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FORME QUADRATICHE CONICHE
FORME QUADRATICHE
DF. :^ una^ forma quadratica e^ un^ polinomio di^ secondo^ grado amogeneo in^ n^ variabili
ESEMP10 :^ X^?^ y2^ +^ 2z2^ + 3xy -^ Xz^ si
3x2 - 2y2 +^ z2^ + ~x + x4 No
LEMMA : Sia (^) 9 (X1,...,Xn) una (^) forma quadratica in (^) nvariabili xs, ..., Xn (^). Scriviamo (^) quindi q(x1,^ ...,m)^ =xii- allora (^) q(x) =^ XAx dovex= () A= (aij) now DIM .: Facciamo il^ caso n^ =^2 (in (^) generate e^ simile) 9 (xs, xe) =^ deete"^ +^ Azate +^ 2deatetz x= ()A= (a)Ax^ = k)(( = Ke xz)/+) = Xe)dex +^ dux)^ +^ Xe(detet)^
= An+ detettantecis
& IEF:^ con^ le^ notazioni^ precedenti (^) ,^ A^ detta^ matrice^ associata^ alla^ forma quadratica (^) q.
Esempio :^ la^ forma quadratica q(x, y, z) =^ x+^ zy2 - -^ z2 +^ - 2xy +^ - 10xz - -^447
1
ha la matrice associata A=
(3- I
Esempio :^ Il^ /12^ una forma quadratica /ER") ll */12 =^ x+^ x+... +^ Xn
La matrice associata l'identita
esempio :^ se X , (^) y,^ Z^ sono le^ coordinate^ spaziali e t^ indica^ il^ tempo x'+^42 +^ z2-th una (^) forma quadraticaimportante nella teoria della (^) relativital CAMBIAMENTO di^ BASE LEMMA :^ siano B, B' due basi di I.^ Indichiamo (^) con xs, (^) ..., Xn (^) , rispettivamente x, (^) ..., In'
le componenti dei vettori di IR
rispetto alla^ base^ B^ , risp.^ B. sia (^) q(x) una (^) forma quadratica nelle variabili (^) xs (^) , (^) ..., Xn con matrice associata (^) A (^).
Allora la matrice associata A alla forma quadratica q(x) e ugrale a A= MTB AMBIB
DIM: X^ = MB, BX (^) -q(x) =^ xAx^ = (MB,Bx
A(MB, BX)
*MB^ A^ MBiBx'^ =^ x'x'
DIAGONALIZZAZIONE F:^ una^ forma (^) quadratica del^ tipo (^) q(x, ..., Xn) =^ CXs"^ +^ Gx"^ +...^ + Cntm2 (senza terminimisti)
detta diagonale
(perche sua^ mat. associata e (^) diagonale)
LEMMA :^ Sia q(x) una forma quadratica in variabili Xs , ..., Xm rispetto la base B di R
e sia^ A^ la^ sua matrice^ associata.
Allora esiste una base B' di IR" tale che g(x) scritta rispetto Xs , ..., In della base B'
ha la (^) forma (^) q(x) = x1(x2) +^ x2(x22 +... +^ Xn(n) dove (^11) , .., In autovalori di (^) A. DIM:^ poiche A^ e^ simmetrica^ e reale, per il^ teorema^ spettrate esistono^ P^ ortogonate e D^ diagonate tali (^) che D = (^) PTAP. Si (^) pro (^) verificare che (^) MB (^) ; B = P (^) /B' base averle come vett. colonne di (^) P Quindi : A= MBiB A MBiB =^ PTAP = (^) D = (12xn)
NotA. data una forma quadratica q , questa si puo sorvere in forma diag. in modi E rispetto varie basi .
ESerpio : 9(x1, x2) =^ Xa" +^ x2^ L^ rispetto base^ canonica
q(x,^ xz)^ = (^) 2x2+ 8x12 - (^) rispetto alla base B = < (1, 1)
, (2,^ -27/
SEGNATURA DI (^) UNA MATRICE (^) SIMMETRICA
DEF :^ Sia A e /"
**
simmetrica e siano N +, n- , No il numero di autovatori di A che sono
rispettivamente (^) positivi, negativi ,^ zero^ /contati con^ le^ loro^ molteplicita (^) algebriche) La (^) Tripla (^) (n+, n-, no) detta segnatura di (^) A.
At 110
- (^10) Esempio :^ Pa(t) =^ (t - 1) (^) (t- 2) (^) (t+^ 3)2 + 3 signatura di^ A e^ (5,^2 ,^ 3)^ con^1 =^1 13 =^ -^3 mcI 2 M
TEOREMA di SYLVESTER
sia A - /R
simmetrica (^) e sia MeR" invertibile (^) , allora A (^) e MTAM hanno stessa (^) segnatura.
corollario :^ sia q(x) una forma quadratica con matrice associata A con la base B e Al rispetto alla base B!
allora A e Al hanno la stessa (^) segnatura DEF:^ data^ una^ forma quadratica (^) q ,^ la^ segnatura di^ q e^ definita come^ la^ segnatura della matrice (^) associata a
q rispetto^ una^
base (^) qualciasi.
DIM : segue dalla^ diagonalizzazione di (^) q 9 =^ xa(xz)2^ +^ xz(x2)2^ +^ dy(x3/^ x^
' (x2)
,^ x2)xg) DEF:^ una^ forma quadratica e^ degenere se^ la^ sua^ matrice^ associata^ non^ e^ invertibile APPLICAZIONE (^) FORME QUADRATICHE (^) Kenno data (^) una
funzione
reale in (^) pil variabili (^) f :^ R" - >^ R derivabile 2 votte (^) /net senso delle des. (^) parziati)
le forme quadratiche compaiono nello studio dei punti di massimo e minimo relativo di f
in (^) particolare dato (^) un (^) punto stazionario di (^) f ad (^) esso e associata (^) una matrice reale simmetrica detta Hessiana H= 18) e la (^) definitezza determina (^) se il (^) punto e (^) massimo, minimo (^) , self ESEMPIO : quar (^) son H a
def. negativa H^ def positiva
SEGNI degli AUTOVALORI di^ una MATRICE^ SIMMETRICA
LEMMA :^ sia^ A^ e
diagonalizzabile con^ autovalori^ X,^ ... ,^ An^ (con^ laro^ moltepliatal
allora : x + (^) ... + (n =^ tr(A)
x1 ... xn =^ det (A)
corollario :^ sia A e R diagonalizzabila e siano da, de i suoi autovalori
det (^) (A) (^) tr(A)
- ren eath :Toppoto Esercizio :^ A^ = /
_ (^) 3) determinace^ segni autorator:
SVOLG.^ det(A)^ =^21 -^ 4 30^ =3/1,, 0
tr(A) =^ -^7 -^ 3 o CRITERIO di (^) SYLVESTER sia A- **
simmetrica per k= 1 ,..., h . sia Ar il determinante della matrice otfenuta cancellando
le (^) ultime n k (^) righe e colonne di (^) A. Allora
i) A def positiva Do per ogni k = 1 , ..., n
ii) A^ def. negativa x(-1)
1k >^ o^ per ogni k^ =^1 , ..., n
Esercitio : Verificare che A^ =
f) def^ posit
a
svoce. De =^ h Dz = =^11 Az =^ (A)^ =^17
Da, Da, Do =>^ A def. positiva FORME (^) CONICHE IF. :^ una^ conica^ e^ l'insieme^ dei^ punti (x, Y) del^ piano che^ soddisfano (^) un'equazione della^ forma Anex" +^ 2nzXY +^ AzzY2 +^ 2dnsX +^ 2923Y + (^) A33 =^0 dove^ am (^) , Anz (^) , Azz non nulli
la matrice simmetrica A = (aij) 3x3 detta matrice completa della conica
mentre la matrice - detta^ matrice dei termini
quadratici.
CONICHE (non degeneri) IN FORMA CANONICA
DEF :^ una^ conica^ della^ forma^1 =^ o^ i^ detta^ Ellisse
NOTA :^ se^ a^ =^ b^ abbiamo^ una circonferenza (x+y 2)
1
segmenti dall'origine^ ai^ punti^ (a,^ 0)^ e^ (0,^ b)^ sono^ detti^ semassi
F2 (^) = =2 (^) -
I
· · (^) i panti Fe^ = (c, 0)^ e^ Fz^ =^ (,^ 0)^ dove^ c^ =^ la"-bi^ sono^ detti^ FUOCHI LEMMA :^ C'ellisse e l'incieme dei (^) punti P faliche : (^) d(P. F2) + (^) d(P, F2) = (^2) max (^) (a (^) , b) nota :^ Le orbite dei pianeti intorno^ al^ sole^ sono^ ellissi^ e^
il sole occupa uno dei due
frochi
DEF.^ una^ conica^ nella^ forma ax^ y=^0 detta^ Parabola Fo----- nota : it^ panto F= (^10) , ) dettovoco (^) ⑨ ! F
la retta r :
y = -1/4a e detta retta direttrice M
LEMMA :^ La^ parabola e l'incieme dei punti P^ tali che d(P, F) = d(P, r)
CLASSIFICAZIONE CONICHE
· due caniche sono congruenti se una si ottiene dall'attra con una rotazione e una traslazione
TeorEMA
ogni
conica e congruente a esattamente una conica in
forma
conica
precisamente ,^ sia^ C^ :^ Anx+^ 2012XY^ +^ AzzY2^ +^ 2913X^ +^29234 +^ A33^ =^0 una^ conica^ e^ siano
A = (a) B^ = Can a( · det (^) (B) = (^0) CONICA non DEGENERE
· det(A) < o IPERBOLE
· det(A) = 0 PARABOLA
· det(A) > 0 ELLISSE
- tr(A) det (^) (B) < (^) o (^) ELLisse REALE
- tr(A) det (^) (B) > (^) o (^) ELLISSE IMMAGINARIA · (^) det(B) = (^0) CONICA DEGENERE
· det(A) o Rette INCIDENTI
· det (A) = O RETTE PARALLELE
ass <^ Ans^ +^ 923"^ REALI^ DISTINTE
- tr/A)ass = Ans + 923 REALI^ COINCIDENTI
- tr/A)asz < (^) des + (^) &23 IMMAGINARIE · (^) det (^) (A) > (^) o (^) SINGOLO PUNTO SISTEMI di^ RIFERIMENTO
DEF :^ una^ coppiar (0, B) dove^ O^ e^ un^ punto di^ IR"^ e^ B^ una^ base^ ortonormale^ di^ R
detta sistema di^ riferimento.
LF:^ Le^ coordinate^ di^ un^ panto^ P^ di^ R^ rispetto al^ sistema^ di^ riferimento R^ sono^ le
componenti Xs, .... In^ det^ vettore^ of^ rispetto^ la^ base^ B^ ,^ ovvero^ OP^ =^ Xet^ +...^ +^ Xin^. scriviamo (^) Te(p) (^) := R=^10 , que, Veh esempio :^ R = /10, (^) ..,0) (^) , (s, ..,n)) il sistema di
riferimento comonico^
di
LEMMA :^ Siano R = (0, B) a R(0; B') due sist. di
rifer.
di IR.^ Gia P un punto diR
allora (^) Xr(p) = MB, B : /XR(P) - Xp(0)) DIM (^) Pr (^) v ' T^ =^ op-o
- & introdotto (^) per avere (^) - -^ Va S
tutto rispetto?^ I
↓ ↑(P)
pa - VI 7 Xr= (P) = MB
, B^ :^ (Xr(p)^ -^ Xp^ (0))
ESERCIzio :^12 , R10, B) con 0 =^10 , 0) e B^ = /, ]. 1 =^10 ; B')^ con 0 = (^12) , 1) e B^ = /Elected), Ententes))
dato P(x, y) rispetto R, trovace le coordinate x ,
y'di
P rispetto R.
SVOLG: Mi,B : = )^ Mi =^ Mi^ = (j) =
(i) (2)
CENTRO di UN'ELLisse O UN'IPERBOle
-^ DEF.^ :^ il^ centro^ di^ un'^ ellisse/iperbole^ l'origine^ del^ sistema^ di^ riferimento^ rispetto la (^) quale (^) l'equazione dell'ellisse/iperbole in
forma
canonica
ngr^ y
· -x - 7 O' (
LEMMA :^ sia^ C^ :^ Anx+^ 2012XY+^ A2zY2^ +^ 201sX +^2014 +^133 =^0 un'ellisse/iperbole,
allora il centro di C si trova risolvendo il^ sistema lineare
& anx+^ a12y +^ di =^0 an2x+^ azzy^ +^ A23 =^0
