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MATEMATICA FINANZIARIA
Capitalizzazione semplice :
interesse I=C i t dove C è il capitale iniziale, t il tempo di capitalizzazione e i il tasso di interesse, cioè l’incremento del capitale unitario nel tempo unitario montante C → M .... 0 1 2 3 4 5 t-1 t M = C + I = C + C i t = C(1 + i t)
sconto commerciale : si serve di un tasso di sconto d diverso dal tasso di interesse i e si basa sullo stesso principio dell’interesse e del montante: sconto S = C d t valore attuale V = C – S = C – C d t = C(1- d t) sconto razionale : si serve di un ragionamento a ritroso e usa il tasso di interesse i. Se capitalizzassimo in regime di capitalizzazione semplice il valore attuale V , dovremmo ottenere nel tempo t il capitale C V(1+ i t) = C ⇒⇒⇒⇒
V ← C .... 0 1 2 3 4 5 t-1 t Per paragonare il tasso di interesse i e il tasso di sconto d si considera un capitale C e lo si sconta per un anno nei due modi diversi: il tasso di sconto sarà equivalente al tasso di interesse se i due valori attuali coincidono
V = C ( 1 − d ) i
C
V
i
C
C d
i
d
i
d
i
i i
i d
oppure
i
C
C d
i
d
d
i i
d d
i −
d
i −
d
d d
d d
i −
Tempi non interi e tassi equivalenti. In regime di capitalizzazione semplice è possibile “tradurre il tempo” nell’unità di tempo alla quale si riferisce il tasso oppure trasformare il tasso in un altro equivalente ma espresso in un’altra unità di tempo. Nel primo caso se si ha, per esempio, una capitalizzazione trimestrale (il tasso quadrimestrale è espresso con i 4 ad indicare che un trimestre è ¼ di anno) per un tempo di 5 anni si scriverà M = C(1+ i 4 (^) ⋅ 20 ) perché 5 anni corrispondono a 5 × 4 = 20 trimestri. Nel secondo caso trasformo i 4 in i considerando che, per essere tassi equivalenti, devono portare nello stesso tempo (per brevità 1 anno) lo stesso capitale (per brevità il capitale
unitario C = 1) allo stesso montante, allora
( ) ( )
( i ) ( i ) i i M i
M i ⇒ + ⋅ = + ⇒ ⋅ =
4 4
4
it
C
V
i
i d
d
d i −
jk = k ⋅ ik
Capitalizzazione composta
La capitalizzazione composta corrisponde ad una capitalizzazione semplice “ripetuta di anno in anno” capitalizzando ogni volta anche gli interessi: C M 1 M 2 M 3 Mt .... 0 1 2 3 4 5 t-1 t
M M i C i i C i ecc
M M i C i i C i
M C i
2 3 3 2
2 2 1
1
Sconto in regime di capitalizzazione composta : Lo sconto più usato è quello che si chiama sconto composto e si calcola secondo lo stesso principio visto per lo sconto razionale in regime di capitalizzazione semplice:
Tempi non interi e tassi equivalenti : Quando si capitalizza in regime di capitalizzazione composta per tempi non interi, si possono usare due tipi di convenzioni: la convenzione lineare e la convenzione esponenziale. La seconda consiste semplicemente nello scrivere il tempo non intero all’esponente, per esempio un capitale C capitalizzato per tre anni e 5 mesi ad un tasso annuo i dà un montante
( ) ( )^12
41 12 3 5 M = C 1 + i + = C 1 + i La convenzione lineare, invece, consiste nell’utilizzare la capitalizzazione composta per il tempo intero (nell’esempio di cui sopra per 3 anni) e quella semplice per la rimanente parte frazionaria (nell’esempio di cui sopra per 5/12 di anno), perché per un periodo inferiore al tempo unitario a cui si riferisce il tasso conviene la capitalizzazione semplice (si evidenzia con un grafico)
[ ( )]
= + ^ + ⋅
M C 1 i^3 1 i
Per trasformare il tasso annuo in un tasso equivalente si considera, anche in regime di capitalizzazione composta, che devono portare nello stesso tempo (per brevità 1 anno) lo stesso capitale (per brevità il capitale unitario C = 1) allo stesso montante, allora
= + k k
k k
k k k k
i i i i oppure i i M i
M i
Si usa a volte un altro tipo di tasso che si chiama tasso annuo nominale convertibile per 1/k di anno e si indica con jk : questo tasso non è un tasso effettivo cioè non si usa mai nella realtà, ma è solo un tasso indicativo che va convertito prima di fare qualsiasi calcolo. La conversione da tasso annuo nominale convertibile... a tasso effettivo si fa come se si fosse in regime di capitalizzazione semplice: per esempio se si ha il tasso annuo nominale
convertibile quadrimestralmente j 3 (^) = 0 , 075 il tasso effettivo di cui tener conto per i calcoli è il
tasso quadrimestrale 0 , 025 3
i 3 (^) = = ; a partire da quest’ultimo si possono poi trovare tutti i
tassi effettivi equivalenti a j 3.
RENDITE
Rendite in regime di capitalizzazione semplice In generale si calcola il montante all’atto dell’ultimo versamento, per calcolare il valore di una rendita in qualsiasi altro momento si “trasporta” questa cifra sulla retta del tempo secondo il criterio dell’attualizzazione o della capitalizzazione di una capitale.
t M (^) t = C ( 1 + i )
i^ t
C
V
- Si restituisce ogni anno una quota costante di capitale pari a D/n e si pagano di anno in anno gli interessi sull’ultimo debito residuo.
- Si restituisce di anno in anno una rata costante comprensiva di una quota interessi e di una quota capitale, in modo che il montante all’atto dell’ultimo versamento di tali rate costanti corrisponda alla fine al montante del debito, cioè M = D ( 1 + i ) n. Tale rata costante si trova
ponendo ( )
( ) ( ) ( 1 ) (^1)
= + = n
n n n i
D i i R i
i M D i R. La quota interessi si calcola di
anno in anno sull’ultimo debito residuo, mentre la quota capitale si calcola per differenza fra la rata complessiva e la quota interessi.
Indicando con QC la quota capitale, con QI la quota interessi, con R la rata complessiva, con DE il debito estinto e con DR il debito residuo, si costruiscono i seguenti piani di ammortamento:
- Ammortamento americano di un debito D = 10000 € in 7 anni ad interesse i = 0 , 15 costituendo in Banca il capitale al tasso i (^) B = 0 , 20 : si calcola la rata di costituzione del capitale in Banca e si fa un rapido piano di costituzione del capitale=debito, si riempie la colonna delle QI costanti, si calcola la rata da pagare come somma degli interessi al creditore e della rata di costituzione, non si estingue alcun debito fino all’ultimo anno e il debito residuo è sempre l’intero debito fino a che non si estingue in un’unica soluzione n QC QI R DE DR 1 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D D=€ 10000 2 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D i= 0, 3 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D IB= 0, 4 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D rata costituzione capitale 5 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D
774 , 24
0 , 2
10000 (^1 ,^2 )^71
⇒ =
= ⋅^ −
R
R
6 - Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di - D 7 D Di DiB / [(1+iB)n-1]+Di D - costituzione del capitale n QC QI R DE DR 1 1500 2274,24 10000 774, 2 - 1500 2274,24 10000 1703, 3 - 1500 2274,24 10000 2818, 4 - 1500 2274,24 10000 4156, 5 - 1500 2274,24 10000 5761, 6 - 1500 2274,24 10000 7688, 7 10000 1500 12274,24 10000 - 10000
- Ammortamento a quote-capitale costanti di un debito D = 10000 € in 7 anni ad interesse i = 0 , 15 : si riempie dapprima la colonna QC come 1/n dell’intero debito, si calcola la quota- interessi anno per anno dall’ultimo debito residuo, si calcola la rata come somma della quota- capitale e della quota-interesse, si calcola il debito estinto come somma delle quote-capitale pagate e il debito residuo come differenza dell’intero debito meno il debito estinto:
n QC QI R DE DR
- Ammortamento a rate costanti di un debito D = 10000 € in 7 anni ad interesse i = 0 , 15 : si calcola la rata costante e si riempie la relativa colonna, si calcola la quota-interessi anno per anno dall’ultimo debito residuo, si calcola la quota-capitale come differenza fra la rata e la quota-interessi, si calcola il debito estinto come somma delle quote-capitale pagate e il debito residuo come differenza dell’intero debito meno il debito estinto
- 1 D/7 Di QC+QI1 D/7 D-D/
- 2 D/7 DR 1 i QC+QI2 2D/7 D-2D/
- 3 D/7 DR 2 i QC+QI3 3D/7 D-3D/
- 4 D/7 DR 3 i QC+QI4 4D/7 D-4D/
- 5 D/7 DR 4 i QC+QI5 5D/7 D-5D/
- 6 D/7 DR 5 i QC+QI6 6D/7 D-6D/
- n QC QI R DE DR D=€ 7 D/7 DR 6 i QC+QI7 D/7 -
- 1 1428,571 1500 2928,57 1428,571 8571,428 i= 0,
- 2 1428,571 1285,714 2714,29 2857,142 7142,
- 3 1428,571 1071,428 2500,00 4285,714 5714,
- 4 1428,571 857,1428 2285,71 5714,285 4285,
- 5 1428,571 642,8571 2071,43 7142,857 2857,
- 6 1428,571 428,5714 1857,14 8571,428 1428,
- 7 1428,571 214,2857 1642,86
- 1 R-QI 1 Di D(1+i)n i / [(1+i)n-1] QC 1 D-DE n QC QI R DE DR
- 2 R-QI 2 DR 1 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 1 +QC 2 D-DE
- 3 R-QI 3 DR 2 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 2 +QC 3 D-DE
- 4 R-QI 4 DR 3 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 3 +QC 4 D-DE
- 5 R-QI 5 DR 4 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 4 +QC 5 D-DE
- 6 R-QI 6 DR 5 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 5 +QC 6 D-DE
- 7 R-QI 7 DR 6 i D(1+i)n i / [(1+i)n-1] DE 6 +QC 7 D-DE
- n QC QI R DE DR D=€
- 1 903,60 1500 2403,60 903,60 9096,40 i= 0,
- 2 1039,14 1364,459 2403,60 1942,75 8057,
- 3 1195,02 1208,587 2403,60 3137,76 6862,
- 4 1374,27 1029,335 2403,60 4512,03 5487,
- 5 1580,41 823,1952 2403,60 6092,44 3907,
- 6 1817,47 586,1339 2403,60 7909,91 2090,
