata nelle 2 opzioni? somma totale che pago? 12/12 = 1 —> 1% —> 0,01 15/12 =1, VA = R * 1- (1+0,01) -36^ = 30,10750504 R = 12000 = 398, VA = r * 1 - (1+i)-n = i RENDITA DIFFERITA —> il pagamento non parte subito ma dei periodi più avanti —> utilizzo formule classiche e poi attualizzo

R1 R2 R3 R4 R

t0 t1 t2 t3 t4 t

R0 R1 R2 R3 R4 R

t0 t1 t2 t3 t4 t

senza int M = 1 / (1 - 0,09090) = 1, con int M = 1 / (1 - 1/11 * 3) = 11/8 11/8 * 1/ (1- 1/112) + 11/8 * 11/9 = 1, —> RIA non scindibile M(5) > M’(5) —> non convengono interruzioni M = K * _f (t) f (t) = 1+ it_ K = M (0) = 2 + 0,4 * 0 = 2 = 2 1 + 0,1 * 0 1 f (t) = M = 2 + 0,4t * 1 = 1 + 0,2t K 1 + 0,1 t 2 1 + 0,1t tui = i (1) = f (1) -1 = 1 + 0,2 1 = 1,2 _ 1= 0,0909 = 9,09 % 1 + 0,1 1 1, tui = i (1) = M - K = 2 + 0,41 - 2 K 1 + 0,11 = 9,09 % 2 tus = d (1) = 1 - v (1) = 1 - 1 = 1 - 1 = 0,0833 = 8,33 % f (1) 1+0, 1 +0, tus = d(1) = M (1) -K = 8,33 % M(1) I = 1/3 K = M - K = 1/3 K = K* f(t) - K = 1/3 K + K ( f (t) - 1 ) = K 1/3 = f (t) = 1/3 + 1 = 4/ 1 + 0,2t = 4 = 3 (1 + 0,2t) = 4 ( 1 + 0,1t) = 5 anni 1 + 0,1t 3 I = M - K = 4,25 $ i = M - K = 4,25 = 0,0425 = 4,25 % K 100 d = M - K = 4,25 = 0,04077 = 4,07 % M

AMMORTAMENTI

somma di $ , ammontare del prestito = K 1) presto di capitale + rimborso capitale + interessi 2) prestito capitale + pag interessi periodici+ rimborso capitale 3) rimborso graduale es. k = 900$ i = 0,10 annuo VA? 1 anno = 400 2 anno = 300 3 anno = 517 VA = 400 * (1 + 0,1)-1^ + 300 * (1 + 0,1)-2^ + 517 * (1 + 0,1)-3^ = 1000 $ VA —> - 400 fra 1 anno VA2 —> - 300 fra 2 anni VA3 —> - 517 fra 3 anni 900 - 1000 —> arbitraggio —> non è possibile avere 1000$ di VA risp a 900$ di M —> rimborso = VA —> condizione di chiusura finanziaria

1. R 1 = 400$ I 1 = 1000 * 0,10 = 100 $ D 1 = 1000 - 300 = 700 (dopo 1 rata ho restituito una parte)
2. R 2 = 700$ I 2 = 700 * 0,10 = 70$ D 2 = 700 - 230 = 470
3. R 3 = 517$ I 3 = 470 * 0,10 = 47$ D 3 = 470 - 470 = 0 —> chiusura elementare **debito iniziale = D N rate periodiche = Rk —> D = somma x K che va da 1 a N di Rk ( 1+i) -k
4. prima del pagamento della rata x = D + Di = D * (1 + i)
5. dopo “ D1 = x - R1 = D + Di - R1 R1 = D - D1 + Di** quota rimborso cap quota interessi Qcap^ = Rk - Qint^ + Qint^ = D (^) k-1 * i = Rk I 1 = Di —> i (^) 1/2 = I 1 / D = 0, (1 + i) 2 = 1,21 i = 0, es. prestito 10 anni 2000 $ rate in scadenza alla fine di ogni anno, t = 8,07% 1) rate costanti —> ammortamento francese D = R a __ = R * 1 - ( 1+ i )^-n / i n| i R = Di / (1-(1+i) )^-n = 2000*0,0807 / 1 - (1,0807)^-10 = 299$ K t k i k C k I k Rk Dk Ek 0 4000 1 2 21% 800 840 1640 3200 800 2 3 10% 1200 320 1520 2000 2000 3 5 21% 2000 420 2420 0 4000 K C (^) k I (^) k Rk Dk Ek 0 2000 1 137,60 161,40 299 1862, 2 148,70 150,29 299 1713, 3 160,70 138,29 299 1552,

2. quote capitale costanti —> ammortamento italiano Q uota capitale —> D / n^ rate

DEBITO RESIDUO

D 0 = D D 1 = D 0 - Q cap = D 0 - ( R 1 - Q int^ ) = D 0 - R 1 + D0i = D 0 * (1 + i) - R 1 D 2 = D 1 - Q cap^ = D 1 - (R 2 - Q 2 int^ ) = D 0 * (1 + i) - R 1 * (1 + i) - R 2 Dk = D (1 + i) k^ - somma di s da 1 a k Rs (1 + i) k-s Dk = somma di s da 1 a N Rs ( 1 + i ) -s^ *** (1 + i)k**^ - somma di s da 1 a k Rs (1 + i) k-s = somma di s da 1 a N Rs ( 1 + i ) k - s^ - somma di s da 1 a k Rs (1 + i) k-s = somma di s da k+1 a N Rs (1 + i) - (s - k)

USUFRUTTO

All’epoca t è il valore delle quote interessi ancora da pagare

NUDA PROPRIETÀ

È il valore all’epoca t delle quote capitali ancora da pagare

AMMORTAMENTO OBBLIGAZIONARIO - OBBLIGAZIONE

—> prestito in cui all’inizio ha una somma X, vengono emesse periodicamente delle cedole e all’istante finale la somma

prestata viene restituita insieme al pagamento dell‘ultima cedola.

VA = C * 1 - (1 + i) -n^ + X * (1 + i) -n^ = X (importo chiesto in prestito)

i

C = i * X = quota I (interessi = Valore facciale X interessi al tasso periodale)

TITOLI: strumenti finanziari mesi da imprese x i risparmiatori

1. AZIONI = aziende private cedono 1 quota del loro CS, chi acquista = proprietario di 1 parte azienda 2. OBBLIGAZIONI = titoli di debito che conferiscono al possessore = portatore il diritto a riscuotere a scadenze periodiche importi = CEDOLE e alla scadenza finale ( T )—> VALORE FACCIALE/NOMINALE del titolo + ultima cedola (somma + consistente) vita del titolo = da momento in cui titolo entra in possesso al portatore fino alla scadenza finale creditore = portatore, no ruolo fisso —> mercati di vendita dei titoli 1) primario: emittente vende 2) secondario: banche rivendono debitore = emittente dell’obbligazione (ruolo fisso) —> Stato o aziende medie/grandi dim prestito diviso = emittente dell’obbl divide la richiesta su + obbligazioni (non rifa 1 unico ente) prestito (t, T) —> dipende dalla vita residua del titolo —> P (t, T) = 100 * (1 + R) -(T - t) RENDIMENTO DI UN TITOLO —> TITOLI PARTICOLARI (cedole costanti e note/predeterminate) 1. zero coupon bond = titoli senza cedole - data di emissione = 0 - prezzo di emissione = P - data di scadenza = T > - valore nominale = K C (^) k I (^) k Rk Dk Ek 0 2000 1 200 161,40 361,40 1800 2 200 145,26 345,26 1600 3 200 129,12 329,12 1400

es. BTP VF = 100 cedole semestrali al 6% C = 100 * 0,06/2 = 3 P > VN —> sopra la pari P = VN —> alla pari P < VN —> sotto alla pari

BTP cedole sem, i = 8% VN = 100 P= 105,8 cedole versate su fondo 10% annuo, dopo 2,5 anni vendita 106,

C = 100 * 0,08/2 = 4

V fin = 4 ( ( 1 + i)^2 + (1+i)1,5^ + (1+i)^1 + (1+i)0,5^ ) + 4 + 106,7 = 128,

Rend ex-post = ( Vfin / V iniz ) ^1/T - 1 = (128,75/105,8) ^1/2,5 - 1 = 8,17 %

105,8 = 4 a 5 | i2 + 106,7 (1 + i 2 ) -

105,8 = 4 * (1 - (1+ i 2 ) -5^ ) / i 2 + 106,7 (1 + i 2 ) -5^ —> utilizzo di excel x soluzione

PREZZO DEL BTP

—> valore facciale N = VF —> tasso cedolare iced —> periodicità delle cedole = k —> quante cedole pagate = scadenza —> tasso di redimenti a scadenza (annuo effettivo) = i

es.

sem 10% —> VF = 100 18/06/15 ——— 18/06/35 i = 5%, 10%, 15% P? 18/06/ cedola = VF * j / 2 = 100 * 0,10 / 2 = 5 ancora 20 cedole da pagare —> VA di queste cedole (tutte al 18/06/2025) rendita a rata costante —> rata = importo cedola —> posticipata (1 cedola il mese succ) P = c a 20 figurato i2 + VF * (1 + i2)^- 1 agosto 2015 18/06/25 —————> 18/12/ t0 t P (t) = P (t0) * (1 + i) t - t —> 44 gg dal distacco della cedola —> 183 gg da 18/06/2025 a 18/12/2025 —> t - to = 44/ i = 5% P ( t ) = 139,8 = corso tel quel —> su excel = corso secco rateo = c * (t - t0) / (t1 - t0) = VF * i /2 * (t - t0) / (t1 - t0) es. BTP 15/03/21 scadenza = 15.05. plusvalenza = 10000 - 9750 = 250 tassa = 250 * 12,5% = 31, Pa = 9750 + 31,25 = 9781, tasso cedolare = 1,85% quotazione = 106,44 corso secco cedola C = 100 * 0,0185/2 = 0,925 prox cedola 15/05/21 prec cedola 15/11/

120 gg 181 gg rateo = 0,925 * 120/181 = 0,

corso secco + rateo = corso tel quel —> 106,644 + 0,613 = 107,

TASSE : aliquota fissa 12,5%

• cedole C * ( i - t ) cedola netta
• plusvalenza max (M - P, 0) es. BOT M = 10000 T = 1 anno t = 2 mesi Pt = 9750 plusvalenza = 10000 -9750 = 250 tassa = 250 * 12,5% = 31,25 Pa = 9750 + 31,25 = 9781, i lordo = (10000 - 9750) / 9750 * 1 / ( 1 - 1/6) = 3,08% i netto = (10000 - 9781,25) / 9781,25 * 6/5 = 2,68% TIR ✦ 0 < t1 < t2 < … < tn ✦ A0, A1, A2, … , An Ak >= 0 ✦ L0, L1 L2, … , Ln Lk >= 0 ✦ Ck = Ak - Lk ✦ “ investimento netto ” —> sequenza pagamenti precede sequenza di incassi ✦ è quel tasso, se esiste ed è unico, tale che se: 100 - 20(1+i 2 )-1^ - 40(1+i 2 )-2^ - 50(1+i 2 )-3^ -10(1+i 2 )-3^ = 0 q = (1+i 2 )-1^ 0 <= q <= 1 100 -20q -40q^2 -50q^3 - 10q^4 = 0 q^4 + 5q^3 + 4q^2 - 10 = 0 q 2 = 0,9265 —> (1+i 2 )-1^ —> 0,9265 i 2 = 0,07933 i = (1+ i 2 )^2 - 1 = 16,49% TIR

METEODO DEL VAN (REA, NPV)

• valore attuale netto
• x ordinare le operazioni finanziarie
• devo scegliere un tasso (di riferimento o di valutazione o costo del capitale)
• esprime la redditività minima che il decisore sceglie x il capitale che investe es. A: -1000 4 rate annuali da 400 B: -1000 +750 +400 +300 + confrontabili —> = capitale = durata REA a = -1000 + 400 * 1 - (1 + 4%)-4 / 0,04 = 451,96 $ REA b = -1000 + 750 (1,04)-1 + 400(1,04)-2 + 300(1,04)-3 +100(1,04)-4 = 443,16 $

TEMPO DI RECUPERO: = payback

n^ di anni occorrenti x ritornare in possesso dei capitali investiti

TEMPO DI RECUPERO ATTUALIZZATO

TIR MODIFICATO = tir.var

P 2,5 2,5 2,5 100 + 2,5 \

P = 2,5 * (1,08)^-0,5 + 2,5* (1,09)^-1 + 2,5* (1,1)^-1,5 + 102,5* (1,11)^-2 = 90,

2,5 * (1 + y)^-0,5 + 2,5* (1 + y)^-1 + 2,5* (1 + y)^-1,5 + 102,5* (1 + y)^-2 = 90,

problema di ricerca del TIR

ESERCITAZIONI

es. 5 k = 500$ f(t) = e 0,09t quanto tempo x raddoppiare? f(t) = 2 —> e 0,09t*^ = 2 —> 0,09t = ln2 t = ln2 / 0,09 = 7,701635 7 anni 8 mesi 13 gg es. 6 RIS i = 7% nel RIS è conveniente interrompere (2^ opzione) es. 1 1.01.19 j 2 = 2% VA? M (1.01.25)? A) rendita annua, r = 1000$, 1.01.20 (post), ultima 1.01. o i = (1 + 0,02/2 ) ^2 -1 = 0, VA = R * [ 1 - (1 + i)-n^ ] / i = 1000 {1 - (1,0201)^-6} / 0,0201 = 5559,54$ M = 1000 * (1,0201^6 - 1) / 0,0201 = 6309,70$ B) semestrale, R=500$, J2 = 0,02 —> i2 = 0,01, 1^ rata: 1.07.19, ultima rata: 1.01. V (1.01.19) = 500 * (1 - 1.01-8) / 0,01 = 3825, V (1.01.25) = 3825,84 * (1 + 0,01)^12 = 4311, C) mensile, r = 100$, (1 + i12) 12 - 1 = i = 0,00166, 1^ rata 1.08.19, ultima 1.01. V (1.01.19) = R * [ 1 - (1 + i)-n^ ] / i * (1 + i) = 590,62$ es. 1 rendita posticipata annua, 3 = R, 2 = 2R, 4 = 3R, v(0)= 2500$, i = 8% 1 rendita) VA = R * [ 1 - (1 + i)-n^ ] / i = R * 1 - (1,08)-3^ / 0, 2 rendita) VA 2 = R * [ 1 - (1 + i)-n^ ] / i * (1 + i)-3^ = R * 1 - (1,08)-3^ / 0,08 * (1,08)- 3 rendita) VA3 = R * [ 1 - (1 + i)-n^ ] / i * (1 + i)-5^ = R * 1 - (1,08)-4^ / 0,08 * (1,08)- V(0) = VA + VA2 + VA 2500 = R * 1 - (1,08)-3^ / 0,08 + 2R * 1 - (1,08)-3^ / 0,08 * (1,08)-3^ + 3R * 1 - (1,08)-4^ / 0,08 * (1,08)- R = 205,41 $ 2R = 410,82 $ 3R = 616,23 $ M = 2500 * (1+0,08)^9 = 4997,51 $ V(7) = 2500 * (1 + i)^7 = 2500 * (1,08)^7 = 4284,56 $ es. 2 6 anni fa, i = 4%, scaduto 3 anni fa, i =5% Do = D * (1 + 0,04)^3 + (1 + 0,05)^3 = D * (1,092)^3 D * (1,092) = 1300 * (1 - (1+0,028)-5) / 0, D = 1300 * (1 - (1+0,028)-5) / 0,028 / (1,092)3 = 4598,30 $ es. 3 A —> anticipata, 10 rate = 150$, 4% composto

B —> 5 rate = R, 1 fra 3 anni, 4% composto Perfettamente scambiabili tra 4 anni?? Va (4) = 150* ((1,04)^4 -1) / 0,04 * (1,04)

• 150 * (1 - (1,04)-6) / 0,04 * (1,04) = 1480, Vb (4) = r * (1,04)2 -1 / 0,04 + r * (1 - (1,004)-3 / 0,

ESERCIZI 26 MARZO

ammortamenti italiano —> quota C costante: Rk = C * [ 1 + i * ( n - k + 1) i = 5% i’ = 3% NP 3 (3%) = 200 * a 3 | 0,003 = 5657, U 3 (3%) = 300 * (1,03)-1 + 200* (1,03)-2 + 100 * (1,03)-3 = 571, NP + U = 6228,52 > Debito resid

BOT t = 6 mesi Pb = 100 (1,03)^0,5 = 98,53 Db = 0, w = x + 1,5y Pw = 107,76 + 1,5 * 98,53 = 255,56 prezzo portafoglio Dw = 107,76 / 255,56 * 1,8916 + 1,5 * 98,53 / 255,56 * 0,5 = 1,087 duration portafoglio W = ax + 1,5y a * P / Pw * D + 1,5 * Pb / Pw * Db = 1, a = 1,5 - 1,5 * Pb / Pw * Db = 1, P / Pw * D PAR BOND = tassi swap titolo obbligazionario che quota alla pari —> TIR = TASSO CEDOLARE = C / 100 P (0, 2m) =98, P (0, 8m) = 96, C / 100 = 1 - 96,5/100 = 1,79% 98,75/100 + 96,5/ STRUTTURA X SCADENZA —> operazione a termine R (0,1) = 8% R (0,2) = 10% emetto 1 obbligazione senza cedole a 1 anno —> 1000 con il ricavato acquisto un obbligazione a 2 anni no cedole tasso di i x non fare arbitraggio investire 1000 tra 1 anno x avere 1125 tra 2 anni?

tassi a termine

SPS R (0, tk) k = 1,2,3, … —> tasso effettivo a termine per una OF tk - (tk -1) —> R (0, tk -1, tk) ( 1 - R (0 , tk) )tk^ = Montante di 1 unità di cap investita oggi fino a tk = ( 1 + R (0, tk -1)tk - 1^ *** ( 1 + R (0, tk - 1, tk) ) tk -(tk - 1)** R (0, tk -1, tk) = (1 + R (0, tk) ) tk 1 + R (0, tk-1) tk-1 R (0,1,2) = (1,1^2 / 1,05) - 1 = 15,24% R (0,1,3) = ( 1,15^3 /1,05) 1/2^ - 1 = 20,35% 1a 2a 3a 4a 5% 10% 15% 20% struttura x scadenza dei tassi crescente —> tasso a termine > tasso SPOT

lezione 21- LEZIONE 26- |———— -100 ————|———— - 100 ———> i = 10% 1 2 HP —> zero coupon bond x ogni scadenza

• conto deposito VA = 100 * 1,1 -1^ + 100 * 1,1 -2^ = 173,

1. |—— + 100 —— + 100 ——| —> se c’è una variazione di tasso non ho problemi
2. 173,5537 * 1,1 = 190,91 —> - 100 —> 90,90 * (1,1) = 100$ —> - 100 —> 0 —> se c’è una variazione di tasso in neg —> no $ sufficienti x coprire le uscite SPS piatta —> i 0 = costante —> passività ( Lk , k ) k = 1, 2, …, n —> attività ( Ak, k ) —> per ogni k —> Lk = Ak Cosa succede se cambia il tasso? h ( i ) = Va ( 0, i ) - VL ( 0, i ) h ( i ) = 0 _—> perchè i 2 VA sono =
3. h ’ ( i ) = 0 derivata prima uguale a zero —> ∂ Va ( 0, i ) / ∂ i = ∂ VL ( 0, i ) / ∂ i
4. Da ( i 0 ) = DL ( i 0 )
5. h “ ( i ) > 0 derivata seconda —> deve essere convessa —> ∂ 2 Va ( 0, i ) / ∂ i 2 = ∂ 2 VL ( 0, i ) / ∂ i 2_ S | T 1 2 3 4 1 5% 15,24% 20,35% 25,46% 2 /////// (^) 10% 25,69% 30,91% 3 /////// /////// 15% 36,34% 4 /////// /////// /////// (^) 20% VA entrate = VA uscite Va (0, i) = VL (0, i) Va (0, i) = Ʃ Ak (1 + i) -k VL (0, i) = Ʃ Lk (1 + i) -k