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MATEMATICA GENARALE
LEZIONE 1
Sia f : X → Y. L’insieme X si chiama dominio o insieme di definizione della funzione e l’insieme Y si chiama codominio della funzione. Il codominio è l’insieme Y in cui la funzione prende i propri valori. Il sottoinsieme del codominio costituito dagli elementi che sono immagine mediante la funzione f di almeno un elemento del dominio si chiama immagine di f e si indica con Im f. Ricapitolando, sia f : X → Y ,
Domf = Df = X
Imf = f (X) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X, f (x) = y}
CARATTERISTICHE DELLE FUNZIONI Definizione Si dice che una funzione f : A → B è SURIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, Imf = B ovvero ∀y ∈ B ∃x ∈ A : y = f (x). Definizione Si dice che una funzione f : A → B è INIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A oppure equivalentemente se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B
(∀x 1 , x 2 ∈ A ∧ x 1 ≠ x 2 ) ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 2 ).
Definizione Si dice che una funzione f : A → B è BIIETTIVA o BIUNIVOCA se ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.
∀y ∈ B ∃!x ∈ A : y = f (x)
NUMERI NATURALI
Definizione L’insieme N dei numeri naturali è formato dai numeri 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , n, n + 1 , · · ·. N = { 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , n, n + 1 , · · · } Osservazione Si indica con N 0 = N∖{ 0 } In N si introduce una relazione di ordine totale, ≤. La relazione d’ordine totale ≤ gode delle seguenti proprietà: a ≤ a, riflessiva a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c, transitiva a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b, antisimmetrica In N si introducono le operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (·): f : N × N → N
( n,m ) ↦ n + m
e
g : N × N → N
( n,m ) ↦ n · m
Osservazione Un’equazione in x del tipo a + x = b potrebbe essere priva di soluzione in N.
NUMERI INTERI
Definizione L’insieme Z dei numeri interi relativi è formato dai numeri 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , · · · , n, − n, · · ·. Z = {· · · , − n, · · · , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , n, · · · } Si estendono in Z la relazione d’ordine totale, le operazioni di addizione e moltiplicazione. Osservazione
- L’equazione in x del tipo a + x = b , con a e b interi arbitrari, ha una e una sola soluzione appartenente a Z.
- Dati due numeri interi, a, b , l’espressione a · x = b potrebbe essere priva di soluzione in Z.
NUMERI RAZIONALI
Definizione L’insieme Q dei numeri razionali è formato dai quozienti tra un numero intero qualsiasi m detto numeratore e un intero non nullo n detto denominatore:
Q = {
m
n :^ m, n^ ∈^ Z^ ∧^ n ≠0 }
Osservazione
- I numeri razionali sono rappresentati da allineamenti decimali finiti o illimitati periodici;
- La rappresentazione decimale è limitata se e solo se il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini è multiplo di 2 o 5. In caso contrario è illimitata periodica. Rappresentazione geometrica
- Data una retta orientata e fissati una unità di misura u ed un punto di origine O di riferimento è possibile associare ad ogni numero a ∈ N oppure a ∈ Z oppure a ∈ Q un punto P della retta tale che OP sia esattamente a volte l’unità di misura?
- Dato un segmento unità, è possibile misurare rispetto ad esso ogni altro segmento?
- Se ad ogni numero razionale corrisponde un punto su una retta orientata, è vero anche il contrario? Osservazione No, esistono segmenti incommensurabili rispetto ad altri. Esempio: Incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato. TEOREMA 1 (pagina 10 mod 2) L’ascissa d che misura la diagonale del quadrato di lato unitario non è un numero razionale. dim: ... NUMERI REALI Definizione Si definisce numero reale ogni allineamento finito o infinito del tipo p, a 1 a 2 a 3 a 4 · · · dove p è un numero intero relativo e a 1 a 2 a 3 a 4 · · · sono cifre decimali. Si indica con R l’insieme dei numeri reali. In R si estendono le operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordine con le rispettive proprietà. (R , + , ·); ≤: relazione d’ordine totale. ∀ a, b, c ∈ R : a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀ a, b ∈ R , ∀ c ∈ R+^ : a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ∀ a, b ∈ R, ∀ c ∈ R−^ : a ≤ b ⇒ ac ≥ bc
Sia c ∈ R, se ∀a ∈ A e ∀b ∈ B si ha a ≤ c ≤ b allora il numero reale c è chiamato elemento separatore. Osservazione Se A, B sono due insiemi separati allora esiste (almeno) un elemento separatore. Se A, B sono due insiemi contigui allora esiste uno e un solo elemento separatore. INSIEMI LIMITATI Definizione Sia X ⊂ R. Sia k ∈ R. Se ∀x ∈ X : x ≤ k allora k è un maggiorante di X Se ∀x ∈ X : x ≥ k allora k è un minorante di X Definizione Sia X ⊂ R. Se ∃k ∈ R : ∀x ∈ X si ha x ≤ k allora X è limitato superiormente Se ∃k ∈ R : ∀x ∈ X si ha x ≥ k allora X è limitato inferiormente Definizione X si dice limitato se è limitato inferiormente e superiormente. Definizione Sia X ⊂ R. se ∃ x * ∈ X : ∀ x ∈ X, x ≤ x * allora x * si dice massimo di X e si indica con max X = x ; se ∃˜ x ∈ X : ∀ x ∈ X, ˜ x ≤ x allora ˜ x si dice minimo di X e si indica con min X = ˜ x. ESTREMO SUPERIORE Sia X ⊂ R un insieme limitato superiormente. Sia X ̸= ∅. Con X △ si indica l’insieme di tutti i maggioranti di X. Definizione Si chiama estemo superiore di X , indicato con sup X , il minimo dei maggioranti di X ossia sup X = min X △ Il sup X è tale che ∀ x ∈ X, x ≤ sup X ovvero ∀ 𝐀 > 0 , ∃ x ∈ X : (sup X ) − 𝐀 < x ESTREMO INFERIORE Sia X ⊂ R un insieme limitato inferiormente. Sia X ̸= ∅. Con X ∇ si indica l’insieme di tutti i minoranti di X. Definizione Si chiama estemo inferiore di X , indicato con inf X il massimo dei minoranti di X ossia inf X = max X ∇ L’inf X è tale che ∀ x ∈ X, inf X ≤ x ovvero ∀ 𝐀 > 0 , ∃ x ∈ X : x < (inf X ) + 𝐀 Osservazione Se l’insieme X non è limitato superiormente allora si pone sup X = +∞ inferiormente allora si pone inf X = −∞ Osservazione R = R = R ∪ {−∞ , +∞} si dice RETTA REALE ESTESA Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l’estremo superiore e l’estremo inferiore dei seguenti insiemi: X = { x ∈ R : x = − n + 2 n ∧ n ∈ N 0 } X = { x ∈ R : − 5 ≤ x < 10 } X = { x ∈ Q : x = 2 n ∧ n ∈ N 0 } X = { x ∈ Z : x = √ n ∧ n ∈ N} X = { x ∈ R : x ≥ 4 } X = { x ∈ R : 3 ≤ x < 6 } ∪ { 9 }
SIMBOLI
Definizione Siano m, n due numeri interi con m ≤ n , ai con i = m,m + 1 , · · · , n − 1 , n , numeri reali. Si chiama sommatoria per i da m a n di ai la somma di tutti gli elementi ai e si indica con ∑ i = m n ai (^) = a
m +^ am + 1 +^ · · ·^ +^ an − 1 +^ an.
Definizione Siano m, n due numeri interi con m ≤ n , ai con i = m,m + 1 , · · · , n − 1 , n , numeri reali. Si chiama produttoria per i da m a n di ai il prodotto di tutti gli elementi ai e si indica con ∏ i = m n ai (^) = a
m +^ am + 1 +^ · · ·^ +^ an − 1 +^ an.
Definizione Si chiama FATTORIALE del numero naturale n il prodotto dei primi n numeri naturali non nulli e si indica con n! = ∏ i = 1 n i (^) = 1 · 2 · 3_..._ · n. Osservazione 1! = 0! = 1 n! = ( n − 1 )! n Definizione Il coefficiente binomiale di grado n e di classe k con n ≥ k è ( n k ) = n! k! ( n − k )! si legge " n su k " Osservazione Il nome coefficiente binomiale deriva dallo sviluppo della potenza di un binomio tramite la cosidetta formula di Newton: ( a + b ) n = ∑ k = o n (
n
k )^ a n − kbk Cenno ai NUMERI COMPLESSI Per ampliare l’insieme R dei numeri reali si introduce un nuovo "numero" il cui quadrato è −1. Definizione Si chiama unità immaginaria e si indica con i la radice quadrata di −1: i = √−1, ovvero i 2 = −1. Definizione Si dice numero complesso una espressione del tipo z = a + ib , con a, b ∈ R. L’insieme dei numeri complessi si indica con C. Nell’espressione z = a + ib , il termine a è detto parte reale, il termine ib è detto parte immaginaria e b è detto coefficiente della parte immaginaria. Le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi si definiscono nel seguente modo: ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) ( a + ib ) · ( c + id ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc ) Osservazione
LEZIONE 3
Il VETTORE NULLO è il vettore 0 ∈ R n , 0 = [ 0 0 … 0 ] L’ i -esimo vettore fondamentale è il vettore e ( i )^ ∈ R n , e ( i )= [ 0 i … 0 ] ossia il vettore a componenti tutte nulle tranne la i -esima che vale 1. SOMMA DI UNO O PIÚ VETTORI Definizione Siano x , y ∈ R n. Se z ∈ R n : zi = xi + yi ∀ i = 1 ,... , n allora z è il vettore somma di x e y. Da un punto di vista grafico, in R^2 , si ha Proprietà della somma tra vettori ∀ x , y , t ∈ R n
- x + y = y + x proprietà commutativa
- ( x + y ) + t = x + ( y + t ) proprietà associativa
- x + 0 = 0 + x elemento neutro per la somma I ∀ x ∈ R n, ∃(− x ) ∈ R n : x + (− x ) = 0. Il vettore − x è detto vettore opposto di x e si ottiene cambiando di segno ogni componente del vettore x. PRODOTTO PER UNO SCALARE Definizione Siano x ∈ R n e 𝐀 ∈ R. Se z ∈ R n : zi = 𝐀 xi ∀ i = 1 ,... n allora z è il vettore prodotto di 𝐀 per x. Da un punto di vista geometrico, in R 2 , si ha DIFFERENZA FRA VETTORI
Esercizio Siano dati i vettori x , y , z ∈ R 3 con x T^ = [− 2 6 3 ] y T^ =[ 2 − 2 1 ] z T^ =[ 2 2 − 1 ] Determinare v ∈ R 3 tale che
- x − y + v = 7 v + z
- 2 x − 3 y + 5 v + 3 z = 3 v + 4 z Proprietà del prodotto per uno scalare ∀ x ∈ R n, ∀ 𝐀, 𝐀 ∈ R 1. ( 𝐀 + 𝐀 ) x = 𝐀 x + 𝐀 x 2. 𝐀 ( 𝐀 x ) = ( 𝐀𝐀 ) x ∀ x , y ∈ R n, ∀ 𝐀 ∈ R 𝐀 ( x + y ) = 𝐀 x + 𝐀 y ∀ x ∈ R n , 1 x = x Proposizione Con queste proprietà si dice che R n è uno spazio vettoriale o lineare su R_._ COMBINAZIONE LINEARE Definizione Siano dati k vettori a n componenti, x^1 , x^2 ,... , x k^ ∈ R n^ e k coefficienti c^1 , c^2_... , ck_^ ∈ R. Si dice combinazione lineare dei k vettori x^1 , x^2 ,... , x k^ l’espressione c 1 x^1 + c 2 x^2 +... + ck x k^ ∈ R n Il vettore v ∈ R n^ è combinazione lineare dei vettori x^1 , x^2 ,... , x k^ se esistono gli scalari 𝐀 1 , 𝐀 2_... , 𝐀k_ tali che v = ∑ i = 1 k α i x i
Esercizi
Esercizio Scrivere il vettore v T^ =[ 1 − 2 5 ] come combinazione lineare dei vettori x T^ = [ 1 1 1 ] , y T^ =[ 1 2 3 ], z T^ =[ 2 − 1 1 ] Esercizio Dati i vettori v T^ = [ 1 − 2 k ] , x T^ =[ 3 0 2 ], y T^ = [ 2 − 1 − 5 ] trovare per quale valore del parametro reale k il vettore v è combinazione lineare di x e y. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Definizione Sia R n uno spazio vettoriale su R e siano v^1 ,^ v^2 ,... , v n^ ∈ R n. Si dice che v^1 ,^ v^2 ,... , v n^ sono linearmente dipendenti se esistono 𝐀 1 , 𝐀 2_... , 𝐀n_ ∈ R NON tutti nulli tali che 𝐀 1 v^1 + 𝐀 2 v^2 +... + 𝐀n v n^ = 0 Se tale uguaglianza sussiste soltanto se ognuno dei coefficienti 𝐀 1 , 𝐀 2_... , 𝐀n_ è uguale a zero allora i vettori v 1 , v 2 ,... , v n si dicono linearmente indipendenti. Definizione Sia R n^ spazio vettoriale e siano v 1 , v 2 ,... , v s ∈ R n. Se ∀ v ∈ R n, v = ∑ i = 1 S α i (^) v i allora l’insieme dei vettori v 1 , v 2 ,... , v s si dice insieme di generatori di R n. Se l’insieme di generatori è costituito da vettori linearmente indipendenti allora si dice base per R n. Esercizio
= ∑ i = 1 n x i (^) yi = < x , y > = ( x , y ) = ( x | y ) Esempi. Verificare che risulta [2 3 4] · [ 1 − 1 2 ]^ = [^2 ·^^1 +^3 ·^ ( −^1 ) +^4 ·^^2 ] = [^7 ] [1 2 − 5 0] · [ 4 3 2 5 ]^ =^ [^1 ·^^4 +^2 ·^^3 + ( −^5 )^ ·^^2 +^0 ·^^5 ] = [^0 ] Il prodotto [2 3 4] [ 4 3 2 5 ] non è invece eseguibile.
Proprietà del prodotto scalare
∀ x , y , z ϵ R n,^ ∀ α ∈ R < x , y > = < y , x > < x + y , z > = < x , z > + < y , z > < __ x , y > = α < x , y > < x , x > ≥ 0 < x , x > = 0 , x = 0 Osservazione Notiamo che NON vale la legge di annullamento del prodotto ossia < x , y > = 0 ; x = 0 ⤃ y = 0 Definizione (pag 57 mod 2) Siano x , y 2 R n. Se risulta < x , y > = 0 allora i vettori x , y si dicono ortogonali. SPAZIO NORMATO Sia f : R n^!_ R.
Se ∀ x , y 2 R n, ∀ α 2 R
f ( x ) ≥ 0
f ( x ) = 0 ↔ x = 0
f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y )
f ( α x ) = | α | f ( x )
allora f è una NORMA (e si indica la norma del vettore x con il simbolo ‖ x ‖
Osservazione
Rn^ con il concetto di norma sopra definito si chiama spazio normato.
Esempi di norma Definizione
Si definisce norma assoluta L 1 del vettore x ∈ R n^ il numero
‖ x ‖ =
¿ x i ∨¿ ∑ i = 1 n ¿ Definizione
Si dice norma (euclidea) del vettore x ϵ R n^ il numero
‖ x ‖ =
¿ x , x >¿
√¿ =^ √^
x 1
2
+ x 2
2
+ … + xn
2 Definizione
Si definisce norma infinita L ∞ del vettore x ∈ R n^ il numero
‖ x ‖ ∞ =
max
i = 1 , 2 ,· ·· , n |xi^ |
Proprietà della distanza
Sia d : X × X → R.
Se ∀ x, y, z ∈ X
d ( x , y ) ≥ 0
Quando per gli elementi di un insieme qualsiasi X viene introdotta la nozione di intorno si dice che è stata definita una topologia di X LEZIONE 5 Elementi di Topologia Sia X uno spazio topologico. Allora valgono le seguenti proprietà:
- ogni punto x ha almeno un intorno B ( x )
- ogni intorno di x contiene x
- se y appartiene a un intorno B ( x ) di x , esiste almeno un intorno B ( y ) di y contenuto in B ( x )
- l’intersezione B 1 ( x ) \ B 2 ( x ) di due intorni di x contiene almeno un intorno di x
- se x 6 = y esistono almeno un intorno B ( x ) di x e un intorno B ( y ) di y privi di punti in comune Osservazione Quest’ultima è meglio conosciuta come proprietà di separazione di HAUSDORFF Sia A ⊂ R n , sia p ∈ A. Se ∃ Ir ( p ) ⊂ A allora p è un punto interno ad A. L’insieme dei punti interni di A si indica con Int A , Å oppure Ă Se A =Å allora si dice che A è aperto. sia p ∈ (R n\A ) ossia ∃ Ir ( p ) tale che Ir ( p ) ⊂ R n\A (ossia Ir ( p ) ∩ A = ∅ ). In questo caso si dice che^ p^ è un^ punto esterno^ ad^ A. p si dice di frontiera per A se non è interno nè ad A nè al complementare di A (indicato con CA ). Con F A si indica l’insieme dei punti di frontiera di A. Si chiama chiusura di A l’insieme (^) A ´ = A ∪ F A. A si dice chiuso se CA è aperto. Teorema A è aperto se e solo se il suo complementare è chiuso. p si dice punto di accumulazione per A se in ogni intorno di p esiste un punto di A diverso da p. L’insieme dei punti di accumulazione di A si dice insieme derivato di A e si indica con D A. Osservazione Un punto p di accumulazione per l’insieme A può appartenere oppure no all’insieme A. A = ( a, b ) Ogni punto di A è di accumulazione per A ; a e b sono punti di accumulazione per A non appartenenti ad A. A = { 1 n
n ∈ N }
L’origine è un punto di accumulazione per A. Il punto p è un punto isolato di A se p ∈ A ˄ p ∉ D A , ∃ (^) Ir ( p ) : Ir ( p ) ∩ (^) A = { p } Se A = D A allora A si dice perfetto
Sia A un sottoinsieme di E. Se risulta che la chiusura di A coincide con la chiusura di E allora si dice che A è denso in E.
Sia E ⊂ R n. Se ∃ Ir ( 0 ) : E ⊂ Ir ( 0 ) allora E si dice limitato.
Teorema (di BOLZANO - WEIERSTRASS)(pag 79 mod 2)
Sia E ⊂ R n.^ Se E è limitato e infinito allora E possiede almeno un punto di accumulazione. Definizione
Sia A ⊆ R n - L’insieme A si dice limitato se ∃ Ir ( 0 ) : A ⊆ Ir ( 0 )
Osservazione Sia A chiuso e limitato allora A si dice compatto.
Sia A ⊆ R n^ e D A = ∅ allora A si dice discreto.
Definizione Il segmento di estremi x , y è
segm ( x , y ) = {t x + ( 1 − t ) y : t ∈ [ 0 , 1 ] }
Osserviamo che t x + ( 1 − t ) y = t ( x − y ) + y con t 2 [ 0 , 1 ]. Definizione
Sia A ⊆ R n.^ Se ∀ x , y ∈ A , segm ( x , y ) ⊆A allora si dice che A è un insieme convesso.
FUNZIONE REALE
Definizione
Una funzione reale di variabile reale è un’applicazione da un sottoinsieme X ∈ R n^ (il dominio)
nell’insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa ad ogni x 2 X un numero reale f ( x ). Ossia
f : X → R , X ∈ R n,^ x → f ( x )
Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
1. f : X → R, X ⊆ R, x → f ( x ) =
x^5 + 7 x x 2 − 1
2. f : X → R, X ⊆ R, x → f ( x ) = √ x + 3
FUNZIONI LIMITATE
Definizione Una funzione f : X → R , X ⊆ R n si dice
limitata superiormente se e solo se Imf ( x ) è limitato superiormente
limitata inferiormente se e solo se Imf ( x ) è limitato inferiormente
limitata se e solo se Imf ( x ) è limitato
ESTREMI DI UNA FUNZIONE
Definizione Sia f : X → R , X ⊆ R n. Se Imf ( x ) ammette massimo (o minimo) allora f ammette massimo assoluto o globale (oppure minimo assoluto o globale). In altre parole, la funzione f : X → R , X ⊆ R n ammette in x * ∈ X un punto di massimo assoluto se ∀ x ∈ X, f ( x ) ≤ f ( x *). D’altra parte, la funzione f : X → R , X ⊆ R n ammette in ~ x ∈ X un punto di minimo assoluto se ∀ x ∈ X, f ( ~ x ) ≤ f ( x ). In questa funzione, x 0 e x 2 sono minimi assoluti mentre x 3 è massimo assoluto. In questa funzione, x 1 è massimo assoluto mentre la funzione non ammette minimo assoluto. FUNZIONI MONOTONE Definizione Sia f : X → R, X ⊂ R, una funzione. Se ∀ x 1 , x 2 ∈ X : x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) la funzione f si dice monotona strettamente crescente Se ∀ x 1 , x 2 ∈ X : x 1 ≤ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) la funzione f si dice monotona crescente Se ∀ x 1 , x 2 ∈ X : x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) la funzione f si dice monotona strettamente decrescente Se ∀ x 1 , x 2 ∈ X : x 1 ≤ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) la funzione f si dice monotona decrescente Osservazione Se f è una funzione stettamente monotona allora f è iniettiva (il viceversa non è vero!) (es. f ( x ) =
x )
Funzioni simmetriche Vi sono alcune funzioni il cui grafico è caratterizzato da interessanti proprietà di simmetria. Sia f : X → R, X ⊆ R. Definizione
La funzione f ( x ) si dice pari se ∀ x ∈ X f ( x ) = f (− x ), cioè se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. La funzione f ( x ) si dice dispari se ∀ x ∈ X f ( x ) = − f (− x ), cioè se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Esempio Le funzioni I y = x^2 , y = x^4 , y = x^6 · · · y = xn con n pari sono pari (grafico (a)). I y = x, y = x^3 , y = x^5 · · · y = xn con n dispari sono dispari (grafico (b)). Funzione composta Definizione Date due funzioni: f : X → R g : Y → R con X, Y ⊆ R, Imf ( x ) ⊆ Y , si dice funzione composta di f e g (nell’ordine) la funzione h : X →R definita da: h ( x ) = ( g ∘ f )( x ) = g [ f ( x )] Osservazione La composizione di funzioni non è commutativa, cioè se anche le due funzioni f ∘ g e g ∘ f sono entrambe definite (e non succede sempre!), in generale sono diverse. Ad esempio se
f ( x ) = x^2 g ( t ) =
t + 1
t
allora g ( f ( z )) = z 2 + 1 Z 2
f ( g ( z )) = (
z + 1
Z )
z 2 + 2 z + 1 z 2 FUNZIONE INVERSA Definizione Una funzione f : X → R si dice invertibile se esiste una funzione g : Imf ( x ) → X tale che g [ f ( x )] = x e f [ g ( y )] = y La funzione g viene chiamata l’inversa di f ( x ) ed indicata col simbolo f −^1. Osservazione Se la funzione f è strettamente monotona allora è invertibile; se la funzione f è invertibile allora la sua inversa è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Scriviamo ora l’oggetto ottenuto dall’accostamento di questi k vettori: [ a^1 | a^2 |... | a k^ ] che, per componenti, diventa [ a 11 a 12 ⋯ a 1 k a 21 a 22 ⋯ a 2 k ⋮ an 1 ⋮ an 2 ⋱ ⋮ ⋯ ank^ ] Quest’oggetto è una matrice con n righe e k colonne ossia una matrice di ordine ( n, k ) oppure ( n × k ) Definizione Una matrice reale di ordine ( m × n ) è un insieme ordinato di m · n numeri reali disposti in una tabella di m righe e n colonne. Una matrice reale A si indica con il simbolo: [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am 1 am 2 ⋯ amn ] i numeri aij si chiamano elementi della matrice A. Altri modi di rappresentare una matrice sono i seguenti: A= ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ am 1 ⋱ ⋯ ⋮ amn^ )^ A=^ ‖ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ am 1 ⋯ amn^ ‖ A = [ aij ] ; con 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n Casi particolari Se m = 1 si ha A = [ a 1 a 2_... an_ ]. Una matrice ( 1 × n ) è un vettore riga a n componenti. Se n = 1 si ha A = [^ a 1 ⋮ am ] Una matrice ( m × 1 ) è un vettore colonna a m componenti. Se m ≠ n si dice che la matrice A è una matrice rettangolare di ordine ( m × n ). Se m = n si dice che la matrice A è una matrice quadrata di ordine n. MATRICI QUADRATE In una matrice quadrata A di ordine n : A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ an 1 ⋮ an 2 ⋱ ⋮ ⋯ ann^ ]^ ( n × n ) gli elementi a 11 , a 22 ,... , ann costituiscono la diagonale principale a 1 n, a 2 n − 1 ,... , an 1 costituiscono la diagonale secondaria Una matrice quadrata A di ordine n che ha tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale uguali a zero, si chiama matrice diagonale. A = [ a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann^ ] Una matrice quadrata A di ordine n che ha tutti gli elementi sotto la diagonale principale uguali a zero, si chiama matrice triangolare superiore.
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann^ ] Una matrice quadrata A di ordine n che ha tutti gli elementi sopra la diagonale principale uguali a zero, si chiama matrice triangolare inferiore. A = [ a 11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ 0 ⋮ a n 1 a^ ⋮ n 2 ⋱ ⋮ ⋯ ann^ ] Una matrice quadrata di ordine n che ha tutti gli elementi della diagonale principale uguali a 1, mentre sono nulli tutti gli altri elementi, si chiama matrice identità (o matrice unità o matrice identica) e verrà indicata con il simbolo I (o In ): A = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ 1 ] Consideriamo il simbolo di Kronecker definito da: 𝐀ij ={
1 , se i = j ;
0, se i ̸ = j
Allora la matrice I si può scrivere I = [ 𝐀ij ]. UGUAGLIANZA FRA MATRICI In due matrici dello stesso ordine gli elementi di ugual posto si dicono corrispondenti. Ad esempio nelle matrici A = [
0 ]^ B=^ [
3
e
8 ] le coppie di elementi corrispondenti sono:
3 √^5 ) ,^ (−^2 ,^^1 ) ,^ (^3 ,^ e ) ,^ (√^2 ,^^4 ) ,^ (^5 , −^3 ) ,^ (^7 ,^ 𝐀 ) ,^ (^0 ,^^8 ). Definizione Due matrici A ( m,n ) = [ aij ] e B ( m,n ) = [ bij ] dello stesso ordine si dicono uguali se tutti gli elementi corrispondenti sono tra loro uguali: A = B ⇔ aij = bij , ∀ i = 1 ,... ,m, ∀ j = 1 ,... , n. Esempio. Le matrici A e B seguenti sono uguali: A = [ 1 √ 2 0 ln e^2 − 3 2 0 ]^ B=^ [^ 1 2 √ 2 0 2 − 9 6 3 −√ 9 ] L’uguaglianza fra matrici soddisfa le seguenti proprietà:
- A = A proprietà riflessiva
- Se A = B allora B = A proprietà simmetrica
- Se A = B e B = C allora A = C proprietà transitiva. SOMMA FRA MATRICI Definizione Siano A = [ aij ] e B = [ bij ] due matrici di ordine ( m × n ). Si chiama somma di A e B la matrice C di ordine ( m × n ) ottenuta sommando gli elementi corrispondenti di A e B ossia A + B = C, con [ cij ] = [ aij + bij ]. Esempio. Siano
