INSIEME = collezione di ELEMENTI L’insieme risulta definito quando esiste una regola che stabilisce se un’elementi X appartiene o meno all’insieme.

x ∈ A => x appartiene all’insieme A

x ∉ A => x non appartiene all’insieme A

A ⊆ B => A è SOTTOINSIEME di B (è contenuti in B)

A ⊂ B => A è SOTTOINSIEME PROPRIO di B (è contenuto propriamente in B)

SOTTOINSIEME PROPRIO = quando il sottoinsieme A è contenuto nell'insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è contenuto in A. SOTTOINSIEME IMPROPRIO = Dati due insiemi A e B, l'insieme A è un sottoinsieme improprio di B se tutti gli elementi dell'insieme A appartengono anche a B e tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. INSIEMI UGUALI = due insiemi sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

INSIEME VUOTO ( ⊘ ) = è l’insieme privo di elementi.

INSIEME AMBIENTALE o UNIVERSO ( U ) = insieme che contiene la totalità dei possibili elementi. CORRISPONDENZA tra due insiemi A e B:

UNIVOCA = se essa ASSOCIA ad OGNI ELEMENTO di A un SOLO ELEMENTO di B , ma non viceversa.
BIUNIVOCA = se essa ASSOCIA ad OGNI ELEMENTO di A un SOLO ELEMENTO di B , e VICEVERSA.

UNIONE DI DUE INSIEMI : Dati due insiemi A e B (A ∪ B), l'unione di A e B è l'insieme

composto da tutti gli elementi appartenenti all'insieme A o all'insieme B, oppure a entrambi.

INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI : Dati due insiemi A e B (A ∩ B), l'intersezione di A e B

è l'insieme composto da tutti gli elementi comuni appartenenti all'insieme A e all'insieme B.

DIFFERENZA DI INSIEMI : Dati due insiemi A e B (A ∖ B), la differenza A-B è un insieme

composto dagli elementi dell'insieme A che non appartengono anche all'insieme B.

NUMERI NATURALI

I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 …. L’insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera N. Si ha cioè: N =

L’insieme dei naturali privato dello zero è indicato con N 0. Un numero naturale è MULTIPLO di un altro se la divisione del primo per il secondo ha come resto zero. Un numero naturale diverso da zero è DIVISORE di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato ha come resto zero. Un numero naturale maggiore di 1 si dice PRIMO se è divisibile soltanto per 1 e per sé stesso. Un numero naturale si dice COMPOSTO se è divisibile oltre che per 1 e per sé stesso, anche per altri numeri. Due numeri a e b si dicono PRIMI TRA LORO se il loro M.C.D. ( a,b ) = 1 MASSIMO COMUN DIVISORE (M.C.D.) : di due o più numeri naturali si ottiene prendendo (dalla scomposizione dei numeri in fattori primi) i fattori primi comuni, una sola volta, con il minimo esponente. MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) : di due o più numeri naturali si ottiene prendendo (dalla scomposizione dei numeri in fattori primi) i fattori comuni e non comuni, una sola volta, con il massimo esponente. NUMERI INTERI RELATIVI L’insieme dei numeri interi relativi è costituito da tutti i numeri naturali preceduti dal segno + o dal segno −. L’insieme dei numeri interi relativi è indicato con la lettera Z. Si ha cioè Z=

Il VALORE ASSOLUTO di un numero è il numero considerato senza il segno che lo precede. Il valore assoluto di un numero è indicato con il simbolo | n |. NUMERI RAZIONALI L’insieme dei numeri razionali è l’insieme di tutti quei numeri che si scrivono sotto forma di frazione. Indicato con il simbolo Q che sta per “quoziente”. Il quoziente è anche conosciuto per essere il risultato della divisione. Proprietà invariantiva: Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da 0 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente. NUMERI DECIMALI Un numero decimale è la rappresentazione dei numeri razionali che si ottiene effettuando la divisione fra numeratore e denominatore di una frazione. Possono essere limitati o illimitati. PERCENTUALI Possiamo definire la percentuale come una frazione avente per denominatore 100 e, su un dato totale, indica quante unità su 100 soddisfano una certa condizione. Si indica con il simbolo %. POTENZE Si chiama POTENZA il prodotto di 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) fattori tutti uguali fra loro. Il fattore che si ripete è chiamato BASE, il numero delle volte che si ripete è detto ESPONENTE. 𝑎 𝑛^ = b

m.c.m. = ha come parte letterale il prodotto delle lettere comuni e non comuni con il massimo esponente con cui compaiono. POLINOMI La somma algebrica di più polinomi (non tutti simili tra loro) si chiama polinomio. I singoli monomi prendono il nome di TERMINI del polinomio. Il GRADO del polinomio è il massimo tra i gradi dei suoi termini. La SOMMA algebrica di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti quelli dei polinomi addendi. Il PRODOTTO di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio. Il PRODOTTO tra due polinomi è uguale al polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo per tutti i termini del secondo. Il QUOZIENTE è uguale al polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del poinomio per il monomio. Scomposizioni in fattori primi:

RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE: per eseguire il raccoglimento a fattore comune si calcola il M.C.D. dei monomi del polinomio e si pone il polinomio uguale al prodotto dei due fattori di cui il primo M.C.D. stesso e il secondo è il quoziente tra il polinomio M.C.D.
RACCOGLIMMENTO A FATTORE PARZIALE:
SEMPLIFICAZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE