Funzioni e loro proprietà: domini, immagini, limiti, derivate e integrali, Sintesi del corso di Matematica Generale

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2023/

4

ESAME DI MATEMATICA E

ANALISI 1

LAUREA IN SCIENZE DELL’ARCHITETTURA

GIULIA BALESTRIERI

INDICE:

I. FUNZIONI E GRAFICI

a) OPERAZIONI CON FUNZIONI

b) FUNZIONI INVERSE

II. LIMITI

a) CONTINUITÀ

III. DERIVATE

a) DERIVATE PARZIALI

b) MASSIMI E MINIMI

c) ALTRO SULLE DERIVATE

IV. ESPONENZIALI E LOGARITMI

V. SOMMATORIE E PRODUTTORIE

VI. FATTORIALE

VII. INTEGRALI DEFINITI E INDEFINITI

VIII. EQUAZIONI DIFFIERENZIALI

IX. SPIRALI

Le funzioni sono lo strumento per esprimere la dipendenza di una

quantità da un’altra.

DEF: una funzione f definita in un insieme D dominio e in un

insieme R codominio o immagine è una legge che " x Î D associa

un solo elemento f(x) Î R

DEF: il dominio naturale è l’insieme di tutti i valori che la x della

funzione può assumere e in cui il suo grafico è tracciabile (esiste)

DEF: l’insieme immagine R di una funzione con dominio D

racchiude i valori assunti da f sulla base di D (valori assunti dal

tracciato del grafico all’interno dell’area di dominio)

• Funzione definita a tratti

ú x÷ = x, se x³0 e - x, se x<

ReLU(x)= x, se x³0 e 0 se x<0 à rectified linear unit

Funzione di Heaviside

H(x)= 1 se x³0 e 0 se x<

Funzione a gradino unitario

• Ogni funzione può essere traslata orizzontalmente sommando

a x una costante c

Es: y= x+

Vale lo stesso ragionamento per le traslazioni verticali solo

applicando la costante a y

• Dilatazione e contrazione si ottengono moltiplicando una

costante a x o a y

Es: ax o by

Se le costanti sono minori di 1 si ottiene una dilatazione, se

sono maggiori di 1 una contrazione

Se a=b allora la trasformazione è definita cambio di scala

• Se le costanti a e b sono <0 in base all’incognita a cui si

applicano si avrà la riflessione del grafico rispetto agli assi

Funzione pari: una funzione f è pari se il suo grafico viene riflesso

rispetto all’asse x

se per ogni - x Î D f (-x) = f(x)

Funzione dispari: una funzione è dispari se il suo grafico viene

riflesso rispetto all’origine

Se per ogni - x Î D f(-x) = - f(x)

Generalizzazione di simmetria

Se la funzione viene riflessa rispetto a un generico punto (a;b)

f (2a – x) = 2b – f(x)

oppure

f(x)= f (2c – x) allora il grafico è riflesso rispetto alla retta x=c

Funzione periodica: il grafico si ripete uguale dopo ogni periodo

Funzioni goniometriche

OPERAZIONI CON FUNZIONI

• Somma, prodotto, differenza e divisione
• Composizione di funzioni

Se f e g sono due funzioni allora

f ∘ g

x

= 𝑓Dg

x

E

La funzione scritta per prima è quella a cui nell’operazione di

composizione andrà sostituito l’argomento con la seconda funzione

Es: se f(x)= x

%

e g(x)= 1+5x allora:

f ∘ g

x

1 + 5 x

%

Perché alla funzione dominante f(x) viene sostituito l’argomento x

con la funzione g(x) che in questo caso è 1+5x e quindi

componendo le due funzioni avremo 𝑔

x

%

Es 2:

𝑓(x) = sin(x)

x

f ∘ g

x

= sin

x + 2

𝑓(x)

x

%

%

𝑔(x)

(f ∘ g)(x)

%

%

LIMITI

CONTINUITÀ

sia 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 una funzione e sia 𝑥 0 ∈ 𝐴 un punto di

accumulazione A. Si dice che f è continua in x0 se

lim

$→$&

Se f è continua in ogni punto di un intervallo diciamo che f è

continua sull’intervallo.

Possiamo dire che il grafico di una funzione continua può essere

disegnato senza staccare la penna dal foglio.

ASINTOTI

Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina all’infinito senza

mai toccarla.

Gli asintoti sono verticali, orizzontali o obliqui.

Verticale: quando x=a e il limite della funzione per x che tende ad

a

o a

da infinito

Per verificare se la funzione ha asintoti verticali bisogna vedere i

punti del dominio dove la funzione non esiste e calcolarne il limite

lim

$→*

!

lim

$→*

"

Orizzontale: quando y=l e il limite della funzione per x che tende a

infinito da come risultato l.

Una funzione può avere al massimo due asintoti orizzontali che

possono intersecare la curva di f(x)

lim

$→+)

lim

$→")

Obliquo: l’asintoto obliquo è una retta di equazione y=mx+q

lim

$→±)

Avendo m e q incogniti si procede così:

calcolo m lim

$→±)

,($)

$

calcolo q lim

$→±)

compongo l’equazione della retta che sarà il mio asintoto obliquo

Limiti di funzione razionali (frazioni) per x che tende a x

Caso 1: quando provo a sostituire x con x0 e né il denominatore né

il numeratore si annullano

lim

$→%

Caso 2: quando si annulla il numeratore e non il denominatore

lim

$→#

%

Caso 3: quando provo a sostituire x0 si annulla solo il denominatore

lim

$→%

Calcolo del limite destro

lim

$→%

!

"

Ragionando il risultato è negativo perché sto dividendo una

quantità positiva per una negativa

Limiti di funzioni razionali per x che tende a ±∞

lim

$→+)

!

%

lim

$→")

!

/

= lim

$→")

!

` 1 −

%

a

/

` 1 −

/

a

lim

$→")

%

%

1. raccolgo il termine di grado massimo
2. semplificare
3. guardare a cosa tendono i termini

rimasti

𝑠𝑒 𝑁 > 𝐷 ⇒ lim 𝑓

𝑠𝑒 𝐷 > 𝑁 ⇒ lim 𝑓

𝑠𝑒 𝑁 = 𝐷 ⇒ lim 𝑓(𝑥) = 𝑛 ∈ 𝑅

Limiti con esponenziali e logaritmi

lim

$→+)

/

$

$

g

/

$

− 1 h = −∞

lim

$→+)

$

%

$

Z 1 −

%

$

[

3 𝑥 ` 1 +

a

Scala di confronto a +∞

log 𝑥 ≪ 𝑥

0

$

Limiti di funzioni composte

lim

$→)

𝑐𝑜 𝑠 Z

$

[

1. a cosa tende

!

1

1. a cosa tende la funzione coseno quando il suo argomento

tende a 0? tende a 1

1. il risultato del limite è 1

quindi analizzare prima a cosa tende la funzione interna e poi la

funzione “generale”

cambio di variabile: à posso anche sostituire la funzione “interna”

in x con y e risolvere il limite per la funzione interna eguagliando il

risultato a y

in seguito, risolvere il limite in y

esempio:

lim

$→)

$

$

+#

%$

$

"$

= lim

2 →

%

2

%

=

√

$

$

+#

%$

$

"$

→ lim

$→)

$

$

+#

%$

$

"$

%

Dunque, 𝑦 →

%

Limiti notevoli

Sono delle forme indeterminate di cui ci si impara il risultato:

lim

$→&

lim

$→&

3*4$

$

&

&

564$

$

×

785$

cos

%

𝑥 + sin

%

1 − cos

%

𝑥 = sin

%

FORME INDETERMINATE

) ) & & & )

Teorema di de l’Hôpital: quando un limite inizialmente risulta in

forma indeterminata si può applicare il teorema di de l’Hôpital che

consiste nel derivare il numeratore e il denominatore per poi finire

di calcolare il limite

DERIVATE

Con la derivata prima si stabiliscono i punti di massimo e minimo

che possono essere relativi o assoluti:

DEF: un punto x=c è un punto di massimo/minimo locale per una

funzione f(x) se esiste un intorno c tale che f(c) è maggiore/minore o

uguale a f(x) per ogni x nell’intorno.

𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 𝑐 è 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑓

;

= 0 o se la derivata non

esiste in c.

Per determinare se un punto critico è un punto di massimo o

minimo locale basta porre la derivata seconda di f(x) maggiore o

minore di 0.

Se maggiore di 0 allora è un punto di minimo locale, se minore

allora è di massimo.

Con la derivata seconda si individuano i punti di flesso.

DEF: 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 𝑐 è 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑓

se

la concavità della funzione cambia in c.

Un punto di flesso è associato a un punto in cui la derivata seconda

;;

= 0 o non esiste.

Se 𝑓

> 0 , il punto critico c è un punto di minimo locale

Se 𝑓

< 0 , il punto critico c è un punto di massimo locale

Se 𝑓

= 0 o non esiste, il punto critico c è un punto di flesso

DERIVATE PARZIALI

Le derivate parziali sono essenziali in diversi campi, come la fisica,

l'ingegneria e l'economia, dove le funzioni dipendono spesso da

più di una variabile. Consentono di analizzare come cambi una

funzione rispetto a variazioni in ciascuna delle sue variabili

indipendenti.

Il calcolo delle derivate parziali avviene trattando una variabile

come costante mentre l’altra viene derivata.

Es:

%

%

I punti in cui le derivate parziali si annullano simultaneamente si

dicono punti stazionari e si determinano impostando un sistema con

le due soluzioni della derivata parziale ponendole uguali a 0.

Es: per la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥

%

Risultano

<,

<$

<,

<

x

Risolvo il sistema e ottengo

y

In questo caso si evidenzia un solo punto stazionario (-2;1)