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MATEMATICA GENERALE ( STUDIO FUNZIONI DIFFICILI), Esercizi di Matematica Generale

Università degli Studi di Roma Tor Vergata (UNIROMA2)Matematica Generale

MATEMATICA GENERALE ( STUDIO FUNZIONI DIFFICILI)

Tipologia: Esercizi

2025/2026

In vendita dal 15/06/2026

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Guida Completa ed Enciclopedica
allo Studio di Funzione
Analisi dei Prodotti Misti: Polinomi, Esponenziali, Logaritmi e Moduli
1 Introduzione: Anatomia dei Prodotti Misti
Nello studio di una funzione, i casi più frequenti e insidiosi negli esami scritti riguardano i prodotti
misti. Si tratta di funzioni in cui una parte “normale” (un polinomio P(x), come x,x2−4, ecc.)
si trova moltiplicata per una funzione trascendente (un esponenziale, un logaritmo) o per un valore
assoluto (modulo).
Sebbene l’espressione possa spaventare, l’interazione tra queste funzioni segue regole matematiche
ed equilibri estremamente rigidi. Questa guida analizza passo dopo passo come cambiano il Dominio,
il Segno, i Limiti e le Derivate quando queste funzioni si uniscono, illustrando il tutto con grafici
cartesiani vettoriali precisi.
2 1. Polinomio moltiplicato per Esponenziale: P(x)·eg(x)
Questa combinazione si presenta nella forma tipica f(x)=(x2−4)exoppure f(x) = x2e−x.
Le Regole d’Oro di Gestione
•Il Dominio non cambia: L’esponenziale puro esiste su tutto lo spettro reale R. Di con-
seguenza, il dominio di P(x)·eg(x)dipenderà esclusivamente dalle restrizioni del polinomio o
dall’esponente. Se sono polinomi semplici, D=R.
•Il Segno “regalato”: L’esponenziale è una funzione strettamente positiva (eg(x)>0sempre,
per qualsiasi valore di x). Questo significa che l’esponenziale non influisce mai sul segno
della funzione. Per studiare f(x)>0, ti basterà studiare solo il segno del polinomio P(x)>0.
•I Limiti e la Dominanza: Quando calcoli i limiti per x→ ±∞, ti scontrerai spesso con
forme indeterminate del tipo [0 ·∞]. Ricorda che, per la gerarchia degli infiniti, l’esponenziale
domina sempre qualsiasi polinomio. Se l’esponenziale tende a 0 (es. e−∞ →0), trascinerà
l’intero prodotto a 0, creando un asintoto orizzontale.
•Il trucco del Raccoglimento nella Derivata: Quando applichi la regola del prodotto
D[f·g] = f′g+fg′, l’esponenziale comparirà in entrambi i pezzi della somma. Devi ob-
bligatoriamente raccoglierlo a fattor comune. In questo modo ti rimarrà l’esponenziale
(sempre positivo) moltiplicato per un nuovo polinomio semplificato, di cui potrai studiare il
segno senza alcuna difficoltà.
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Guida Completa ed Enciclopedica

allo Studio di Funzione

Analisi dei Prodotti Misti: Polinomi, Esponenziali, Logaritmi e Moduli

1 Introduzione: Anatomia dei Prodotti Misti

Nello studio di una funzione, i casi più frequenti e insidiosi negli esami scritti riguardano i prodotti misti. Si tratta di funzioni in cui una parte “normale” (un polinomio P ( x ), come x , x^2 − 4 , ecc.) si trova moltiplicata per una funzione trascendente (un esponenziale, un logaritmo) o per un valore assoluto (modulo). Sebbene l’espressione possa spaventare, l’interazione tra queste funzioni segue regole matematiche ed equilibri estremamente rigidi. Questa guida analizza passo dopo passo come cambiano il Dominio, il Segno, i Limiti e le Derivate quando queste funzioni si uniscono, illustrando il tutto con grafici cartesiani vettoriali precisi.

2 1. Polinomio moltiplicato per Esponenziale: P ( x ) · eg ( x )

Questa combinazione si presenta nella forma tipica f ( x ) = ( x^2 − 4) ex^ oppure f ( x ) = x^2 e − x.

Le Regole d’Oro di Gestione

  • Il Dominio non cambia: L’esponenziale puro esiste su tutto lo spettro reale R. Di con- seguenza, il dominio di P ( x ) · eg ( x )^ dipenderà esclusivamente dalle restrizioni del polinomio o dall’esponente. Se sono polinomi semplici, D = R.
  • Il Segno “regalato”: L’esponenziale è una funzione strettamente positiva ( eg ( x )^ > 0 sempre, per qualsiasi valore di x ). Questo significa che l’esponenziale non influisce mai sul segno della funzione. Per studiare f ( x ) > 0 , ti basterà studiare solo il segno del polinomio P ( x ) > 0.
  • I Limiti e la Dominanza: Quando calcoli i limiti per x → ±∞, ti scontrerai spesso con forme indeterminate del tipo [0 · ∞]. Ricorda che, per la gerarchia degli infiniti, l’esponenziale domina sempre qualsiasi polinomio. Se l’esponenziale tende a 0 (es. e −∞^ → 0 ), trascinerà l’intero prodotto a 0, creando un asintoto orizzontale.
  • Il trucco del Raccoglimento nella Derivata: Quando applichi la regola del prodotto D [ f · g ] = f ′ g + f g ′, l’esponenziale comparirà in entrambi i pezzi della somma. Devi ob- bligatoriamente raccoglierlo a fattor comune. In questo modo ti rimarrà l’esponenziale (sempre positivo) moltiplicato per un nuovo polinomio semplificato, di cui potrai studiare il segno senza alcuna difficoltà.

Esempio Svolto Passo-Passo: f ( x ) = ( x^2 − 4) ex

  1. Dominio: Nessuna frazione, nessuna radice, nessun logaritmo =⇒ D = R.
  2. Intersezioni Assi:
    • Asse y ( x = 0): f (0) = (0 − 4) e^0 = − 4 · 1 = −4 =⇒ ( 0 , − 4 ).
    • Asse x ( f ( x ) = 0): ( x^2 − 4) ex^ = 0 =⇒ x^2 − 4 = 0 =⇒ x = ± 2 (poiché ex^ ̸= 0). Punti: (− 2 , 0 ) e ( 2 , 0 ).
  3. Segno: ( x^2 − 4) ex^ > 0 =⇒ Essendo ex^ > 0 sempre, risolvo solo x^2 − 4 > 0 =⇒ x < − 2 ∪ x > 2. La curva è positiva all’esterno di − 2 e 2 , negativa all’interno.
  4. Limiti e Asintoti:
    • A destra: lim x →+∞( x^2 − 4) ex^ = (+∞) · (+∞) = +∞. (Nessun asintoto orizzontale).
    • A sinistra: lim x →−∞( x^2 − 4) ex^ = [+∞ · 0]. Per la gerarchia domina ex^ → 0. Quindi il limite fa 0 +^ =⇒ y = 0 è Asintoto Orizzontale per x → −∞.
  5. Derivata Prima (Studio dei Massimi e Minimi):

f ′( x ) = D [ x^2 − 4] · ex^ + ( x^2 − 4) · D [ ex ] = 2 xex^ + ( x^2 − 4) ex

Raccoldo l’esponenziale ex : f ′( x ) = ex ( x^2 + 2 x − 4). Studio il segno ponendo f ′( x ) > 0 =⇒ x^2 + 2 x − 4 > 0 (visto che ex^ > 0 ). Risolvendo l’equazione associata con il delta si ottengono le radici: x = − 1 ±

5 (ovvero x 1 ≈ − 3_._ 24 e x 2 ≈ 1_._ 24 ).

  • La funzione sale prima di − 3_._ 24 , scende tra − 3_._ 24 e 1_._ 24 , e risale dopo 1_._ 24.
  • Abbiamo un Massimo Relativo in x ≈ − 3_._ 24 e un Minimo Relativo in x ≈ 1_._ 24.

Max − 2 2

x

f ( x )

Min m

1 x

f ( x )

4 3. Polinomio moltiplicato per Modulo: P ( x ) · | g ( x )|

Questo è il caso in assoluto più temuto perché spezza la linearità della funzione. Si presenta in forme come f ( x ) = x | x − 2 | oppure f ( x ) = ( x^2 − 1)| x |.

Le Regole d’Oro di Gestione

  • Lo Sdoppiamento è d’obbligo: Non puoi applicare limiti o derivate direttamente sul blocco del modulo. Devi prima studiare il segno dell’argomento dentro le sbarrette ( g ( x ) ≥ 0 ) e dividere la funzione in una funzione a due rami (definita a tratti).
  • La nascita dei Punti Angolosi e delle Cuspidi: Quando una funzione normale viene molti- plicata per un modulo, nel punto in cui l’argomento del modulo si annulla, i due rami si collegano perfettamente (la funzione è continua), ma le loro pendenze (le derivate) cambiano improvvisa- mente. Questo genera quasi sempre un punto angoloso (una punta visiva nel grafico) o una cuspide.
  • Studio separato della Derivata: Dovrai derivare le due funzioni dei rami in modo indipen- dente, prestando massima attenzione agli intervalli di validità di ciascun ramo.

Esempio Svolto Passo-Passo: f ( x ) = x | x − 2 |

  1. Sdoppio la funzione: Studio l’argomento del modulo: x − 2 ≥ 0 =⇒ x ≥ 2.

f ( x ) =

{ x ( x − 2) = x^2 − 2 x se x ≥ 2 x [−( x − 2)] = 2 x − x^2 se x < 2

La funzione è composta da due parabole specchiate che si uniscono nel punto x = 2.

  1. Dominio e Intersezioni: Esiste su tutto R poiché formata da polinomi. Intersezioni: per x = 0 =⇒ f (0) = 0. Per f ( x ) = 0 =⇒ x = 0 e x = 2. Punti: ( 0 , 0 ) e ( 2 , 0 ).
  2. Limiti: lim x →+∞( x^2 − 2 x ) = +∞ e lim x →−∞(2 x − x^2 ) = −∞.
  1. Derivata Prima e Analisi della Punta: Derivo i due rami separatamente:

f ′( x ) =

{ 2 x − 2 se x > 2 2 − 2 x se x < 2

Vogliamo capire cosa succede esattamente nel punto di incollaggio x = 2:

  • Pendenza da sinistra (ramo x < 2 ): lim x → 2 − f ′( x ) = 2 − 2(2) = − 2
  • Pendenza da destra (ramo x > 2 ): lim x → 2 + f ′( x ) = 2(2) − 2 = + 2

Le due derivate sono finite ma diverse (− 2 ̸= +2). Il punto x = 2 è un Punto Angoloso. La curva cambia direzione di colpo formando una punta.

  1. Massimi e Minimi nei rami:
    • Nel ramo sinistro ( x < 2 ), la derivata è 2 − 2 x > 0 =⇒ x < 1. La funzione sale fino a 1 e poi scende. C’è un Massimo Relativo in x = 1, ad altezza f (1) = 1 · | 1 − 2 | = 1 =⇒ M ( 1 , 1 ).
    • Nel punto angoloso x = 2, la funzione smette di scendere e comincia a salire (visto che per x > 2 la derivata è 2 x − 2 > 0 =⇒ x > 1 , quindi sempre positiva per x > 2 ). Il punto angoloso costituisce un Minimo Relativo a quota ( 2 , 0 ).

Massimo M (1 , 1)

(^0) Punta (Punto Angoloso)

x

f ( x )