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onde exafrice mxM einm insiaua ordibato di^ plederi reali disposti in ua tabetla cors ana rigbe a m 3 Edomne A : Lssig) is. ..94, 5=1.1 oppose A : (di 53 to I eleemersto di (^) Bosto Ci (^). 5) é (^) quello collocato solla i-esinese (^) riggae e (^) 5- esienes
colonisad
indice di^ risgar i i =S.. M indice aolonose (^5) 5=3.. Lsgli eleeensti^ diua^ mecetrice^ pessino appairtenere a^ abalsiasi^ campo K^ tyhe^ ,n Ls mestrice sulla : Ei^32 O Ouain E Auim^ stott ; elemerti mulli ls weeatrise^ avadrata di^ cordine^ b :^ the^ eactrice^ com^ l^0 stesso^ nueuero^3 i^1 di^ rigbe e solonne Le (^) diayonale principale : la (^) diagobale primcipale di^ cna matrice^ Attswhan^ é^ costituita^ dagli chementi^ diposto^ Li ,il s elementi^ diagonali Ls catrice (^) diagomake : eaectrice avandratse icwi eleenti pusti fvori dalla (^) diagonale principale 5080 Pari an O Ba .... Aisn
Los matrisa triangwlare supariore alta 7: swno mulli i sooi elementi posti solto diagonale principale
triamgolare imferi^ ore^ (^ bassoe):^ sono^ mulli^ i^ swoi^ elementi^ posti^ sopra^ diagonale princibale
Lo trasposta di vaae aneatrice : eeatrise AT : Lagi 3 EtaBill 951 scambiano (^) righe e caolompe ho matrice^ simmetrica^ :^ matrice^ A^ sidice^ silsemuefrica^ se^ cwincide^ con^ la^ suae traspostan A^ =AT alizz Agi - s^ sono ogbali agli alemarati^ in posizione simumectrica^ rispetto alle (^) diagorale Br. ls neatrice^ auontisinmue trica : eneatrice A e antisiumetrisa se soincide^ com lopposta della^ trasbosta Az - A+ a 5 I=- dig stutti (^) gli elementi (^) diagobali scobso mulli^ Elis = O
-1 3070 opposti gli aleaersti^ in^ posizione siedeuetrica^ rispetto^ alla^ disegonale Boincipale
o soceverca enantrice (^) : A : an an B = byu bim A (^) +B= antbi aintbin A : dis ) (^) - s souese associativa (^) : At LBtC) : A+B I (^) +C I (^) aw (^) and ) B =Ebigh baml buuss (^) a wix Denn deumx tbeens AtB (^) = ( anizs bis) 7 5 slemersto neutro (^) : At (^) Dea ,im: Dhmint A =A 4 i 5 tO : Ehig ?AA nt inversa A : A +C-AI:GAITAIO Laist C -4iz]] = 0= Oaum
- s^ soueance^ coedmutativa^ :^ AtB^ :^ B^ +A^ digtbis^ 1=^ L[^ bist^ diz)^ o prodotto di saatrici x scalari. 3 A? ad ..... saus (^) BAzB 4 is - s a CA+B) = (^) tA + aB [ (^) I claret ... I aleens } s- Cb at^ h BAbBI^ A^ = =^ bDAb B +A^ BAA (^) Ie strottura algebrica t.tyaen^ ,^3 costituisce^ cpo^ spazio^ vettoriale^ sul^ aampo^ k sJA :A Oaypi bactrice^ si^ pro^ scrivere^ swene^ combinazione^ libeare^ delle^ Meatrici^ Eis^ i^ :t..M^ e^ 5=1..^ D^ in^ coi^ tutli {
gbi elamenti^ sono^ OEK^ tranne^ quello^ diposto^ hingl^ abe^ walle
d ".....^ O stigas i
le matrici saio libearue. Indiperndersi a (^) forsasibo Eis - o.,.0n 020 n 0 ence buse di klrim di diene (^) Cxee ,b} = (^) ee .B^ cancauns^! prodctto tra^ dactrici^ : dato dwe^ ensetrici^ A^ : Lasita (^) ) e B =Lbris 3 taliake^ il^ nuelero di^ adonse di^ Asia^ uyuale all suncaro (^) dirigbe di B (^) , allora si definisce il^ proditto tra^ AeB^ conee la matrise^ AB:Lig Aß (^) Gis : (^) Gie bag (^) t ... Giptbopl :R uexDA .pun^ B^ : auxn qusstrice^ risoltarte^ ba^ wan^ nwemero^ di^ righe^ pari^ a^ svello^ della^ suactrice^ A^ e^ sn^ Bulnero^ di^ colonne^ Dasri^ ce^ quelle^ diB^ qimbat
Wr - haie
.n.. arip )fP (^15) p5)
BROPBJETÀ (^) '!
- s^ ACBC^ )^ =^ ABIC^ pr.^ associativa^ Omaae il^ produtto^ non^ é^ commutativo^ ABEBA o CAst^ Az^ )B=^ AaB^ +^ A^2 B^ pr.^ distributive^ a dx^ non^ valk^ legge anmullausento^ del^ Brodotto AB:CO^ T^ A^ =O aB=O
- s^ ALB^ 2+B2)^ =^ ABi^ +^ AB^2 Br.^ distributiva^ a^ sx
- s^ F^3 EK^ L^3 ADB:^ BLABI^ = ACABS pr. Bseudo ,^ associativa
- s A^ Opin =^ Dmims^ e OupB = Dusm
veratrici quadraate sxss Bxp = AB hon
spradotto thon^ é^ aussociativo
- s prodotto distributive (^) risBelto adla suesrese s il^ prodotto cemmreste^ l^ elenersto^ Beatro^ dato^ dalla^ emasrice^ identità^ In^ =^ D^ 2.5...^2 2 i } 00.0sonnd (^0) odan 0 !!voonne bigliagze (^) -.n Lelta di^ Kohecer^ Sig^ ,^ ase Greits^ ie AIDA =InA=A - E:.Gixbig =ai 5
- n mosn^ vale^ lo^ pr.^ conundstativa
- (^) s nan wale^ leagge anrullauento del produlto
- (^) a Ilirpwerso di sse nucefrice (^) rispetto al (^) produtto puo esistere omeno s se llibverso esiste. à wasico: se A anvenetlesse due inverse A 'eA" EKhin siarvetsbseguindiidue :AIn=ALAA"' :ARJA ": ImA ":A inversi coinciderebbero
- s^ imversa^ di^ A^ :^ A Llhat (^). t (^).^ a^ )^ ei m abello bore consmuutativo^ (^ nen verificae pr. coenenutative a rispetho al prodotto l^ 'elemento inverse nons é serepre definito)
atsice invertibile onon singulare
- s^ Gna^ eatrice^ einvertibile^ se^ asiste^ la^ swa^ ipveisse^ A
räs
- s^ datedue^ matrici^ invertibili^ A (^) , B E^15 Bin^ ,^ ancre^ il brodotto^ AB^ risulta^ irvertibile^ ABI^ ':^ B^ 'A" inversa del prodotto é^ il^ prodotto delle^ inverse^ in^ ordine^ snverso
proprietsc trasposta
. JA I =JAT 5 il fattore swalare (^7) poo essere (^) applicato primes o (^) dopo o ATBP =A+t BT AtB Pig-LA+B]bi = AIit bsi = ATJis + CBTig A:+t (^) BT 3 i 5 o LABJ? : (^) BIA? ns (^) EAABJTiS : LABI 3; = Asabai : BC Z (^) CJik BTAT ( AT315=Jis
o LATJJ z A
-1 SIST^.^ INDETERMINATO^ :^ infinite^ soluzioni soluziome^ SIST^.^ IMPOSSIBICE^ :^ hessund
- (^) s SIST. PETERMINATO : Cnica soluzione
- (^) s^ si^ definisce^ sisteence^ lineare^ on^ sistemadian^ equazioni in^ M^ wariabsti [ AnX .+ C (^12) 52+... HlimnXn : b. } 4.... (^) Yh 1 : incognite Ela (^) .X. t 212242 t.-. lanXo (^7) B 32 Elig i^ +h-.-^ et^ B =lorb coefficienti a soluzione dal sistema é^ ona n - upba di BP^ cbe^ asseybata couse mupla di valori^ Slhe , t , thlnez =bat. .. Chwuer X 13 bm 2 br. ..bn = terersidi noti asle variabili 4.-.. (^) Yhn soddista le equaziomi del sistemia
- (^) s^ introducendo^ le^ matrici^ Az uaetrice dei coefficienti^ an an ( cevas (^) aeenJ s delle (^) incognite X =Y
J (
a (^) B dei tereaini noti BbJ sipro esprieere il^ sistened^ lineare^ in^ tal^ egodo^ AX=B huctrice (^) completa AIB z (^) mstrice incognite tEolomna tereuini boti AlB (^) : Sen [ aim alven (^) caeasB }.) teorecea (^) roucke - capelli s hon formisce un muetodo di tisoloziome dei sistemui il sistenecs lineare A 4: B anermuette solizione se e soltanto (^) se l matrice (^) sompleta e (^) incompleta hammo lo stesso (^) ramago KAL (^) : VCALBJ DIRUSTRAZIONE (^) : Per 13 definizione (^) di prodotto tos (^) watrici (^) , il sistense s (^) por esprimersi come an? [ ) x. "2 (^) en )"....Nam.I 4 u = B ouvero a prieo nceabro unz somebinaz^ ,^ lineare^ delle solonne A !... An con ewefficient ; dati dalle (^) vooriabili x -.-.h Amxn (^) :B.gbimnac combincizione liresure delle (^) culomme di A (^) per wi il (^) rango della (^) catrice HIBI coincide can il (^) rango della mastrice (^) a dato dalle swe colomme sipearne (^). indipendenti she indiriduaio A 'x.+ A242+... coldnme lineare. indipendenti ancbe^ per AIB da wi HLAIBJ (^) - NLAJ LaserLACBJaNCA (^) ) gli spazi colonna delle doe Mactrici LA (^) '... An 3 e LA '... A (^) .?, B 3 hsennso la stessa diescensione si (^) suipponyoe the (^) ua buse dello (^) spazio colooa dist sta data (^) dalle prilde rCAI colonme (^) : A '... Aras ; iveHtori A (^) !... Arsa (^) !, B devolro (^) asseve kibsesaren (^). dipendents sultriaanti dire (^) spuzio colonna (^) AlB- (^) ICAS+I3+LAJ B deve Scriversi comle 4.9 di A^ !... ANCAI : Acs 't bath? t. .. .' ANCA^ AVCA?:B^ caal wi boluziome É 441, a ... Xu)a Landes wow (^) dreas .ur 0..0 Xe (^) =X. Xreas AICal Xn=O fLA }^ D^ r LA }^ X^2 =^2 z^ X^ - CA^3 i^174 L TEAIB (^) )= ICAS (^) oppure KLAIBS (^) - ZEAI+Y a 54 sicansidera ke viduziame clanEouuss (^) per wi Kulfinuse (^) righ di At é holke weas littilua (^) vigae di AlB contiaue on pirot (^181) AJ FRLAIBD (^) per wi in sisterec bor atererette solazicnsi
- s^ siste^ ma^ limeare^ vidotto^ a^ scala^ :
se enastrice complata AIB é ridotta a scala
RISOLUZIONE dien SISTEMA^ RIDOTTO a SEALA : 3: AXIB JAIB a^ scala NEA ) = t 1, se the (^) - s dalla resinece (^) a ultinkce scolozione si ricaua (^) l'incoynita che (^) enciltiplica il picot (^5) d (^) , se raee a leoctinue rens (^) rigbe diAf Sono (^) bolla par (^) cui se la watrice (^) dei fermini noti (^) contiene on b=o allora (^) non siconsidera (^) quelke (^) riga se b^40 allora il sisteraae non cumatte soluzioi accestabili perne si arrebbeO = omero rease 3- dalla resimuce (^) a ustinbce soluzione Si ricava (^) l'ircognita abe (^) evoltiblica il pivot
- Si sostituisse la relazione trowaeta pella (^) t-f hesinuce esquazioDe 3, dalla t Jesilla (^) equarzione si ricara lae varrisabile enoltiblicata (^) per is Biriot 7 l variabile tars potanae coneparive bebll (^) ese. sucessiva Derche i (^) coefg. sotto il pirot sono mulli o.^ si^ procede x^ sustifuzione^ firo^ alla^ Brilal equazione vi taotale^ raviabili^ sisteraca
siricarano r uepiabili in funzione delle altre not che vongono assegnate a piacere ind
Ohnvariabali (^) detereeunat monriatali libere I il^ sistewea ancemette aotrr^ soluzioni
e'algoritero di^ Gouss^ percette^ di
Ls ridurre a scala le resetuice AIB
Is non cambia (^) spaizico (^) rigar o colompa dixt he (^) di AALB NCAB:NCAJ OLA'YB' : HIAIBS hapon eaodifica^ l 'insience delle soluzioni AX:B e AAX ?B teoreence (^) Ruche - capolli sompleto il sistema SX?B di al (^) equazion : in n vacriabisi :
- anresmette soluzione se e solo se JESA (^) ) : KAIBB
- Se ba sosuzione questa ć^ csia se RLA ) = h sariabili SE TLAJCM il sistemea alwenlette DD-NCAS^ soluzioni M .NCa+) variabili libers NON (^) pro 'risultare rLAS 3 n Bercthe At bar (^) o solonne quindi JLAJ EM sisterali mael condizionseti : wh sistemean lineare^ anxi taiabaabs ubobe secoplice (^) prad presentare arrori di pracisione (^) bel calsslo a causa degli (^) errori di aurrotondemento n 3 se (^) eseguiti (^) su r choumpoter, : Calcoli (^) vengwbo gestiti solo Ber cos numero firsitco di GaiX , tE (^) 12342=ba y n^4 ss cifre^ significative -^ a^ si^ eseguors arrori^ di^ arrotondamento^ sui^ cefficieasti o ber^ sistema condiz. comdizcomato sistemc eval swi te rruini nots cha si traducono in variazioni Bel risaltato DD I
in fornese cartesiance le scolazioni dizas
}s} 3 y^ sistema^ mall^ cordizionato^ swro^ doa^ rette^ acaesi^ parallele metodo di Eosnwoss (^) sairs pivotinag somple to (^) :
con i calcodi decimali viene introdutto is piroting scompleto Bercbe quallo parziale Aud produre evrori di arrotund suvento Bel callolo
ex - sia Cu^44 CDivot ) cellora (^) K 3=3.-.. om (^) Cariga B 5 wal sostituita cars (^) Ry - G R. 579., mnae lerrore percemtiale (^) sul crefficiente (^4) gal su è ks swhllice (^) deybi errovi (^) Bercerstuali sw 455 9 A (^81) qwindi Der rendere minitted k (^) propagazione deli errore a eauntebera las eassiede precisions errt. Ean ) deve (^) essere piccolo e quindi lael deve (^) asbere wolto (^) grande errt. as .= 1 I lanl Escakolatore Neneri (^) anocoegus sella^ Tmmeagazziba6' citre decimuate
ms Des pivoting ccompleto sisseglie come primo
elemento suello cors ralore aussoluto pio grande
matrice awsiliarian (^) x froware base dicrs (^) sottospazico Is 'algoritenw di Gauss formisce in (^) eaetodo efficake 3 trovare and baese do los sobfospaz^50 retlorials di^ Ble infatteai fossi livenitatas^ a ridurre^ con Guuss semaae imntrodurre wnce anctrice seugibiaria con rettori posti conse colomne si puo offenera uos risultato (^) simalogo a (^) quallo dell (^) algarites degli scarti in weado lase i (^) geperatori di an (^) sotlosp. di Rul (^) vengors collocati sorme (^) vicybe di (^) ina deantrise siw (^) efficiante man solv^ peri sottospazi di^ Rhs^ infatti^ sia^ Vonsoftasp. ganerato dai^ vettori^ Ch^ ...^ rm 3 disposti Ls se^ lo^ matrice^ wiene ridotla^ perright Cvere rethori^ codonna alluva V :LO.... Thn 3 E Riue J si coese callocasno colobne ; vettor^?^ allora be (^) rigbe hom bulle sono upe base del sottospazio
f le righs^ non^ nolse^ swno^ unibsience^ di
genaratory timeared , indip (^). SA = (^) Gean an an ,^ dene^ an awi airs^ qual
o
ridoles Eale concus
, Af (^) p. 8.. F !.", individuano fipiout E clone di acorrispandentia uenee v^ "^ le operazioni di^ riga hon ccmbrisino spsizio siga l }
diversen con Palgoritro dallo basse ate si ottione
- sil aletodo funziona perche se elimino da A^ tutle le colobbe che nars corrispondono abla posizione dei (^) pinot di A ' ridotta (^) ottengo ana encetrice B comr colosie Can 2 a Bivot) a dieacostrando che swno lineauten (^) indiperndent;, poiche lo (^) spazio colonna han dieensione r (^) Grange A) (^) quelle solomne (^) forsecence cnse base diA
- esistenza^ inversa sidistra^ : A E^ l 91 B ordinge n cellora of alametle inversa (^) simistra y se esolose VCAJ =D AyE tahubl^ cyAt :^ In^ - is^ trasporo matrici Fayt^ Ekmim^ I^ AtY':Io^ lesistenza^ deli^ inversadi^ y equirale^ aquella^ desp^ inverse^ destra^ G +^ di^ A^ +^ -^ s 1 y?^ asiste^ solose^ HATJ^ =^ D^ auindi^ rhaleon^ dato^ che^ HIAJ^ - ICA'3^ per^ owwice^ definizions^ di^ rango
- condizione^ necessaria e sufficiente^ per linversa AEH B 1 quediata di ordine t (^) 1. A cmuemette inversa (^4) t khun se e solo se r [a) 21- 3 linwersa iansica dalla (^) proposizione 2: lversa dx X esiste se esolo (^) se NCA (^) 3=n Crango A =ranago encessisnd (^) ) JXEthinl AXeIm (^) mHCAJ :B dallke (^) Broposizione 2: invers (^254) Y esiste se rLAD^ seeas ssient JCA):n (^) naJgEkhinlyst ?In sllinwersa dx esiste se esiste l (^) 'inverse s 4 s le twe coincidono X =InX^ a^ EGo34=Y IA 43: 4 yIn? Y s 4=Y K inverse coincidionco
- sAY écica : (^) supponiamis di arere due ioverse Xex cellora AY =XA:In AX ':X'A=In^ Con^ B 4 X sea Ous (^) XD 1= 'In=X(AXI: XA CIX : InX=X contro ipotesi Olgorilico (^) gawss - jordar^ asteresione^ algoritias^ di^ soceuss Eakarlare AY: In evidenzicendo lo colonme dalla meatrice (^) incognita ACx (^) '1 41... 473 : In 1 CAX I AK 1... A 41) : Im -3 Agi:Iui identificando le colonre delse matrici ae prisuo a secondo auesuboro
I
il sistenea himeare contieme la in esieve colosnz delsa ecatuice identita (^) come retlare colonna dei terenimi Boti a dewa cosere rasolfo x^ fornire "^ i-asilnce^ colotna^ xi^ dell^ invarsa X
Ln concatenazione matsice A + heatrice identità Al Ims ssi ridase a scala A hella foreuce triangol ate superiure
- ale meosbe di^ Eauss^ si applicano sncte se Als^ in eodo che^ In^ vebgoe trasgo raescta
- s eliminare^ twtli^ elevatonti^ posti^ al^ disopra^ della^ diagonale principsits di^ A^ osando^ lultieno^ pinot^ x^ elimeinare^ quelli sopra.^ Doi^ it^ pirat^ n^ -1^ e^ casi^ vien
a^ le^ eosse^ vergono applicate a^ tutla^ All
- (^) s^ si^ moltiblic (^) sgri Divot bi )^ s^0 o reciproco otterendo^7 2 3 InlB^ dove^ B^ einversse^ diff^ quindi siotliane Inlsti forma generale^ delle^ solezioni AX+B a 4:^40 hona soluzione (^) ,^ allora^ le soluzioni^ di^ AB=B sono della^ farelca Xe Xotf Ean Z sostante^ surtyitraria bel^ sisteman (^) Guogered AZ:O^ Aaz se 4= to asodozione di AYaB vale A 4 o+B (^) e per qualsiasi soluzione si (^) ACB-BO)W I (^) AXta=B AXo :B 3 AB-AXO:O sercui z =X-4o ecbe soluzionse del sistenece (^) ounewrageno a se 4 o soddisfa (^) Ado=B e Z espa soluzione arbitoaria di AZ :O si ha Abo=B AZOsAYoX^ AZ^ :B 7 O is AC 4 o+ZlaB (^) GoiDdi KaXotz sodazione di ABB mske soluziome X=4o si dice soluzione particolare del sistema
isla soloziobe arbitraria Z viene detta solozione generale del sistalad oueogenes sessossiato
d
si otliene azaeraindo il teremine notoB
