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MATEMATICA
ARITMETICA
- INSIEMI: collezione di elementi--RAPPRESENTAZIONE in tre modi:
- Elencazione (elenco di elementi)
- Caratteristica (in comune a tutti elementi)
- Diagrammi Eulero-Venn (rappresentazione grafica)
A
- Per scrivere l’APPARTENENZA si usa Є, e quando un elemento non appartiene a insieme si sbarra
il simbolo
- Un insieme privo di elementi si dice VUOTO, mentre uno che contiene tutti gli elementi si dice
UNIVERSO
- Due insiemi A e B si dicono UGUALI se ogni elemento di A appartiene a ogni elemento di B e
viceversa, allora A=B
- B è sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono ad A, allora A⊂B
- Si chiama INSIEME DELE PARTI di A l’insieme che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di
A, allora P(A)
OPERATORI:
- UNIONE: insieme formato da elementi di A o B, scritto A∪B
- INTERSEZIONE: insieme formato da elementi di A e B, scritto A∩B
- COMPLEMENTARE: insieme di elementi che appartengono ad A e non a B, si indica con CaB
es. A (1,2,3,4,5,6,7,8) B (1,3,8) CaB (2,4,5,6,7)
- DIFFERENZA: elementi che appartengono ad A ma non a B, si indica con A-B
- PARTIZIONE: dati A e n sottoinsiemi di A (A1, A2, A3) si dice che formano una partizione
quando la loro intersezione è vuota e la loro unione è A
- PRODOTTO CARTESIANO: insieme di tutte le coppie ordinate di A e B, cioè coppie on un
elemento di A (il primo) e un elemento di B (il secondo) es. A (1,2,3) B (4,5) AxB (1,4) (1,5) …
SISTEMI DI NUMERAZIONE—in antichità erano principalmente sessagesimali o in base 10, quest’ultimo
più comodo per via della disponibilità di 10 dita per contare
- Con l’introduzione dello zero si è potuti passare ad un sistema posizionale, nel quale è la posizione
che il numero ricopre che ne determina il valore.
INSIEME DEI UMERI NATURALI(N)
- È un insieme infinito formato da tutti i numeri interi positivi, con relazione di ordine tale che
OPERAZIONI+PRORPIETA’
1. ADDIZIONE (+)
▪ ASSOCIATIVA: la somma di +numeri non cambia se gli si sostituisce la loro somma
es (1+2+3=3+3=6)
▪ COMMUTATIVA: se si cambia l’ordine degli addendi il risultato non cambia
▪ ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO: lo zero, se sommato ad un altro numero non ne
cambia il valore
2. SOTTRAZIONE (-)
▪ INVARIANTIVA: se si somma o sottrae un numero agli elementi della sottrazione, il risultato
non cambia
- MOLTIPLICAZIONE (x)
▪ ASSOCIATIVA
▪ COMMUTATIVA
▪ DISTRIBUTIVA RISPETTO ALL’ADDIZIONE: il prodotto di un fattore per un’addizione si
ottiene sommando i prodotti del fattore per gli addendi
Es. (2x (2+3+4) =2x2(4) +2x3(6) +2x4(8) = 18
4. DIVISIONE (:)
▪ INVARIANTIVA
POTENZA di un numero il prodotto sella base ha per sé stessa tante volte quante ne indica l’esponente
PROPRIETA’
- Prodotto di potenze con basi uguali è la stessa base con esponente la somma degli esponenti
- Quoziente di potenze con basi uguali è stessa base co esponente la differenza fra esponenti
- Un numero elevato a zero è sempre 1
- Zero elevato alla zero non ha senso
- Potenza di potenza: stessa base ed esponente il prodotto degli esponenti
- Prodotto di potenza: base diversa e stesso esponente, sarà prodotto di basi con stesso esponente
- Quoziente di potenza: stesso esponente e quoziente di basi
ORDINE DELLE OPERAZIONI
- Elevamento a potenza, moltiplicazione e divisione e infine addiz. E sottr.
- Per modificare l’ordine occorre utilizzare le parentesi: tonde, quadre, graffe
NUMERI PRIMI: hanno come divisore solo loro stessi e l’unità
MASSIMO COMUNE DIVISORE (mcd): è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati
Si trova scomponendo i numeri dati in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni presi una sola
volta con il minimo esponente
Es.(30,40,50-30=1x2x3x5,40=1x2x2x2x5,50=1x2x5x5) MCD (30,40,50) =1x2x5=
MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm): è il minore tra i multipli comuni a numeri dati
Si trova scomponendo i numeri dati in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni
con il massimo esponente
Es.(4,5,6-4=1x2x2,5=1x5,6=1x2x3) mcm (4,5,6) =2x2x3x5=
INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI(Z)
- Si ottiene dotando ogni elemento di N di un seno positivo o negativo, con relazione di odine - 3<-2<-
- L’opposto di un numero di Z è il numero stesso preso con il segno opposto (1,-1)
- VALORE ASSOLUTO: il numero senza il segno
OPERAZIONI+PROPRIETA’
1. ADDIZIONE
- La somma di due interi relativi concordi (stesso segno) è pari ad un intero relativo il cui valore
assoluto è la somma dei valori assoluti e ha come segno il segno di entrambi
- La somma di due interi relativi discordi (segno opposto) è pari ad un intero il cui valore assoluto
è la differenza dei valori assoluti e ha come segno quello dell’intero relativo con il valore assoluto
maggiore
2. SOTTRAZIONE
- Somma del primo numero per l’opposto del secondo (+10-(-3) =+10+3=+13)
3. MOLTIPLICAZIONE
- Il prodotto è un intero relativo il cui valore assoluto è il prodotto dei valori assoluti e ha segno
positivo se i due fattori sono concordi e negativo se discordi
4. DIVISIONE
- Quoziente tra gli elementi
- Le proprietà si conservano e si aggiunge solo quella dell’ESISTENZA DELL’OPPOSTO per
l’operazione di addizione (per ogni numero di Z esiste un altro numero che sommato al primo dà
come risultato zero)
INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI(Q)
- grazie a questo nuovo insieme possiamo introdurre il concetto di FRAZIONE, cioè {
𝑎
𝑏
} → se a e b
appartenenti a Z, allora essa rappresenta il quoziente tra a e b ; a è il numeratore e b il denominatore.
Valgono le proprietà enunciate in N e Z e il denominatore non deve essere nullo perché {
0
0
} è
indeterminata.
- Se più frazioni rappresentano lo stesso quoziente allora sono dette EQUIVALENTI, come
1
2
2
4
3
6
4
8
- Quando si opera su una frazione dividendo i termini per il loro massimo comune divisore si dice che
la frazione è stata ridotta ai minimi termini e questa operazione è chiamata SEMPLIFICAZIONE
OPERAZIONI
1. ADDIZIONE
- somma di due razionali con stesso denominatore è razionale con denom. uguale e numer. la somma
dei numeratori
- in caso di denom. diversi si usano rappresentanti con denom. uguali (equivalenti)
2. SOTTRAZIONE
- Si ottiene sommando il primo per l’opposto del secondo
3. MOLTIPLICAZIONE
OPERAZIONI
- ADDIZIONE: polinomio unico che ha per termini tutti i monomi dei polinomi sommati
- SOTTRAZIONE: sommando il primo per l’opposto del secondo
- MOLTIPLICAZIONE: monomioxpolinomio→ polinomio che si ottiene moltiplicando il monomio per
tutti i termini del polinomio
- DIVISIONE: monomio:polinomio→ dividendo i singoli monomi del polinomio pe il monomio dato
PRODOTTI NOTEVOLI
- QUADRATO DI BINOMIO (a + b)2 = a2 + 2ab + b
- QUADRATO DEL TRINOMIO (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
- SOMMA PER DIFFERENZA (a + b) · (a – b) = a2 – b
- CUBO DEL BINOMIO (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b
FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI
• RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE: AB+AC=A(B+C)
• RACCOGLIMENTO PARZIALE: AB+AC+DB+DC=A(B+C)+D(B+C)=(A+D)(B+C)
• TRINOMIO PARTICOLARE DI GRADO SECONDO: 𝑥
2
EQUAZIONI
Un’uguaglianza tra due scritture contenenti uno o più simboli letterari viene chiamata equazione e potrebbe
essere :
- Sempre vera, in questo caso parliamo di identità( 3 +a=3+a)
- Sempre falsa(b=b+1; non può essere uguale a successivo)
- Vera solo per determinati valori dei simboli presenti(3d=6; vera solo per d=2), in questo caso i simboli da
determinare per rendere vera l’uguaglianza sono chiamati incognite(x, y)
EQUIVALENTI: se ammettono le stesse soluzioni
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
- Addizionando o sottraendo ad entrambi elementi si ottiene equazione equivalente a quella data
- Moltiplicando o dividendo uguale a prima
Ci sono due tipi di equazioni:
1. PRIMO GRADO: X=
- SECONDO GRADO: quando l’esponente massimo dell’incognita è uguale a 2 es. 𝛼𝑥
2
