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DERIVATE DI FUNZIONE, CRESCENZA E DECRESCENZA E PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO
Sappiamo che nel caso di una funzione del tipo f(x) = mx + q la crescenza dipende dal segno del coefficiente
angolare m: se m>0 la retta è crescente, se m<0 la retta è decrescente.
Sappiamo che dati due punti di coordinate A (x₁ ; y₁) e B (x₂ ; y₂) possiamo calcolare il coefficiente angolare
facendo
Δ y
Δ x
y ₂− y ₁
x ₂−x ₁
Nel caso di un grafico qualsiasi (diverso dalla semplice retta) possiamo fare un procedimento analogo
prendendo due punti e costruendo la retta passante per entrambi se questa risulta crescente la curva in
quel tratto cresce, viceversa decresce. In alcuni casi, però, questo non vale.
Per ottenere m utilizziamo un metodo basato sui limiti, secondo il quale si può approssimare la tangente a
due punti infinitesimamente vicini dobbiamo prendere due punti talmente vicini tanto che uno tenda
all’altro in modo da poter costruire la corrispondente retta tangente, ovvero una retta che tocca la curva in
due punti reali e coincidenti.
Dato il grafico sappiamo che x₀ è la nostra c c è l’ascissa del punto scelto (A) ed è un numero fisso in
quanto scegliendo A scelgo anche la sua ascissa; h è la distanza tra c e l’ascissa dell’altro punto B (ovvero c +
h) ed è anche detta INCREMENTO y(A) = f(c) e y(B) = f(c + h).
Abbiamo detto che i punti devono essere infinitesimamente vicini, quindi h dovrà tendere sempre di più
verso 0.
m della retta AB =
Δ y
Δ x
yA− yB
xA−xB
=
f ( c +h) −f (c)
c+h−c
f ( c +h) −f ( c )
h
RAPPORTO INCREMENTALE data
una funzione y = f(x) definita in un intervallo generico [a;b] e un punto nel suo grafico A(c ; f(c) ),
incrementiamo l’ascissa di A di una quantità h e otteniamo il punto B di coordinate B( c + h ; f(c + h) ), il
rapporto incrementale è il numero
f ( c +h) −f ( c )
h
che corrisponde al coefficiente angolare della retta
tangente al punto c (h tende a 0).
Man mano che B si avvicina ad A, h si avvicina a 0 se B tende ad A, h tende a 0.
mtg (pendenza retta tangente) = lim
h→ 0
f ( c+ h)−f ( c )
h
= f’(x) = derivata prima della funzione data una
funzione y = f(x), la derivata della funzione nel punto c (ovvero f’(c) ) è il limite, se esiste ed è finito, per h
che tende a 0 del rapporto incrementale.
DEFINIZIONI DI DERIVATA DI FUNZIONE
Geometricamente data la funzione f(x) e fissato un punto della curva, la derivata rappresenta il
coefficiente angolare m della retta tangente alla curva in quel punto.
Analiticamente data una funzione y = f(x), definita in un intervallo ]a;b[, la derivata della funzione nel
punto c (ovvero f’(c) ) è il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0 del rapporto incrementale.
DIPENDENZA FUNZIONALE TRA x ED f’(x)
Per ogni x esiste una m e per ogni m esiste f’(x).
Se f’(x) > 0 la curva è crescente;
se f’(x) < 0 la curva è decrescente;
se f’(x) = 0 siamo in corrispondenza di un punto di massimo o minimo.
DERIVATE FONDAMENTALI
Derivata di funzione costante f ( x)=k f ’ (x )= 0
Derivata di funzione identità f ( x)=x
f ’( x )= 1
Derivata di funzione x² f ( x)=x ² f ’ (x )= 2 x
Derivata di funzione potenza f ( x)=xⁿ f ’ ( x )=n ∙ xⁿ ⁻ ¹ per qualsiasi n appartenente ai reali e
per qualsiasi x appartenente ai reali
NB
n
x
m
=
x
m
n
Derivata della funzione seno f ( x)=sinx f ’ ( x )=cosx
Derivata della funzione coseno f ( x)=cosx f ’( x )=−sinx
Derivata della funzione esponenziale f ( x)=a ˟ f ’ (x )=a ˟ lna
Derivata della funzione logaritmica f ( x)=logₐx
f ’ (x )=
x
∙ logₐe
Derivata del logaritmo naturale f (x)=lnx
f ’( x )=
x
Derivata di e˟ f (x)=e ˟ f ’( x )=e ˟
Derivata del prodotto di una costante per una funzione D[k ∙ f(x)] = k ∙f’(x)
Derivata della somma di funzioni D[f ( x)+ g(x )]=f ’( x )+ g ’(x )
Derivata del prodotto di funzioni D[ f
x
∙ g
x
]=f
'
x
∙ g
x
Derivata del reciproco di una funzione
D
[
f ( x )
]
f ' ( x)
f
2
(x)
Derivata del quoziente di due funzioni
D
[
f ( x)
g ( x )
]
f
'
( x ) ∙ g ( x ) + f (x )∙ g ' (x)
g
2
(x)
Derivata di funzioni irrazionali D ¿ = D[x
m
n
m
n
∙ x
m
n
− 1
