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Allineannone nera
variabili
e
p
vettore
delle
derivate
parziali prime
in n
variabili
gradiente
derivata seconda
con
l'Hessian
Taylor
a
f x
flo
l'ho dx
E
f
xo dato
di
per
dado
con
DX X Xo
approssimazione
locale
di
f
x in I con
una parabola
PARABOLOIDE
parabola
Hey
i
Generalizzano
il termine
quadratico
di
Ta
dx
per
tirar
I
f
o
forame
quarandrrantriche
In II
Q
XIV
AX DX 2C
XIXe
Ax
bxitcxsxztcxs.kz
axsxstbxaxztCXAXatcxs.kz
Età
assxsxstazzxaxztasaXIXztQrsxskalxsixa
i.IE
aijxixj
In
PS
91
1 941
vai
in
I
I
aiffficienti
di una
matrice
A
non
QUADRATA
A
ai
nn
I
rappresentazione matriciale
di
Q
mediante
A
Inn
quadrata
91
91
1
tn
ii
f
aijxixjex.fi
scalare
can
Et e
XIIspostolcema
vettore
riga
In.si
esempio
in
Q B DI
anni
È
μ
a
a Y
tax
matrice
E
E
Qijxs.fi
esempio
al
rt
al
in
9A
XI
XI
XI
XI
2XIXZXZXZXS
XI
XETHXAXAQBLXs.at
XI
Xi
4 1
2
QCCXI.kz
XI
Xi XIX
2 1
XI
XIthska
matrici
diverse che
definiscono la
stessa forma
quadratica quindi
esistono infinite
matrici che
danno la
stessa f
quad
Ambiguità
Teorema
DQ
B
DI
annette
rappresenti matriciale
a
xk TAX mediante
una
matrice
quadrata
A
nn
tale vappres
l'unica
unica
se
A è simmetrica
In II
il
termine
quadratico
è
definito dalla matrice
Hessiona
Hf è
simmetrica
x
formquadratica formaquod
gradiente
habla
deve
allora
c
e
ftp.ggjggfiftitih
È
e
approssimazione
di
f
in
X al
ordine
f x
fCxolt7f1x dxtIdxtHeCxolaxtoIlldxl12lperdx
DofiIx.x
deista
ott trianizzazione hiberna
Max f
y
f D
DI
funzione obiettivo
min
sub
XE
X
ERI
APERTO
Xinsieme
ammissibile
non ci
sono
punti
di
frontiera
peripotesi
D non
può
essere compatto quindi no
Weierstrass
non è
garantito
una
soluzione
unico approccio disponibile per
max min
globali è
basato su
concavità Convessità f
obiettivo
la
sol se 7
è unica
In
particolare
e
f
IRIDI
1
FOC Ferret TECH OER
gen
MAX
Min
Cond
Suff
del II
ordine
derivata Io net
Hessian
Grafico
di Ta di in
petto
staz
per
Max
è
un
paraboloide
verso
il basso
per
il min è
un
paraboloide orienti verso
l'alto
ovvero a di Hex
bolide
grafico
di
qpy.ae
py
a
natura
di
a
Condizioni necessarie non
sufficienti
per
pati
di Max min
relativi
Ifil
e
f
X DII XE
e
differenziabile classe
a
ossia
piano
tangente al
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di f
in x'e Int
x
con
p.to
di massimo
minimo relativo
per
f
allora
afflitto
etto
fili
e
Axa Y
O
p.to
stazionario
non
vale
il contrario
pieno
tangente e f
in
l orizzonte
fig
p.la
esempi
IIx
y
X
Y
fa 94,
definite
da A
E
I
I
89
6,
è
p.to
di Max ass
Foc
ff
yn
a
unico
2 A x
y
x'ty
A
G
g
I
y
3 f
x
y
X
y
A
f
9
a
ff
any
0 unico
cos'è
p.to
di
sella
a 40
renane
perche è
stazionario
Se F Q definita da dx He I dy
ha
grafico
paraboloide
verso
il
basso
XX
augnax
Urge
saper
studiare il
segno
di
Alda
dx
t
Halt
di
D
è
il
verso del paraboloide
segno
di
fo
quarandarantache
in
Italy
xD
fa
9g
y
911
2
assay
Arx
simmet
Quel
21
sono
A
interpretata
come matrice
hessiana
Hf
Segno
di
Alay
ESITAI
XY
D Ambiguo
cambia
sempre
segno
in
20
70
IN
definisce in modo
inequiv
il
segno
di
Q
x
y
0
Xy
è
positivo
sul
I
e II quadrante
Xy
è
negativo
sul I
e II quadrante
I DI
se
asilo
cambiano i
quadranti
Comunque
sia
Xy
cambia
segno
e
se
asa
è
grande
rispetto ad
asisggrzseafpgilgilauatf.mn
cattivo misto
cambia
il
segno
d
valori
assumono X
e
y
Qualè la
soglia
per
912
che
vende
Alay
disegno
variabile
esempio
1 Caso semplice
neutralizziano
Alay
Ass
X
Arry
allora 1
se
asso
e arso
D
AIX
g
so
Way
10,
D
0,0 augnin
assoluto per
Q
a
se
911
Co e
D X
y
CO
KG
g
Ed
0,0 argnax
assoluto
per
9
È
se
911
cazz
hanno
segno
opposto
7 x
y
0,
Q
x
g
so
Icky
6, ayy
co
I
Piselli
Igiene
caso
delicato
Asl
A
Xy
911K
92
Y
UTILI
se
x
y
to
esempio
benchmark
Ast
0
poniamo
1 e
consideriamo
valori
crescenti
per
cattivo 70
a partire
da
0
e vediamo come
si
deforma
il grafico
di Q
Dove nel I e II quadrante
ossa
dove
Xyco
ì
2
2 Y
x
esempio
precedente ma
usando autovalori e autovettori
Atovalori
eau
caratteristica
detta
DI 0
O
DP
Tr A detta O
TU A
THAI KATIA
21
4 detta
sta
A
1
91220
per
costruzione
da 1
se 9120
D
asco
detta
dearco
esattamente come visto prima A
è indefinita
Autovettori
de_stasi
A
MINI
O ETE
AYI E
AD
ASL
V
ASINI
D
V
Yy
mean
A
attr
1
4
DAL 2 V
D
V2 V
D V
I
y
ad
Definizione
libro
p
Criterio analitico no
autovettori
per
studiare il
segno
di
Qix
y assktasay 20124yd
cattivo perché
cambia
segno
obiettivo
neutralizzarlo
d sembra un
prezzo
troncato
di atb altbltzab
D
idea
D sommiamo e
sottraiamo
gg
yr
2
Xy
I
y
_è
y
911 x'trasaxytoffy
any
_LÌ
yr
assalita
xp
Effy
ty'Lasa
FI
assify'Casa
lazo
quindi
i
segni
di
Ass912,
determiniamo la
natura segno
di Q x
y
soglia
anda
Gas
andai ai
O
A
A SegnoDel Detta
anedettatPatrice
1 1
Riassumendo
deticani an
o
a
formaquadratica
dia
è
definita positiva
detta o
dettando
sformaauadratica diAèdefinita negativa
detta
0
Intuizione per Q
P sir Almen
simmetrica studiaresequenzasegnideterminanti pene
sotomatrici
È
segno natura di
matrici
acheni
simmetriche che
definiscono F a
Di n a variabili Q
emir
DefData Alan
si chiama
sottomatrice principale
di A la
sottomatrice
hah
ben
ottenuta
eliminando n
le righe e
le
corrispondenti
colonne
Il suodeterminante si chiama
minore principale
esempio
in 92
G
I
Qualisono lesotomatrici principali
di A minori
Isi
923
1
detta
Al 3 0 3
3 h n 3
2
dell
del I dalla
2 2 2
2 ma
Ken
1
3 1 2
3
detto
dette
dette
h n 2 3 2
1
In totale
7 minori
principali Per a
3 3
Nota dea
TG
9 Nonè unminore
principale
detta
non è
un minore
principale
del
Tasi
Nonè un minore principale
Def
DaraananiLasoronatrice hah
Chenprincipale
ottenutaeliminando leultime mhrighe
le
corrispondenti colonne
si_chiama sotiomatrice principale di nord
ovest
si
indica con
Ah
ilsuo
determinante
si
chiama minoreprincipale dinord ovest
es.acnxn.a
qp.ae
a 8
IasI
922
923
nord
ovest
neh
Ana
A
sudest
teoremaI criterio
diselvesterJacobi pag
213
f a
Definite e indefinite
teorema criterio diselvesterjacobiapag 214
f a
semidefinite
e
indefinite
es
ah
y
5
2
4
a
detta
5 0
detta I detta
15 g
g i
è definitanegativa
3 3
Fermine
acquadratonenadiagonale
Iettatori
TRIATIVTRARLETTA
24115
91 4
540
LAZIO
4ITL
2
per
entrambi i et
Definita negativa
II
y
2
4
A
I
decani
2 o
detta
16 16 0
ambiguità oè
semidefinitao
è
indefinita
tutti
i minori
principali nonsolo
Quelli DiN O
solounoda aggiungere allalista
sa è
semidefinita positiva
es
3 IIII
a è
definita positiva
A
I
detta
2 1 170
es
1 2
1 dettami
1 0 pordinepari
A 2
3
512
detta
3 4
0 Indefinita
1
0
detta
serve
μ o a
6 è
detta
6 0 he'definita negativa
o 2
detta
1270 710 1 Argmax Relativo
HEI
3
affitti
héindefinita
1,112puntodi sella
56 E
Hindefinita
μ
213 113
II
I 6
0_
71213 113 punto di sella
4
E
f x
y
z
lnxtlnlyts.lt
è
x
y
ce X o e
y
il punto
stazionario è
y
7
1 1,
2
Applichiamo
le
cond
soft
l'X
f
1 f
xxe
fa
f
yye
fyp
zfze.tt
l'y
I
Fetta
Ita
7277
l'e
yet f'Izzy
e
l
f
Xy
O
l'It
l'Yz
Etzel
yea
è
y
s
0
O
HIX.y.it
È
ftp.ptt
ettetIz
e'l
yz.si
yet
0 0
41,
o 3
detta
160
dettar 3
0 A
indefin
O 1 0
0,
è in
punto
disella
locale
funzionari
orbri entntri vro.com
a ve
e cornareae
Condizione necessario
Il segmento
congiungente ogni
coppia
di
punti sul
grafico
di
f
deve stare tutto nell'insieme ammissibile I
EHI
X
deve
essere convesso
f
è
strettamente convessa
u
cond nel
sufficienti
1 E
debolmente
concava
derivi
2 volte
O
D
He x è
seni
definitanegativa
Hx
e
A
debolmente convessalderiv
2 volte
o
dite x è
semidefinite
positiva
acciant orie prop
p
Condizioni non
necessarie
per
concavità e convessità
prop
ERI
convesso m
in
generale
men
Funzioni
fi
E
i
fitta
i 1 n
concavo
debolmente
sututto
XEI
as
an
El scalari tic
dito ti
L n
Allora
fax
ai
fili
è
concava
su
tutto
debolmente
i
Se
almeno
una
delle
fi
basta una
è
strettamente
concava e
di
o
allora
eh
I
aiti
x
è
strettamente concava
osservazione
cruciale
Ciascuna
li
deve essere
funzione
veramente
di
tutte le variabili
Xp in
esempio
se
fi
x
y
x
q
x
y
rappresentata
da A
O
seni
definita
negativa
de
a tutti
gli
effetti una
funzione
di 2
variabili
X
ey
però
è
indipendente
costante
day
f
B
DI I
x
strettamente
concava
f
2x
l 2 o
Wael
i
parabola
verso
fly
X
il
basso
fly
Alay
xD
f
g
y
per
le
cond
nel
e suff
a
è
debolmente
concava
la
variabile
y
lauta
causa
la
perdita
della concavità stretta
su the
le
direzioni
fa
y
paralleleall'asse
y
Ifa
Alay
è costante pseudo paraboloide
solo
deb concava
tunnel che
è il
grafico
diunaF
Q
D
seni
definitanegativa
solo
debolmente concava
In
generale
qualsiasi
DI
stretta
concava int
perde
la conc stretta
quando
viene immerso
in
uno spazio
LÌ con
ns
Definizione
Dati a
intervalli
in
insiemi convessi
di
R
Cai
bi
i
si chiama rettangolo
generalizzato
asibixtarba
x x
Lan
bi
Xs Xa
e l ai
E Xabi i
i
1
n
in B A
bar
rettangolo generalizzato
asibs
x
far
ba
a
D Convesso
D
al Is
