Lezione su Funzioni: Definizioni, Proprietà e Grafiche, Dispense di Matematica

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Le funzioni

Definizioni e proprietà

Definizione di funzione  Una funzione da A in B è una relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B.  In simboli:  x viene detta variabile indipendente  y viene detta variabile dipendente  Dominio della funzione: A  Codominio della funzione: B detto anche insieme delle immagini f : A ® B

Zero di una funzione e intersezione con gli assi  Un numero reale a si dice zero per la funzione se risulta: f(a) = 0.  Gli zeri di una funzione non sono altro che i punti di intersezione con l’asse x.  I punti di intersezione con l’asse y sono i punti di ascissa 0 e dunque i punti y = f( 0 ).  Per ottenere le intersezioni mettiamo a sistema la funzione prima con x = 0 e poi con y = 0.

Intersezione con gli assi cartesiani

Funzione iniettiva  Una funzione f si dice iniettiva se ogni elemento del codominio B è immagine al più di un solo elemento del dominio A.  Dunque si può dire che una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del codominio corrispondono elementi di distinti del dominio: se 𝑓 𝑥 1 ≠ 𝑓 𝑥 2 allora 𝑥 1 ≠ 𝑥 2.  Graficamente è possibile verificare se una funzione è iniettiva: con un righello posto parallelamente all’asse x si verifica se ci sono più punti di intersezione con la funzione.

Funzione suriettiva  Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.  Almeno si intende che può anche essere immagine di più di un elemento di A.

Funzioni pari e dispari

 Sia y = f(x) una funzione con dominio A, essa si dice pari se

risulta:

𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

per ogni x e – x appartenenti al dominio A.

 Sia y = f(x) una funzione con dominio A, essa si dice dispari se

risulta:

𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

per ogni x e – x appartenenti al dominio A.

 Una funzione può essere pari o dispari o nessuna delle due

opzioni.

Funzioni pari e dispari Funzione pari: grafico simmetrico rispetto all’asse y Funzione dispari: grafico simmetrico rispetto all’origine

Funzioni crescenti e decrescenti FIGURA a: Esempio di funzione crescente FIGURA b: Esempio di funzione decrescente

Funzioni monotone  Se una funzione è sempre crescente o sempre decrescente in tutto il suo dominio allora si dice monotona crescente o monotona decrescente.  Un esempio di funzione monotona è la funzione esponenziale y = 𝑎 𝑥 .