Rapporto incrementale
Definizione: data una funzione y=f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] e due
numeri reali c e c+h (con h≠0) interni all’intervallo, il rapporto incrementale di f nel punto c è:
.
Δx
Δy=h
f(c+h)−f(c)
Significato geometrico: il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante
al grafico della funzione nei punti A e B aventi coordinate (c; f(c)) e (c+h; f(c+h)).
Derivata
Definizione: data una funzione y=f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b], la
derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, che indichiamo con f’(c), è il limite,
se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di f nel punto c:
(c)f′= lim
h→0 h
f(c+h)−f(c)
Significato geometrico: la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico
della funzione nel punto P avente coordinate (c; f(c)).
Condizioni
Una funzione è derivabile in un punto c se:
● è definita in un intorno del punto c;
● esiste il limite (destro e sinistro coincidono);
● il limite è un numero finito.
Derivata sinistra: (c)f′−= lim
h→0−h
f(c+h)−f(c)
Derivata destra: (c)f′+= lim
h→0+h
f(c+h)−f(c)
Una funzione è derivabile in intervallo chiuso [a;b] se è derivabile in tutti i punti interni e
se esistono e sono finite in a la derivata destra e in b la derivata sinistra.
Teorema della derivabilità e della continuità
Se una funzione f(x) è derivabile nel punto , in quel punto la funzione è anche continua.x0
Ipotesi: (x)lim
h→0 h
f(x+h)−f(x)
0 0 =f′0
Tesi: (x) (x)lim
x→x0
f=f0
Dimostrazione:
poniamo e sostituiamo:
x0+h=x(x)lim
h→x−x0
h
f(x)−f(x)
0=f′0
Quando h→0, . Scrivo: , in cui x−x0→ 0 (x)lim
h→0 h
f(x)−f(x)
0·h=f′0(x)f′0→ 0
Quindi per h→0 e , allora .
(x) (x) f−f0→ 0 (x) (x) f→f0
Ricorda
: una funzione derivabile è sempre continua, ma non viceversa.
Retta tangente
Data la funzione y=f(x), l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x0; f(x0)), se
esiste e non è parallela all’asse y, è: y-f(x0)=f ’(x0)(x-x0).
Punti stazionari: x=c della funzione y=f(x) se f ‘(c)=0.
