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Le funzioni
Definizione : dati due sottoinsiemi A e B di R, una funzione (f) da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B Insieme di partenza Insieme di arrivo L’unico elemento b dell’insieme B, associato ad a dell’insieme A, si indica con f(a) 1 2 3 4 6 9 8 7 f (1) = 7 L’insieme A è detto dominio della funzione e l’insieme B viene detto codominio della funzione.
Classificazione delle funzioni
FUNZIONI
Algebriche Razionali Irrazionali Intere (^) Fratte Trascendenti (+, -, x, divisione) (log o esponenziali) Variabile x sotto radice Polinomi^ quozienti di polinomi
- ~
- (^) .. -... I * I I I I
Proprietà delle funzioni
Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Una funzione da A ha B è: Iniettiva > ogni elemento di A, è associato ad un unico elemento di B. Suriettiva > ogni elemento di B, è associato ad almeno un elemento di A Biunivoca > se è sia iniettiva sia suriettiva Funzioni crescenti e decrescenti CE f (x) < f (x) f (x) > f (x) Crescente Decrescente Funzione periodica CE f (x) = f (x+KT) CE f (-x) = f (x) Funzione pari Simmetrica rispetto all’asse Y Funzione dispari CE f (-x) = -f (x) Simmetrica rispetto all’asse X ·
EX, X^ E
X,X2 = I 2 I X, x^ x= 2 D Exe (^) D :I exe ,^ X
I (^) r fx (^) t D I
kMF(x) = (^1) Ws < (^0) 7ICo):(f(x)-11 > 2 F+eI(to) *Xo Im
f(x)=^0 FMC 0 7ICto):f(x) > M
Fx = I(to) *to
+Mf()=^1 FEx0 1c 0:(f(x)-11^ >
Fxxc
Imf(x) =^ FM^ >^0 1c >^ 0:f(x) -^ M
Fx >
Teorema di unicità del limite Dimostrazione per assurdo: nego la realtà Se per x che tende a x la funzione f(x) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico
- Supponiamo che la tesi sia falsa e che ce ne siano almeno 2
- Suppongo che
- Qua vado ad applicare la definizione di limite del I caso: Ma è una contraddizione perché Deve essere minore Solo se : ciò contrasta con la supposizione fatta prima L’errore è aver pensato che esistano due limiti (Numero reale) (Punto di accumulazione) Unico Dimostrazione & line f(x)^ = e =>I X- > Xo -f(x) = 1 lim^ F(x)^
= 12 (con 2 + ()
*- > (^) Xo ela esiiâ^ -> (VEc0 (^) 78,0 (Fxc(c- 8,2 + 5) =>f(x)(l- 2,e+ E) bi- 5 -^ f
f(x) <^2 + 6 -^ l+ E
2 - 3 <^ f(x) <^ e,+^ E
-25 cl- l
E <li-^ x^ = be-b -^ >^ E
-2 (^2) 22
Operazioni sui limiti Teorema delle somme: il limite della somma è uguale alla somma tra 2 limiti Lim ( f(x) + g(x) ) = Lim f(x) + Lim g(x) Algebricamente non sempre si può, con i limiti sì Lim ( (2x) + (-2x + 5) ) = Lim (5) = 5 Lim ( (2x) + (-x) ) = Lim (x) = Lim ( (2x) + (-3x) = Lim (-x) = Polinomio = raccolgo grado max Irrazionale = razionalizzo 1a forma di indeterminatezza: la somma tra infinito con segni opposti è una forma indeterminata/di indecisione Teorema del prodotto: Forma indeterminata 2a forma indeterminata: Teorema del quoziente 2a forma di indeterminatezza Deriva da 1 2x(2+ 4) = 21.2+ 21.
(2+ 4)^2 = 2 + 42 X -^ > e *-
x-^ X-> V ⑧ ⑧ +n. too^ =+o^ &.
- n. + 0 = -
- n. - (^0) = + 0 +8. +^ x^ =^ +
- d. - 0 = + 0
- (^). + ob = - 0.0 = 0 n>m -**=^ abn = m L O^ n-^ m &. >^ -> (^) SCOMPONGO 8 = 0.1 =0. 0.3x = 0.6 = 0.0 =0.
Teoremi sulle funzioni continue Lim f(x) = f(x ) Teorema di Weierstrass Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b], allora essa assume, in tale intervallo, il max assoluto e il minimo assoluto Teorema dei valori intermedi: Se f è una funzione continua in un intervallo limitat'o e chiuso [a;b], allora essa assume, almeno 1 volta, tutti i valori compresi tra il Massimo e il minimo Teorema di esistenza degli zeri: Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto C, interno all’intervallo in cui f si annulla, ossia f(c) = 0 & *- x M - -^ -^ -^ - +-
m
I ·
d b . y 8 ⑧ 8
X 1 · ·
Asintoti Asintoti verticali X = cost. (^) Lim f(x) = Asintoti orizzontali y = cost. Lim f(x) = cost Asintoti obliquo Lim f(x) = Potrebbe esserci e per capire se c’è: Lim f(x) X = Reale Sto cercando se possiede una certa pendenza Asintoto Potrebbe esserci m Lim ( f(x) - (reale) x ) = Reale Asintoto q
- Frazione
- Differenza di grado tra X q
1 *->^ COST ⑧ i
! 1 -- -... X-^ >^ o 3
② *-
X-^ >^ d^ >
*- m x I
Punti stazionari Punti stazionari: punti in cui la tangente è orizzontale Modi possibili y y (^) Dà il cambio di concavità Esempi y = 2 y =0 y = 0 y = x - 4 y = 2x^ y = 2 max U Tan ·se sien I (^) - I 0 0 0 t - - I (^) I (^) - D Il 1
y=^2 I Il
7 1 2 I Il (^30) > ⑰ -D I
Teorema di Lagrange Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso [a;b] ed è derivabile in ogni punto interno a esso, esiste almeno un punto c interno ad [a;b] per cui vale la relazione: f(b) - f(a) b - a C c (a;b) f(c) = Ci ricorda il rapporto incrementale Ci sono due punti in cui la m è uguale Conseguenze: Sottocaso 1 f [a;b] Continua Derivabile (a;b) Ovunque nulla (f = O) f (x) = cost È un segmento orizzontale Sottocaso 2 f: [a;b] y: [a;b] Continua Derivabile (a;b) f (x) = g (x) f(x) = g(x) + cost è O Esse differiscono di una costante 1 Rettingente^ I I secante (^3) ↑(b) (^) ----------^ Br f(a) (^) ---- A v i >^ ->^ X a b 7
(^) >1 -> ...
^ I ^ I^ !b v I -R 7
-^ I^ I
Teorema di Roll Se, per una funzione f(x) continua nell’intervallo [a;b] e derivabile nei punti interni di questo intervallo, si ha la condizione f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, per il quale risulta Se nel teorema di Lagrange aggiungiamo l’ipotesi f(a) = f(b), allora nel punto c indicato dal teorema è f (c) = 0. Si ha quindi il seguente teorema C :^ f (c) = O Presenta almeno un punto stazionario Da un punto di vista geometrico, il teorema di Rolle dice che, quando verificate le sue ipotesi, esiste sempre un punto c in cui la tangente al grafico è parallela alla retta AB e quindi all’asse x Teorema di De L’Hospital Dati un intorno I di un punto c e due funzioni f(x) e g(x) definite in I (escluso al più c), se: f(x) e g(x) sono derivabili in I con g(x) = 0 Le due funzioni tendono entrambe a 0 o a + - Per x (^) C esiste il limite del rapporto o f(x) g(x) allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è: delle loro derivate, Lim f(x) g(x) = Lim f(x) g(x) Teorema di Cauchy Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nell’intervallo [a;b], derivabili in ogni punto interno a questo intervallo e inoltre in. a;b è sempre g (x) = 0, allora esiste almeno un punto C interno ad ogni [a;b] in cui si ha: f(b) -f(a) g(b) - g(a)
f(c) g(c) Cioè il rapporto fra gli incrementi delle funzioni f(x) e g(x) nell’intervallo è = al rapporto fra le rispettive derivate calcolate in un particolare punto C all’interno dell’intervallo I => I ↑ -y
m= F!?=^0
f(a)=^ F(b)^ -^ -
X a b E · (^) M
I I X -^ > X -^ -^ I ↓[ I I I
Cuspidi Punti angolosi
Esistono due tipologie di punti di non derivabilità: In!
-^ --^ y1^! ! - 0 "^ >A^ D (^) I F (^) >X y i i -- (^) -- E & I C^ >
Derivata Cominciamo ponendoci il seguente problema: considerata una funzione f è un punto x, troviamo l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto x Immaginiamo di introdurre un secondo punto, con ascisse e ordinate più grandi (+h) Ora dobbiamo calcolare il coefficiente angolare della retta secante Come facciamo a calcolarlo? y x
f (x + h) - x X + h - x Differenza tra le ordinate dei punti, diviso la differenza tra le ascisse dei punti = f (x + h) - f(x) RAPPORTO INCREMENTALE h Ora più il secondo punto lo avviciniamo al primo, la retta secante tende a diventare la retta tangente Dobbiamo far coincidere x+h con x, come? Facendo tendere h a 0 h = 0 mtg = lim f (x +h) - f(x) h Se questo limite esiste ed é finito > la funzione f(x) si dice derivabile in x e il valore che assume il limite si dice derivata & & 1 y=f(x) Astoth)
h F(t) (^) --- ! i I > h To toth 7 0 & (^) > & & V & O (^7) & O metee &
Operazioni con le derivate
Derivata del prodotto di una costante per una funzione Derivata della somma di funzioni Derivata del prodotto di funzioni Derivata del reciproco di una funzione Derivata del quoziente di due funzioni
