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Appunti per Cattolici
Università Cattolica del Sacro Cuore
INDICE: Limiti e continuità
- Operazioni in 𝑅
∗
………………….…………….…………….…………………………..…………….…………….………………………………Pag 3
- Il concetto di limiti…………….…………….…………….…………….…………….…………….………………………………………………Pag 3
- Il calcolo dei limiti………………..…………….…………….…………….…………….…………….…………….………..……………………Pag 6
- Funzioni discontinue…………….…………….…………….…………….…………….………….………….…………….……………………Pag 12
- Teoremi sulle funzioni continue…………….…………….…………….….…….…………….…………………………………………….Pag 12
INDICE: Calcolo differenziale
- Rapporto incrementale e derivata………………….…………….…………….…………………………..…………….…………….…..Pag 14
- Linearizzazione di una funzione…………….…………….…………….…………….…………….…………….………………..……..…Pag 15
- Derivabilità/continuità e punti di non derivabilità………………..…………….…………….…………….……….………………Pag 15
- La funzione derivata…………….…………….…………….…………….…………….………….………….…………….……………………Pag 17
- Teorema di Lagrange e corollari…………….…………….…………….….…….…………….…………………………………………...Pag 19
- Punti di massimo e minimo locali………………………………………………………………………………………………………….….Pag 21
- Studio della natura di un punto critico e di frontiera………………………………………………………………………….…...Pag 22
- Punti di massimo e minimo globali…………………………………………………………………………………….…………………….Pag 23
- Funzioni concave e convesse…………………………………………………………………………………………………….…………….Pag 24
- Punti di flesso………………………………………………………………………………………………………………………….……………...Pag 25
- Formula di Taylor con resto secondo Peano……………………………………………………………………………………………Pag 25
- Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi locali e punti di flesso…………………………………….Pag 26
INDICE: Calcolo integrale
- Il problema del calcolo delle aree e definizione geometrica…………………………………………………………………..Pag 28
- Proprietà dell’integrale definito……………………………………………………………………………………………………………..Pag 29
- Calcolo di un integrale definito………………………………………………………………………………………………………………Pag 30
- Primitive e primitive immediate…………………………………………………………………………………………………………….Pag 31
- Metodi di integrazione…………………………………………………………………………………………………………………………..Pag 32
- Integrale definito e primitive…………………………………………………………………………………………………………………Pag 34
- Teorema del valor medio………………………………………………………………………………………………………………………Pag 35
Appunti per Cattolici
Università Cattolica del Sacro Cuore
INDICE: Calcolo integrale
- Grafico a curve di livello per funzioni di due variabili………...…………………………………………………………………..Pag 36
- Funzioni continue…………………………………………………………………………………………………………………………………..Pag 36
- Derivate parziali prime/seconde, vettore gradiente e matrice hessiana…………………………..……………………Pag 37
- Segno di forma quadratica, funzione convesse/concave e funzioni omogene……………………………………….Pag 39
- Massimi e minimi in insiemi aperti e punti stazionari………………………………………………………………..…………..Pag 40
- Studio della natura di un punto stazionario………………………………………………………………………………...…………Pag 40
- Ottimizzazione vincolata con vincoli uguaglianza…………………………………………………………………………………..Pag 41
Appunti per Cattolici
Università Cattolica del Sacro Cuore
(-) Funzioni convergenti, divergenti e indeterminate (-)
Sia 𝑓: 𝐴 → 𝑅, 𝑥 0
′
Se lim
𝑥→𝑥
0
Si dice 𝑓 converge a 𝐿 per 𝑥 → 𝑥 0
- Se 𝑥
0
∈ 𝐴 (quindi posso calcolare 𝑓(𝑥):
a. Il limite 𝐿 = 𝑓
0
→ è continua in 𝑥
0
b. Il limite 𝐿 ≠ 𝑓
0
→ è discontinua in 𝑥
0
- Se 𝑥
0
= ±∞ allora 𝑓 ammette asintoti orizzontali di equazione 𝑦 = 𝐿 per 𝑥 → ±∞
Esempio 1:
lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑦 = 0 è dunque asintoto orizzontale per 𝑥 → −∞ e non lo è per 𝑥 → +∞ ( lim
𝑥→+∞
𝑥
Esempio 2:
lim
𝑥→ 2
2
La funzione è definita in 2 quindi 𝑓 è continua in 𝑥 0
Esempio 3:
lim
𝑥→ 3
→ lim
𝑥→ 3
La funzione è discontinua in 𝑥 0
Se invece lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = ±∞, significa che la funzione diverge per 𝑥 → ±∞. Se 𝑥
0
è un punto reale, 𝑓 ha un asintoto
verticale di equazione 𝑥 = 𝑥 0
Esempio 1 :
lim
𝑥→ 3
Esempio 2 :
lim
𝑥→−∞
𝑥
La funzione si avvicina a 0 da valori positivi e quindi posso dire che la funzione si avvicina a 0
lim
𝑥→𝑥 0
0
Quando ∀𝐼
[
esiste un intorno 𝐼
0
tal che 𝑓
0
tranne, al più 𝑥 ≠ 𝑥
0
Esempio 3 :
lim
𝑥→ 0
2
−
Mi avvicino a zero da parti più piccole di quel valore, perciò 0
−
Osservazioni:
1
0
−
1
0
Esempio 4 :
lim
𝑥→ 0
= 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑚𝑎 𝑠𝑒 lim
𝑥→ 0
= +∞ 𝑒 lim
𝑥→ 0
−
(-) Limiti destro e sinistro (-)
Sia 𝑓: 𝐴 → 𝑅, 𝑥 0
Si dice che lim
𝑥→𝑥
0
= 𝐿 se ∀ 𝐼(𝐿) esiste un intorno destro 𝐼
0
tale che 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(𝐿)
Si dice che lim
𝑥→𝑥
0
−
𝑓(𝑥) = 𝐿 se ∀ 𝐼(𝐿) esiste un intorno sinistro 𝐼
−
0
) tale che 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼(𝐿)
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Università Cattolica del Sacro Cuore
Esempio:
lim
𝑥→ 0
→ lim
𝑥→ 0
lim
𝑥→ 0
−
𝑓(𝑥) → lim
𝑥→ 0
−
−
Osservazione:
lim
𝑥→𝑥 0
lim
𝑥→𝑥
0
lim
𝑥→𝑥
0
−
(-) Teorema di permanenza del segno (-)
Sia 𝑓: 𝐴 → 𝑅 𝑥 0
′
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝐿 > 0 allora esiste un intorno di 𝐼(𝑥
0
) tale che 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼(𝑥
0
0
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝐿 < 0 allora esiste un intorno di 𝐼(𝑥
0
) tale che 𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼(𝑥
0
0
Esempio:
lim
𝑥→ 0
→ lim
𝑥→ 0
Come 𝐼
prendo (− 1 , + 1 ) allora: 𝑓
Osservazione:
se lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = 0 non posso dire nulla sul segno di 𝑓 vicino a 𝑥
0
. Infatti, considero due esempi:
2
→ lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = 0. In questo caso esiste 𝐼( 0 ) dove 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼( 0 ).
(-) Teorema del confronto (-)
Siano 𝑓: 𝐴 → 𝑅, 𝑔: 𝐴 → 𝑅, ℎ: 𝐴 → 𝑅, 𝑥 0
∈ 𝐴′. Se esiste un intorno in 𝑥
0
tale che:
0
0
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
Allora:
lim
𝑥→𝑥
0
Osservazione:
se 𝑓 è limitata in un intorno 𝐼(𝑥 0
) (cioè ∃𝑀 > 0 |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈ 𝐼(𝑥
0
)) e lim
𝑥→𝑥 0
𝑔(𝑥) = 0 , allora:
lim
𝑥→ 0
Esempio:
lim
𝑥→+∞
= lim
𝑥→+∞
Osservo che:
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(-) Simboli di Landau (-)
Esempio 1:
lim
𝑥→+∞
2
Come svolgo se ho forme indeterminate allora?
2
Quindi per 𝑥 → +∞ in 𝑥
2
2
, in altre parole, 𝑥 è trascurabile rispetto a 𝑥
2
quando 𝑥 → +∞.
Osservo che:
lim
𝑥→+∞
2
= lim
𝑥→+∞
2
Esempio 2:
lim
𝑥→+∞
→ lim
𝑥→+∞
Ma posso ragionare anche in un altro modo:
in 𝑥 + 1 , 1 è trascurabile rispetto ad 𝑥 se 𝑥 → +∞, quindi lim
𝑥→+∞
𝑥+ 1
2 𝑥
→ lim
𝑥→+∞
𝑥
2 𝑥
1
2
I simboli di Landau sono:
- 𝑓 è asintotica a 𝑔 per 𝑥 → 𝑥
0
0
) quando lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1 (𝑓 e 𝑔 hanno lo stesso comportamento
quando 𝑥 → 𝑥
0
- 𝑓 è o-piccolo di 𝑔 per 𝑥 → 𝑥
0
0
) quando lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 0 (𝑓 è trascurabile rispetto a 𝑔,
quando 𝑥 → 𝑥
0
Osservazioni:
𝑚
𝑛
) per 𝑥 → +∞ quando 𝑚 < 𝑛, infatti lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑚
𝑥
𝑛
→ lim
𝑥→+∞
𝑚−𝑛
𝑚
𝑛
per 𝑥 → 0 quando 𝑚 > 𝑛, infatti lim
𝑥→ 0
𝑥
𝑚
𝑥
𝑛
→ lim
𝑥→ 0
𝑚−𝑛
(-) Osservazione sui simboli di Landau (-)
(1) Se lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = ±∞ e 𝑔 è limitata in un intorno di 𝑥
0
allora 𝑔 = 𝑜(𝑓).
Esempio:
lim
𝑥→+∞
𝑥 = +∞ il 𝑠𝑖𝑛𝑥 è limitata su tutto 𝑅 (in particolare in (𝑀, +∞))
lim
𝑥→𝑥 0
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
(2) 𝑓 = 𝑜( 1 ) per 𝑥 → 𝑥 0
⟺ lim
𝑥→𝑥 0
(3) Se 𝑓 = 𝑜(𝑔) per 𝑥 → 𝑥 0
⟹ 𝑓 = 𝑜(𝐿𝑔) per 𝑥 → 𝑥
0
con 𝐿 ≠ 0
Esempio:
3
3
= 𝑜(𝑥) per 𝑥 → 𝑥
0
3
7
3
𝑥) per 𝑥 → 𝑥
0
(infatti lim
𝑥→ 0
𝑥
3
7
3
𝑥
= lim
𝑥→ 0
3
7
2
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(4) 𝑓~𝐿𝑔 per 𝑥 → 𝑥 0
⟺ 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑔(𝑥) + 𝑜(𝑔(𝑥)) in un intorno di 𝑥
0
Esempio:
lim
𝑥→+∞
2 𝑥
3
− 3 𝑥
2
𝑥
3
So che 2 𝑥
3
2
3
3
2
3
3
lim
𝑥→+∞
3
2
3
→ lim
𝑥→+∞
3
2
(5) Se 𝑓 = 𝑜(𝑔) per 𝑥 → 𝑥 0
allora:
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
Esempio:
lim
𝑥→+∞
𝑥
2
− 3 𝑥
7 𝑥− √
𝑥
Osservo che 3 𝑥 = 𝑜
2
e √
per 𝑥 → +∞
2
2
(6) Se 𝑓~𝑔 per 𝑥 → 𝑥 0
e lim
𝑥→𝑥
0
𝑔(𝑥) esiste, allora:
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥
0
(-) Limiti notevoli per 𝒙 → +∞ (-)
- lim
𝑥→+∞
𝑥
𝛼
𝑎
𝑥
= 0 𝑐𝑜𝑛 (𝑎 > 1 , 𝛼 > 0 ) a +∞ “cresce di più” 𝑎
𝑥
rispetto a 𝑥
𝛼
- lim
𝑥→+∞
( log 𝑎
𝑥
)
𝑏
𝑥
𝛼
(-) Gerarchia degli infiniti per 𝒙 → +∞ (-)
𝑥
o 3
𝑥
o 𝑒
𝑥
o 2 𝑥
𝛼
o 𝑥
3
o 𝑥
2
o √
log
𝑎
𝑏
Andando verso l’alto, le funzioni crescono più velocemente, perciò vanno a +∞ più velocemente.
Esempio:
lim
𝑥→+∞
𝑥
2
𝑥
→ lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥
Osservo che: − 5 𝑥
2
𝑥
) e 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑜( 3 𝑒
𝑥
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(-) Teorema: sostituzione nel limite (-)
Sia lim
𝑥→𝑥 0
∗
e sia 𝑔 definita in un intorno di 𝐿, tranne al più in 𝐿, tale che:
- Se 𝐿 ∈ 𝑅, 𝑔 è continua in 𝐿 (lim
𝑥→𝐿
𝑡→𝐿
Allora:
lim
𝑥→𝑥
0
= lim
𝑡→𝐿
Chiamo 𝑓
= 𝑡 e osservo che lim
𝑥→𝑥 0
= 𝐿, cioè se 𝑥 → 𝑥
0
Osservazione:
Rileggo i limiti notevoli per 𝑥 → 0.
Sia 𝑓(𝑥) tale che lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = 0 allora:
𝑥→𝑥 0
sin(𝑓
( 𝑥
) )
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥 0
log 𝑎
( 1 +𝑓(𝑥))
𝑓(𝑥)
= log
𝑎
𝑥→𝑥 0
𝑎
𝑓
( 𝑥
)
− 1
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥 0
( 1 +𝑓
( 𝑥
) )
𝛼
− 1
𝑓
( 𝑥
)
Esempio 1:
lim
𝑥→ 0
sin( √
3
→ lim
𝑥→ 0
3
→ lim
𝑥→ 0
1
2
1
3
→ lim
𝑥→ 0
1
6 = 0
Osservo che lim
𝑥→ 0
Esempio 2:
lim
𝑥→ 0
𝑠𝑖𝑛𝑥
log
4
2
→ lim
𝑥→ 0
(log
4
2
→ lim
𝑥→ 0
(log
4
2
→ lim
𝑥→ 0
(log
4
Osservo che lim
𝑥→ 0
𝑠𝑖𝑛𝑥
− 1 ~𝑠𝑖𝑛𝑥) e lim
𝑥→ 0
2
= 0 (log
4
2
Esempio 3 (con sostituzione):
lim
𝑥→ 0
Chiamo 𝑡 =
1
𝑥
, perciò se 𝑥 → 0
allora 𝑡 → +∞
lim
𝑡→+∞
∙ ln (
) → lim
𝑥→+∞
∙ ln(𝑡
− 1
) → lim
𝑥→+∞
(-) Classe di limiti speciali (-)
lim
𝑥→𝑥
0
[𝑓(𝑥)]
𝑔(𝑥)
Osservo che
[
)]
𝑔(𝑥)
ln[𝑓(𝑥)]
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)∙ln(𝑓(𝑥))
Se so che il lim
𝑥→𝑥 0
𝑔(𝑥) ∙ ln(𝑓(𝑥)) = 𝐿 ∈ 𝑅
∗
allora con la sostituzione 𝑡 = 𝑔(𝑥) ∙ ln(𝑓(𝑥)) ho:
lim
𝑥→𝑥 0
[
)]
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥 0
𝑔(𝑥)∙ln(𝑓(𝑥))
= lim
𝑡→𝐿
𝑡
𝐿
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Esempio 1:
lim
𝑥→𝑜
1
𝑥 → lim
𝑥→𝑥 0
1
𝑥
∙𝑙𝑛𝑥
−∞
Osservo che: 𝑥
1
𝑥 = 𝑒
ln(𝑥
1
𝑥 )
1
𝑥
𝑙𝑛𝑥
Osservo che: lim
𝑥→ 0
𝑙𝑛𝑥
𝑥
∞
0
Esempio 2:
lim
𝑥→+∞
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥𝑙𝑛𝑥
+∞
Osservo che: 𝑥
𝑥
ln
( 𝑥
𝑥
)
(-) Asintoti obliqui (-)
Sappiamo già che se lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝛼 voleva dire che 𝑦 = 𝛼 asintoto orizzontale.
Sia lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = ±∞ posso chiedermi se esiste una retta (obliqua) di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 tale che il grafico di 𝑓 si
avvicini indefinitivamente a 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 quando 𝑥 → +∞.
In altri termini questo vuol dire che 𝑓
~𝑚𝑥 + 𝑞 quando 𝑥 → +∞, cioè che:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞 + 𝑜( 1 ) se 𝑥 → +∞
Quando esiste 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 tale che 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞 + 𝑜( 1 )?
Si dimostra che la retta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 con la proprietà desiderata esiste se esistono finiti i limiti:
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑥→+∞
[
]
Quindi ho anche trovato l’equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 dell’ asintoto obliquo per 𝑥 → +∞.
“Tutto questo procedimento vale anche se metto −∞”
Esempio:
2
Il dominio è (−∞,
1
2
1
2
lim
𝑥→+∞
2
Può esistere un asintoto obliquo quindi:
𝑚 = lim
𝑥→+∞
2
→ lim
𝑥→+∞
2
2
→ lim
𝑥→+∞
2
2
𝑞 = lim
𝑥→+∞
[
2
𝑥] → lim
𝑥→+∞
2
2
→ lim
𝑥→+∞
L’asintoto obliquo di questa funzione per 𝑥 → +∞:
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(-) Teorema degli zeri (-)
Sia 𝑓 continua nell’intervallo chiuso e limitato [𝑎, 𝑏]. Se 𝑓 assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo,
ossia se 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0 , allora esiste almeno un punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) in cui 𝑓(𝑐) = 0. Se 𝑓 è crescente (decrescente) il
punto 𝑐 è unico.
Sia 𝐼 ⊆ 𝑅 un intervallo. Sappiamo che una funzione 𝑓: 𝐼 → 𝑅 iniettiva risulta invertibile sul suo codominio 𝑓
Condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’iniettività è la monotonia di 𝑓 in 𝐼 (𝑓 crescente o decrescente in 𝐼). Per
le funzioni continue in intervalli vale il seguente risultato:
Teorema di invertibilità per funzioni continue : Data una funzione continua, la funzione è invertibile sul suo codominio
se e solo se è monotona. La funzione inversa è anch’essa continua e monotona dello stesso tipo.
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Calcolo differenziale (Seconda parte – Modulo B)
(1) Rapporto incrementale e derivata (1)
(-) Rapporto incrementale (-)
0
0
𝑓: 𝐼 → 𝑅 considero il rapporto:
0
0
0
0
0
0
0
0
Quest’ultima è la variazione dei valori di 𝑓 quando 𝑥 passa da 𝑥 0
a 𝑥
0
Rapporto incrementale di 𝑓 relativo a 𝑥 0
e all’incremento ℎ.
0
0
0
ℎ
0
0
∆𝑓(𝑥 0
,ℎ)
∆𝑥
( 𝑥 0
,ℎ
)
è il coefficiente angolare della corda che unisce 𝑃
0
a 𝑃
ℎ
Vado a considerare:
lim
ℎ→ 0
0
0
Considerazioni su questo limite:
- Se questo limite esiste finito, si chiama derivata di 𝑓 in 𝑥
0
ed usiamo questa notazione: 𝑓
′
0
Osservazione: 𝑓 derivabile in 𝑥 0
(in 𝑥
0
esiste 𝑓
′
0
) allora 𝑓
′
0
è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico
di 𝑓 in 𝑃 0
0
0
Esempio 1:
2
0
′
( 2 ) = lim
𝑥→ 0
→ lim
𝑥→ 0
2
2
→ lim
𝑥→ 0
2
→ lim
𝑥→ 0
′
Esempio 2:
0
= lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
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Esempio 2:
𝑓(𝑥) = |𝑥| e 𝑥 0
lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
Se il lim
ℎ→ 0
𝑓(𝑥
0
+ℎ)−𝑓(𝑥
0
)
ℎ
′
0
) derivata destra di 𝑓 in 𝑥
0
Se il lim
ℎ→ 0
−
𝑓
( 𝑥 0
+ℎ
) −𝑓
( 𝑥 0
)
ℎ
−
′
0
) derivata sinistra di 𝑓 in 𝑥
0
Se esistono entrambi finiti si dice che 𝑥 0
è un punto angoloso.
Esempio 3:
2
3
e 𝑥
0
lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
2
3
→ lim
ℎ→ 0
3
lim
ℎ→ 0
3
lim
ℎ→ 0
−
3
Se il lim
ℎ→ 0
𝑓(𝑥
0
+ℎ)−𝑓(𝑥
0
)
ℎ
= +∞ e lim
ℎ→ 0
−
𝑓(𝑥
0
+ℎ)−𝑓(𝑥
0
)
ℎ
= −∞, allora 𝑥
0
è un punto di cuspide.
Esempio 4:
lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
→ lim
ℎ→ 0
sin (
Se almeno uno dei due limiti: lim
ℎ→ 0
𝑓
( 𝑥 0
+ℎ
) −𝑓
( 𝑥 0
)
ℎ
o lim
ℎ→ 0
−
𝑓
( 𝑥 0
+ℎ
) −𝑓
( 𝑥 0
)
ℎ
non esistono, 𝑓 non è derivabile.
Osservazione: sia 𝑓: [𝑎; 𝑏] → 𝑅. In 𝑥 = 𝑎 posso parlare solo di derivata destra in 𝑎 (𝑓
′
(𝑎)) ed in 𝑥 = 𝑏 posso parlare solo
di derivata sinistra in 𝑏 (𝑓 −
′
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(5) La funzione derivata (5)
(-) Derivata (-)
Una funzione 𝑓 è derivabile in un intervallo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) se risulta derivabile in tutti i punti di tale intervallo. In questo caso
risulta definita una funzione che associa ad ogni punto di 𝐼 il valore della derivata di 𝑓 in quel punto:
Tale funzione viene detta funzione derivata.
(-) Derivate delle funzioni elementari (-)
′
𝛼
𝛼− 1
𝑥
𝑥
∙ ln 𝑎
𝑥
𝑥
log
𝑎
∙ log
𝑎
ln 𝑥
(-) Operazioni aritmetiche e derivazione (-)
2. 𝐷[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑓(𝑥) ± 𝐷𝑔(𝑥)
3. 𝐷[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝐷𝑔(𝑥)
4. 𝐷 [
𝑓(𝑥)
𝑔
( 𝑥
)
] =
𝐷𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝐷𝑔(𝑥)
𝑔
( 𝑥
)
2
Esempio 1:
𝟑
′
1
3
)
′
−
2
3 → 𝑓
′
2
3
Esempio 2:
𝟑
𝟑
𝒙
′
∙ log
3
2
𝑥
3
𝑥
′
log
3
𝑥
2
3
Esempio 3:
𝒙
′
𝑥
𝑥
′
𝑥
Esempio 4:
3
2
′
∙ [
1
2 ∙ 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥
3
2 ∙
2
] → 𝑓
′
ln
2
Esempio 5 (goniometrica):
′
cos
2
′
cos
2
𝑥 + sin
2
cos
2
′
cos
2
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(-) Derivate di ordine superiore (-)
Sia 𝑓 una funzione derivabile in un intervallo aperto 𝐼. Se la funzione derivata 𝑓′ risulta a sua volta derivabile in 𝐼, si può
definire la funzione derivata seconda :
′
′′
Posso dunque fare la derivata prima (𝑓
′
(𝑥)), la derivata seconda (𝑓
′′
(𝑥)) e avanti così.
Esempio:
𝑥
3
2
′
𝑥
2
′′
𝑥
′′′
𝑥
′′′′
𝑥
( 6 ) Teorema di Lagrange e Corollari ( 6 )
(-) Teorema di Lagrange (-)
Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅
Se:
- 𝑓 è continua in [𝑎, 𝑏]
- 𝑓 è derivabile in (𝑎, 𝑏)
Allora esiste almeno un punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tale che:
′
Significato geometrico del teorema di Lagrange :
𝑓
( 𝑏
) −𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
𝐴𝐵
=coefficiente angolare della corda che
unisce 𝐴 e 𝐵.
′
(𝑐) = coefficiente angolare della retta tangente al
grafico di 𝑓 in (𝑐, 𝑓(𝑐)).
Il teorema di Lagrange, infatti dice che esiste almeno un
punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) dove la tangente al grafico di 𝑓 è parallela
ad 𝐴𝐵.
Esempio:
2
𝑖𝑛 [ 0 , 1 ]
𝑓 è continua in [ 0 , 1 ] e derivabile in ( 0 , 1 ), cerco il punto 𝑐 ∈ ( 0 , 1 ) la cui esistenza è garantita dal teorema di Lagrange,
cioè cerco 𝑐 tale che:
′
Ma 𝑓
′
= 2 𝑥, quindi:
2
2
(-) Corollario 1: Test di monotonia (-)
𝐼 intervallo aperto; 𝑓: 𝐼 → 𝑅, derivabile in 𝐼:
- Se 𝑓
′
≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑓 è non decrescente in 𝐼;
- Se 𝑓
′
≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑓 è non crescente in 𝐼;
- Se 𝑓
′
(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑓 è crescente in 𝐼;
- Se 𝑓
′
(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑓 è decrescente in 𝐼;
Osservazione: Il test di monotonia vale solo per intervalli. Infatti, si consideri 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
in 𝐴 = −∞, 0 ) ∪ ( 0 , +∞).
′
1
𝑥
2
< 0 ma 𝑓 non è decrescente in 𝐴. Se mi restringo a 𝐼 =
𝑓 è decrescente e vale il test di monotonia.
Appunti per Cattolici
Università Cattolica del Sacro Cuore
(-) Corollario 2: Caratterizzazione funzioni costanti (-)
𝐼 intervallo aperto; 𝑓: 𝐼 → 𝑅 derivabile in 𝐼.
𝑓 è costante in 𝐼 ⟺ 𝑓
′
Osservazione: il Corollario 2 vale solo per intervalli, infatti:
𝑓 non è costante in (− 1 , 0 ) ∪ ( 1 , 2 ), ma 𝑓
′
(-) Corollario 3: Teorema del limite della derivata (-)
Sia 𝑥 0
punto interno ad 𝐼 intervallo. Sia 𝑓: 𝐼 → 𝑅:
- Continua in 𝐼
- Derivabile in 𝐼 − {𝑥
0
Se lim
𝑥→𝑥 0
′
(𝑥) esiste finito, allora 𝑓 è derivabile in 𝑥
0
′
0
) = lim
𝑥→𝑥 0
Osservazione: sotto le ipotesi del corollario 3, se 𝑓 è continua in 𝐼 e derivabile in 𝐼 − {𝑥 0
} e lim
𝑥→𝑥
0
𝑓′(𝑥) non esiste non
posso garantire che 𝑓 non sia derivabile; infatti:
Esempio:
2
∙ sin
𝑓 è continua in 𝐼.
′
= 2 𝑥 ∙ sin
2
∙ cos (
2
lim
𝑥→ 0
′
(𝑥) = lim
𝑥→ 0
( 2 𝑥 ∙ sin (
) + cos (
Ma 𝑓 è derivabile in 𝑥 = 0 ; infatti, lim
ℎ→ 0
𝑓( 0 +ℎ)−𝑓( 0 )
ℎ
→ lim
ℎ→ 0
ℎ
2
∙sin(
1
ℎ
)− 0
ℎ
→ lim
ℎ→ 0
ℎ
2
∙sin(
1
ℎ
)
ℎ
→ lim
ℎ→ 0
ℎ ∙ sin (
1
ℎ
′
