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Appunti per Cattolici
Università Cattolica del Sacro Cuore
INDICE: Algebra lineare
- L’insieme dei numeri reali………………….…………….…………….…………….…………….…………….………………………………Pag 5
- Spazio vettoriale reale…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………………………………………Pag 6
- Esempi di spazi vettoriali reali…………….…………….…………….…………….…………….…………….………..……………………Pag 7
- Matrice trasposta…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….……………………Pag 9
- Combinazioni lineari…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………………………………………….Pag 10
- Dipendenza ed indipendenza lineare…………….…………….…………….…………….…………….……………………………..….Pag 11
- Matrici: prodotto righe per colonne…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………………….Pag 12
- Matrice inversa…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….……………….…………………….Pag 14
- Determinante…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….………………….…………………….Pag 1 5
- Rango di una matrice…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………………….…………………….Pag 1 7
- Rango e dipendenza lineare…………….…………….…………….…………….…………….…………….………….…………………….Pag 20
- Sistemi lineari…………….…………….…………….…………….…………….…………….…………….……………………………………….Pag 21
INDICE: Funzioni a valori reali
- Funzioni…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….Pag 2 3
- Funzioni a valori reali………………………………………………………………………………………………………………………..……...Pag 2 4
- Insiemi limitati in ℝ…………………………………………………………………………………………………………………………………..Pag 2 4
- Distanza e intorni in ℝ………………………………………………………………………………………………………………………………Pag 2 5
- Topologia in ℝ ………………………………………………………………………………………………………………………………………….Pag 26
- Lo spazio metrico ℝ
2
…………………………………………………………………………………………………………………………………Pag 2 7
- Funzioni elementari……………………………………………………………………………………………………………..……………………Pag 2 8
- Domini di funzioni a valori reali…………………………………………………………………………………………………….……………Pag 2 8
- Curve di livelli di 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ
2
→ ℝ…………………………………………………………………………………………….…………………Pag 31
- Funzioni limitate……………………………………………………………………………………………………………………………..…………Pag 3 3
- Proprietà per funzioni 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ
2
→ ℝ………………………………………………………………………………………………………Pag 3 3
- Funzioni composte……………………………………………………………………………………………………………………….……………Pag 3 4
- Funzioni inverse……………………………………………………………………………………………………………………………..…………Pag 3 5
- Trasformazioni elementari del grafico………………………………………………………………………………………….……………Pag 3 6
- Massimi e minimi di una funzione……………………………………………………………………………………………….…………….Pag 3 7
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INDICE: Limiti e continuità
- Operazioni in 𝑅
∗
………………….…………….…………….…………………………..…………….…………….………………………………Pag 4 1
- Il concetto di limiti…………….…………….…………….…………….…………….…………….………………………………………………Pag 4 1
- Il calcolo dei limiti………………..…………….…………….…………….…………….…………….…………….………..……………………Pag 4 4
- Funzioni discontinue…………….…………….…………….…………….…………….………….………….…………….……………………Pag 50
- Teoremi sulle funzioni continue…………….…………….…………….….…….…………….…………………………………………….Pag 50
INDICE: Calcolo differenziale
- Rapporto incrementale e derivata………………….…………….…………….…………………………..…………….…………….…..Pag 53
- Linearizzazione di una funzione…………….…………….…………….…………….…………….…………….………………..……..…Pag 54
- Derivabilità/continuità e punti di non derivabilità………………..…………….…………….…………….……….………………Pag 54
- La funzione derivata…………….…………….…………….…………….…………….………….………….…………….……………………Pag 56
- Teorema di Lagrange e corollari…………….…………….…………….….…….…………….…………………………………………...Pag 58
- Punti di massimo e minimo locali………………………………………………………………………………………………………….….Pag 60
- Studio della natura di un punto critico e di frontiera………………………………………………………………………….…...Pag 61
- Punti di massimo e minimo globali…………………………………………………………………………………….…………………….Pag 62
- Funzioni concave e convesse…………………………………………………………………………………………………….…………….Pag 63
- Punti di flesso………………………………………………………………………………………………………………………….……………...Pag 64
- Formula di Taylor con resto secondo Peano……………………………………………………………………………………………Pag 64
- Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi locali e punti di flesso…………………………………….Pag 65
INDICE: Calcolo integrale
- Il problema del calcolo delle aree e definizione geometrica…………………………………………………………………..Pag 67
- Proprietà dell’integrale definito……………………………………………………………………………………………………………..Pag 68
- Calcolo di un integrale definito………………………………………………………………………………………………………………Pag 69
- Primitive e primitive immediate…………………………………………………………………………………………………………….Pag 70
- Metodi di integrazione…………………………………………………………………………………………………………………………..Pag 71
- Integrale definito e primitive…………………………………………………………………………………………………………………Pag 73
- Teorema del valor medio………………………………………………………………………………………………………………………Pag 74
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Università Cattolica del Sacro Cuore
Algebra lineare (Prima parte – Modulo A)
(1) L’insieme dei numeri reali (1)
(-) Tipologie di insiemi di numeri reali (-)
L’insieme dei numeri reali (ℝ) è l’insieme di tutti quei numeri positivi o negativi {… − 3 , 0 , 3 … }.
L’insieme dei numeri naturali
è l’insieme di tutti quei numeri positivi { 0 , 1 , 2 … }.
L’insieme dei numeri relativi
è l’insieme di tutti quei numeri a cui mettiamo il segno {… − 1 , 0 , + 1 … }.
L’insieme dei numeri razionali (ℚ) è l’insieme di tutti quei numeri dati da rapporti fra numeri interi {… ,
𝑚
𝑛
L’insieme dei numeri irrazionali è l’insieme di tutti quei numeri con un significato geometrico o costante {… √
(-) La retta reale (-)
La retta reale è un modo di rappresentare i numeri in modo geometrico. Possiamo usare i segni (+, −), ma li usiamo per
convenzione:
(-) Modulo di x (-)
Ad ogni numero reale 𝑥, detto:
il modulo di 𝑥, si associa il punto della retta orientata che dista
dall’origine, a destra di questa se 𝑥 > 0 e a sinistra di
essa se 𝑥 < 0. Se prendo un qualsiasi numero reale, il modulo di x cambia il segno di tutti i valori negativi.
(-) Operazioni in ℝ (-)
In ℝ posso definire due operazioni: la somma e il prodotto , che soddisfano le seguenti proprietà:
- Associativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 ⟷ 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
- Commutativa: 𝑎 + 𝑏 ⟷ 𝑏 + 𝑎
- Elemento neutro: 𝑎 + 0 = 𝑎 ⟷ 0 + 𝑎 = 𝑎
- Inverso: ∀𝑎 ∈ ℝ esiste −𝑎 tale che 𝑎 +
- Associativa: (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 ⟷ 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)
- Commutativa: 𝑎 ∙ 𝑏 ⟷ 𝑏 ∙ 𝑎
- Elemento neutro: 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 ⟷ 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
- Inverso: ∀𝑎 ≠ 0 esiste 𝑎
− 1
tale che 𝑎 ∙ 𝑎
− 1
- Distributiva del ∙ rispetto alla +: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 ⟷ (𝑎 ∙ 𝑐) + (𝑏 ∙ 𝑐)
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(3) Esempi di spazi vettoriali reali (3)
(-) Esempi di spazi vettoriali reali: ℝ
𝒏
In generale considero lo spazio vettoriale 𝑅
𝑛
= {𝑥 = [
1
𝑛
] : 𝑥
𝑖
Con i vettori possono definire delle operazioni tra vettori in 𝑅
2
. Le due operazioni che ci interessano sono:
- La somma vettori x + y, ottengo = [
1
1
2
2
]
- Prodotto per uno scalare per scalare si intende un numero reale, perché si parla di spazi vettoriali reali
𝑥 = [
1
2
] ∈ 𝑅
2
; 𝛼 ∈ 𝑅 𝛼𝑥 = [
1
2
] ∈ 𝑅
Esempio somma vettori
𝑥 = [
] 𝑦 = [
]
geometricamente:
𝑥 + 𝑦 = [
]
analiticamente:
𝑥 + 𝑦 = [
] = [
]
Esempio prodotto vettori
- 𝑥 = [
] 𝑐𝑜𝑛 𝛼 = 2
𝛼𝑥 = [
]
- 𝑥 = [
] 𝑐𝑜𝑛 𝛼′ = −
1
2
′
𝑥 = [
]
(-) Esempi di spazi vettoriali reali: matrici 𝐌(𝐦; 𝐧) (con m righe ed n colonne) (-)
𝐴 = [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑖𝑗
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
]
𝑖𝑗
= l’elemento di A di posizione (𝑖; 𝑗) che sta sulla riga 𝑖 e sulla colonna 𝑗.
Condizioni:
Esempio di matrice :
𝐴 = [
] → 𝑀( 3 ; 4 )
mrighe
ncolonne
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(-) Vettore come matrice (-)
𝑛
𝑥 = [
1
2
𝑚
] ∈ 𝑀(𝑛; 1 ) → vettore colonna
𝑇
[𝑥
1
2
𝑛
] ∈ 𝑀( 1 ; 𝑛) → vettore riga
Un vettore può essere considerato come una matrice. Normalmente un vettore colonna, ma con il simbolo T viene
considerato un vettore riga. Se ho una matrice di m righe ed n colonne, A la posso vedere come:
- Colonna dei suoi vettori riga
[
1
𝑇
2
𝑇
𝑛
𝑇
]
𝑖
𝑇
[
1
2
𝑛
]
- Riga dei suoi vettori colonna
[𝑎
1
2
𝑛
] 𝑑𝑜𝑣𝑒 (𝑎
𝑗
𝑇
= [
1
2
𝑛
]
(-) Operazioni tra matrici (prendiamo in considerazione vettori uguali) (-)
Sono praticamente le stesse che nei vettori:
𝑖𝑗
𝑖𝑗
dove ∀𝑖 = 1 , … , 𝑚 e ∀𝑗 = 1 , … , 𝑛
- Somma di matrici (rimane una matrice dello stesso tipo)
𝐴 + 𝐵 = [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
] + [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
] → [
11
11
12
12
1 𝑛
1 𝑛
21
21
22
22
2 𝑛
2 𝑛
𝑚 1
𝑚 1
𝑚 2
𝑚 2
𝑚𝑛
𝑚𝑛
]
- prodotto per uno scalare (𝛼) prendi tutti gli elementi della matrice e moltiplicali per 𝛼
𝛼𝐴 = [
11
12
1 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
]
(-) Matrici quadrate speciale (-)
- Le matrici diagonali sono quelle definite dal fatto che 𝑎
𝑖𝑗
= 0 ∀𝑖 ≠ 0. Quelli fuori dalla diagonale devono
essere di valore 0. Sulla diagonale principale i numeri possono prendere valori reali.
[
]
- La matrice identità è definita dal fatto che 𝑎
𝑖𝑖
𝑖𝑗
[
]
- Le matrici triangolari sono quelle definite da… elementi sotto la diagonale principale sono di valore 0. Può
essere di tipo superiore (non nulla sopra) e di tipo inferiore (non nulla sotto).
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒 [
] 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒 [
]
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Università Cattolica del Sacro Cuore
(5) Combinazioni lineari (5)
(-) Proprietà degli spazi vettoriali che si basano sulle operazioni fondamentali dei vettori – combinazioni lineari (-)
Si prende uno spazio vettoriale reale qualunque (ℝ
𝑛
Sia 𝑥 1
2
𝑚
∈ 𝑉 e 𝑎
1
2
𝑚
𝑛
, allora il vettore 𝑥 = 𝑎
1
1
2
2
𝑚
𝑚
, si chiama combinazione
lineare di 𝑥
1
𝑚
con coefficienti 𝑎
1
2
𝑚
In modo abbreviato:
𝑖
𝑖
𝑚
𝑖= 1
Esempio:
1
= [
] 𝑒
2
= [
] ………. 𝑒
𝑛
= [
]
𝑥 = [
1
2
𝑛
] = 𝑥
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Questo significa scrivere in combinazione lineare. Qualunque vettore 𝑥 𝑑𝑖 ℝ
𝑛
può essere scritto come combinazione
lineare di 𝑒 1
𝑛
Esempio in ℝ
3
[
] = 2 𝑒
1
2
3
→ 2 [
] + √ 3 [
] −
[
] → [
] + [
] − [
]
(-) Le combinazioni lineare si possono usare anche in altri ambiti (-)
Esempio in ℝ
2
vogliamo scrivere 𝑥 = [
] come combinazione lineare di 𝑥
1
= [
] e 𝑥
2
= [
], cioè voglio trovare i coefficienti da dare
ad 𝑥 1
e 𝑥
2
per avere 𝑥 = 𝑎
1
1
2
2
[
] → 𝑎
1
[
] + 𝑎
2
[
] → [
1
1
] + [
2
2
] → [
1
2
1
2
] 𝑑𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑒𝑔𝑢𝑜 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 →
1
2
1
2
1
2
Concludo che: 𝑥 =
9
2
1
7
2
2
Esempio in ℝ
3
Voglio scrivere 𝑒 1
= [
] come combinazione di 𝑒
2
ed 𝑒
3
. Trovo 𝛼 e 𝛽 tali che 𝑒
1
2
3
[
] = 𝛼 [
] + 𝛽 [
] → [
] + [
] → [
]
Non esistono 𝛼 e 𝛽 tali che 𝑒 1
si possa scrivere come combinazione lineare di 𝑒
2
ed 𝑒
3
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Università Cattolica del Sacro Cuore
(6) Dipendenza ed indipendenza lineare (6)
(-) Dipendenza ed indipendenza lineare (-)
Se prendo 𝑥 1
𝑛
vettori di ℝ
𝑛
sono:
linearmente dipendenti se esistono 𝑎 1
2
𝑚
∈ ℝ non tutti nulli tale che:
1
1
2
2
𝑚
𝑚
Equivalentemente 𝑥 1
𝑛
sono linearmente indipendenti se posso scrivere uno dei vettori come combinazione
lineare degli altri. Infatti, se vale la definizione sopra vale, esistono 𝑎 1
1
2
2
𝑚
𝑚
= 0 , dove almeno uno tra
gli 𝑎 𝑖
è non nullo.
1
𝑚
sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli
altri.
Esempio:
1
2
3
1
[
] + 𝑎
2
[
] + 𝑎
3
[
] = 0 → [
1
2
3
] = [
] ⟺ 𝑎
1
2
3
“Indipendente se non posso scrivere una combinazione lineare degli altri vettori, invece dipendente se posso scrivere
una combinazione lineare degli altri vettori”
(-) Proprietà dei vettori linearmente indipendenti/dipendenti (-)
- Se tra 𝑚 vettori 𝑥
1
2
𝑚
∈ 𝑉 vi è il vettore nullo 0, allora questi vettori sono linearmente dipendenti.
- Se 𝑚 vettori 𝑥
1
2
𝑚
∈ 𝑉 sono linearmente dipendenti, allora almeno uno di essi si può scrivere come
combinazione lineare degli altri.
- Se 𝑚 vettori 𝑥
1
2
𝑚
∈ 𝑉 sono linearmente indipendenti, allora scegliendone 𝑙 (𝑐𝑜𝑛 𝑙 ≤ 𝑚) si hanno
ancora 𝑙 vettori linearmente indipendenti.
- Se tra 𝑚 vettori 𝑥
1
2
𝑚
∈ 𝑉 ve ne sono 𝑙 (𝑐𝑜𝑛 𝑙 ≤ 𝑚) linearmente dipendenti, allora anche gli 𝑚 vettori
sono linearmente dipendenti.
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Università Cattolica del Sacro Cuore
(-) Proprietà del prodotto di matrici (-)
- 𝐴𝐵(𝐶) = 𝐴(𝐵𝐶) i prodotti sono ben definiti, cioè le matrici 𝐴, 𝐵, 𝐶 sono con le dimensioni giuste
- (𝐴𝐵)^𝑇 = 𝐵^𝑇 𝐴^𝑇, infatti, 𝐴 è una matrice 𝑀(𝑚, 𝑝) e 𝐵 è una matrice 𝑀(𝑝, 𝑛), allora 𝐴
𝑇
𝑇
. Io posso fare 𝐵
𝑇
𝑇
∈ 𝑀(𝑛, 𝑚), che è uguale alla trasposta di 𝐴𝐵, che è
𝑇
(-) Proprietà della matrice identità (-)
𝑚
= [
] ∈ 𝑀(𝑚)
𝑚
𝑛
Se 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛) ed è una matrice quadrata 𝐴𝐼 𝑛
𝑛
Se 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛) posso definire le potenze 𝐴
𝑘
(-) Osservazioni importanti: Non vale la proprietà commutativa (-)
Se esiste il prodotto 𝐴𝐵 non è detto sia possibile effettuare il prodotto 𝐵𝐴 ed anche quando entrambi esistono in
generale hanno ordine diverso:
2
2
2
2
2
(-) Osservazioni importanti: Non vale la legge di annullamento del prodotto (-)
Questa proprietà non vale tra matrici.
Esempio:
𝐴 = [
] ≠ 0 𝐵 = [
] ≠ 0
𝐴𝐵 = [
] = 0
Posso ottenere che 𝐴𝐵 ∈ 𝑀(𝑛), 𝐴𝐵 = 0 𝑛
𝑛
𝑛
non vale la legge dell’annullamento fra numeri
𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ 𝛼𝛽 = 𝛼𝛾 𝑒 𝛼 ≠ 0 , questo implica che 𝛽 = 𝛾
Esempio:
𝐴 = [
] 𝐵 = [
] 𝐶 = [
]
𝐴𝐵 = [
] 𝐴𝐶 = [
] , 𝑚𝑎 𝐵 ≠ 𝐶
(-) Osservazioni importanti: Non vale la legge di cancellazione del prodotto (-)
Non vale la legge di cancellazione del prodotto. Vuol dire cioè:
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ≠ 𝐵 = 𝐶 anche se 𝐴 = 0
𝑛
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(8) Matrice inversa (8)
(-) Matrice inversa (-)
Sia 𝐴 ∈ 𝑀
. Una matrice 𝐵 ∈ 𝑀
viene detta inversa di 𝐴 se:
𝑛
𝐵 si indica allora con 𝐴
− 1
e si chiama inversa di 𝐴.
Teorema unicità:
Se 𝐴 è matrice quadrata ed è invertibile, allora 𝐴
− 1
è unica. Se 𝐴𝐴
− 1
𝑛
− 1
𝑛
(-) Proprietà dell’inversa (-)
Siano 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀(𝑛), entrambe invertibili , valgono le seguenti proprietà:
− 1
− 1
𝑇
− 1
− 1
𝑇
− 1
1
𝛼
− 1
− 1
− 1
− 1
- Vale la legge di annullamento del prodotto, cioè 𝐴𝐶 = 0
𝑛
, 𝐴 è 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 → 𝐶 = 0
𝑛
, infatti, 𝐴𝐶 = 𝐴
− 1
- Vale la legge di cancellazione del prodotto, cioè 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐴 è invertibile → infatti 𝐵 = 𝐶.
Problema: data 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛)
- Quando 𝐴 è invertibile? (𝛼 è invertibile <=> 𝛼 ≠ 0 )
- Come calcolo 𝐴
− 1
, quando esiste? (𝛼 => 𝛼
− 1
1
2
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(-) Esempi per la determinante (-)
Esempio 1 (matrice 2x2): Abbiamo una matrice 𝐴 ∈ 𝑀( 2 ). Adesso fisso la prima riga di questa matrice per calcolare il
determinante. Se io fisso la prima riga devo calcolarmi i complementi algebrici della prima riga, allora calcolo i minori:
1 , 1
= det[𝑎
2 , 2
] = 𝑎
2 , 2
1 , 2
= det[𝑎
2 , 1
] = 𝑎
2 , 1
Calcolo i complementi algebrici:
1 , 1
1 + 1
2 , 2
2 , 2
1 , 2
1 + 2
2 , 1
2 , 1
Calcolo il determinante di 𝐴:
1 , 1
1 , 1
1 , 2
1 , 2
1 , 1
2 , 2
1 , 2
2 , 1
Esempio 2 (matrice 3x3):
𝐴 = [
]
Fisso la terza riga:
3 , 1
3 , 1
3 , 2
3 , 2
3 , 3
3 , 3
Calcolo i Minori:
3 , 1
= det [
] = 0
3 , 2
= det [
] = 0
3 , 3
= det [
] = 5
Calcolo i complementi algebrici:
3 , 1
3 , 2
3 , 3
3 + 3
Determinante:
3 , 1
3 , 1
3 , 2
3 , 2
3 , 3
3 , 3
(-) Proprietà del determinante (-)
- det(𝛼𝐴) = 𝛼
𝑛
- det
𝑇
- det
- det(𝐴
𝐾
𝐾
- Se 𝐴 è diagonale o triangolare 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎
1 , 1
2 , 2
𝑛,𝑛
- In generale il det
- Se 𝐴 è invertibile il 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0.
− 1
𝑇
(-) Osservazioni importanti da ricordarsi (-)
- Se gli elementi di una linea sono tutti nulli, il determinante è nullo
- Se si scambiano due linee parallele il determinante cambia di segno
- Se due linee parallele sono uguali, il determinante è nullo
- Se due linee sono proporzionali, il determinante è nullo
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(10) Rango di una matrice (10)
(-) Rango di una matrice (-)
Se io ho una matrice quadrata, questa ammette l’inversa, solo se il determinante della matrice è diversa da 0.
Dobbiamo introdurre un’altra nozione, in particolare se prendiamo una matrice rettangolare 𝐴 ∈ 𝑀(𝑚, 𝑛), possiamo
introdurre quello che sia chiama Rango di A e lo indiciamo con 𝐴 = 𝑟(𝐴).
Definizione:
la matrice di 𝐴 ha rango 𝐾 se:
- esiste almeno un suo minore
1
di ordine 𝐾 non nullo;
- tutti i minori di ordine 𝐾 + 1 sono nulli.
1
il minore di ordine 𝐾 di 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 di una sottomatrice quadrata di A ottenuta considerando 𝐾 righe e 𝐾
colonne di 𝐴. 𝐾 ≤ min(𝑚, 𝑛)
Osservazioni:
- Se ho una matrice 𝐴 ∈ 𝑀(𝑚, 𝑛), certamente il suo rango sarà 𝑟(𝐴) ≤ min(𝑚, 𝑛)
- Il rango di una matrice A è zero, solamente se A è una matrice nulla.
(-) Proprietà del rango di una matrice (-)
- Il rango di una matrice è sempre uguale al rango della sua trasposta 𝑟
𝑇
- Se scambio due righe (o due colonne) il rango non cambia.
- Se io ho una certa matrice A e moltiplico una sua riga (o una sua colonna) per un numero 𝛼 ≠ 0 , ottenendo
una nuova matrice B, allora il rango della mia matrice A è uguale a quello della matrice B:
- Il rango non cambia se si eliminano dalla matrice A righe (o colonne) nulle o proporzionali ad un’altra riga (o
colonna).
(-) Come calcolare il rango (esempi) (-)
Esempio 1:
𝐴 = [
]
Osservazione immediata: 1 ≤ 𝑟(𝐴) ≤ min( 2 , 3 ) = 2
Vado a vedere i minori di ordine 2:
] = 6
] = 0
] = − 12
Poteva bastare calcolare il primo determinante, perché allora un minore di ordine 2 non nullo esiste, allora il rango può
essere solo 𝑟(𝐴) ≥ 2.
Non ci sono minori di ordine 3, perché le dimensioni di questa matrice non mi permettono di andare oltre.
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(-) Algoritmo di Kronecker (per il calcolo del r(A)) (-)
𝑟(𝐴) = 𝐾 se e solo se c’è una sottomatrice B quadrata di ordine K con 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0 e tutte le sottomatrici ottenute orlando
questa sottomatrice B hanno 𝑑𝑒𝑡 = 0.
Considero una matrice con almeno un elemento non nullo:
- Cerco una sottomatrice di ordine k=2 tale che il suo determinante sia diverso da 0. Se non la trovo, allora il
r(A)=1 e la procedura finisce.
- Cerco una sottomatrice di ordine k=2 tale che il suo determinante sia diverso da 0. Se la trovo, costruisco una
sottomatrice quadrata di ordine k+1 orlando la sottomatrice di ordine k con una riga e una colonna non ancora
utilizzate. Se ciò non è possibile il r(A)=K.
- calcolo il determinante della sottomatrice di ordine k+1 trovata in 2.
- se questo 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0 allora torno al punto 2, cercando una sottomatrice si ordine k+2 ottenuta orlando la
sottomatrice di cui ho calcolato il determinante al punto 3.
- Se il determinante calcolato in 3 è uguale a 0 torno in 2, cercando un’altra sottomatrice di ordine k+1 diversa
dalla precedente. Se ciò non è possibile (cioè se avevo gia considerato tutte le sottomatrici di ordine k+1 che
contenevano quella di ordine k con 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0 , e tutte queste avevano 𝑑𝑒𝑡 = 0 ) allora il 𝑟(𝐴) = 𝐾.
Esempio
Calcolare il r(A), dove A è la matrice:
𝐴 = [
] 𝑒 𝑠𝑜 𝑐ℎ𝑒 1 ≤ 𝑟(𝐴) ≤ 3
Prendo il determinante per esempio di questa sottomatrice:
det [
] ≠ 0 Orlo la matrice in tutti i modi possibili
det [
] =
det [
] =
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(11) Rango e dipendenza lineare (11)
(-) Rango di matrice e lineare indipendenza/dipendenza (-)
Teorema : il rango di A è uguale al massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti di A.
Osservazione :
In particolare, se 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛) quadrata e 𝐴[𝑥 1
2
𝑛
] dove 𝑥
1
2
𝑛
𝑛
vale che:
1
2
𝑛
sono linearmente indipendenti. 𝑟
= 𝑛 deve contenere un minore non nullo di ordine 𝑛; ma
essendo 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛) l’unica sottomatrice quadrata di ordine 𝑛 è 𝐴 stessa ⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0.
1
2
𝑛
sono linearmente dipendenti ⟺ 𝑟(𝐴) < 𝑛 ⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0.
(-) Corollari (-)
- 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛). A è invertibile <-> detA diverso da 0 <-> r(A)=n <-> le sue righe (o colonne) sono linearmente
indipendenti
- Se B è una matrice ottenuta da A aggiungendo o sopprimendo una colonna (o una riga), allora r(A)=r(B) <-> La
riga (o la colonna) tolta o aggiunta è combinazione lineare delle altre righe (o colonne). Infatti r(A) è il massimo
numero di vettori colonna (o riga) linearmente indipendenti. Se tolgo o aggiungo un vettore colonna (o riga)
che è una combinazione lineare dei vettori colonna (o riga) di A
- Se tre vettori sono linearmente dipendenti:
- Due vettori sono linearmente indipendenti e l’altro è una loro combinazione.
- 1 è linearmente indipendente e gli altri sono suoi multipli.
(12) Sistemi lineari (12)
(-) Sistema lineare (-)
Un sistema lineare è un sistema in cui ho delle equazioni lineari nelle variabili (es. 𝑥
1
2
𝑛
1 , 1
1
1 , 2
2
1 ,𝑛
𝑛
1
2 , 1
1
2 , 2
2
2 ,𝑛
𝑛
2
𝑚, 1
1
𝑚, 2
2
𝑚,𝑛
𝑛
1
Questo è un sistema lineare di 𝑚 equazioni in 𝑛 incognite.
Scrivo il sistema in forma di matrice:
𝐴 = [
1 , 1
1 , 2
1 ,𝑛
2 , 1
2 , 2
2 ,𝑛
𝑚, 1
𝑚, 2
𝑚,𝑛
] ∈ 𝑀(𝑚, 𝑛)
Questa è la matrice dei coefficienti, ora introduco due vettori:
Il vettore dei termini noti :
𝑏 = [
1
2
𝑚
] ∈ 𝑅
𝑚
Il vettore delle incognite :
𝑥 = [
1
2
𝑚
] ∈ 𝑅
𝑛
Ora scrivo nella forma compatta 𝐴𝑥 = 𝑏
Un sistema lineare può essere:
- Determinato unica soluzione
- Indeterminato infinite soluzioni
- Impossibile impossibile
