PROPOSIZIONE 26.
Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli ed un lato
uguale ad un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è opposto ad
uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente ai
lati rimanenti, e l'angolo rimanente uguale all'angolo rimanente 1.
Siano ABC, DEF due triangoli aventi i due angoli ABC, BCA uguali rispettivamente ai due
angoli DEF, EFD, cioè ABC uguale a DEF e BCA uguale ad EFD, ed abbiano anche un lato
uguale ad un lato: dapprima, quello adiacente agli angoli uguali, cioè BC uguale ad EF; dico
che essi avranno anche i lati rimanenti uguali ai lati rimanenti, cioè AB uguale a DE ed AC
uguale a DF, e l'angolo rimanente uguale all'angolo rimanente, cioè BAC uguale ad EDF.
Infatti, se AB fosse disuguale rispetto a DE, uno dei lati stessi sarebbe maggiore. Sia
maggiore AB, si ponga BG uguale a DE (I, 3), e si tracci la congiungente GC.
Poiché dunque BG è uguale a DE, e BC ad EF, i due lati BG, BC sono uguali
rispettivamente ai due lati DE, EF; e l'angolo GBC è uguale all'angolo DEF, per cui la base
GC è in tal caso uguale alla base DF, il triangolo GBC è uguale al triangolo DEF, e gli
angoli rimanenti del primo, opposti ai lati uguali, saranno uguali ai rispettivi angoli
rimanenti del secondo (I, 4); l'angolo GCB è quindi uguale all'angolo DFE. Ma l'angolo
DFE è per ipotesi uguale all'angolo BCA; anche l'angolo BCG sarebbe perciò uguale
all'angolo BCA (noz. com. I), il minore al maggiore: il che è impossibile (noz. com. VIII).
Quindi AB non è disuguale rispetto a DE, e perciò è uguale a. Ma anche BC, EF sono uguali
fra loro: i due lati AB, BC sono così uguali rispettivamente ai due lati DE, EF; l'angolo
ABC è inoltre uguale all'angolo DEF; dunque la base AC è uguale alla base DF, e l'angolo
rimanente BAC è uguale all'angolo rimanente EDF (I, 4).
Ma, di nuovo, sia adesso il caso in cui sono uguali i lati opposti agli angoli uguali, cioè sia
AB uguale a DE b; dico nuovamente che AC è uguale a DF e BC uguale ad EF, e che infine
l'angolo rimanente BAC del primo è uguale all'angolo rimanente EDF del secondo.
Infatti, se BC fosse disuguale rispetto ad EF, uno dei lati stessi sarebbe maggiore. Sia
maggiore BC, se possibile, si ponga BH uguale ad EF (I, 3), e si tracci la congiungente AH.
Ora, poiché BH è uguale ad EF ed AB a DE, i due lati AB, BH sono uguali rispettivamente
ai due lati DE, EF; e gli uni e gli altri comprendono angoli uguali, per cui la base AH è
uguale in tal caso alla base DF, il triangolo ABH è uguale al triangolo DEF, e gli angoli
rimanenti del primo, opposti ai lati uguali, saranno uguali ai rispettivi angoli rimanenti del
secondo (I, 4); quindi l'angolo BHA è uguale all'angolo EFD. Ma l'angolo EFD è uguale
all'angolo BCA; perciò nel triangolo AHC l'angolo esterno BHA sarebbe uguale a quello
interno ed opposto BCA (noz. com. I): il che è impossibile (I, 16). Quindi BC non è
disuguale rispetto ad EF, e dunque è uguale. Ma anche AB, DE sono uguali fra loro. I due
lati AB, BC sono così uguali rispettivamente ai due lati DE, EF; e gli uni e gli altri
comprendono angoli uguali, per cui la base AC è uguale alla base DF, il triangolo ABC è
uguale al triangolo DEF, e l'angolo rimanente BAC del primo è uguale all'angolo rimanente
EDF del secondo (I, 4). Dunque, se due triangoli hanno due angoli... (secondo l'enunciato).
— C.D.D.
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