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MAXWELL E ONDE ELETTROMAGNETICHE
La teoria di Maxwell, elaborata appunto dal fisico scozzese dell’800 Clerk Maxwell, dà una sistemazione generale
ad elettricità e magnetismo, spiegando fenomeni già noti e presentandone nuovi. La teoria si compone di 4
equazioni, di cui le prime due riguardanti il teorema di Gauss.
1.1 TEORIE DI MAXWELL
1.1.1 1° Equazione: Legge di Gauss per il campo elettrico
Si estende la precedente legge di Gauss al caso più generale dove il campo elettrico 𝐸
⃗
è variabile.
1.1.1.1 Flusso di un campo vettoriale 𝑽
⃗⃗
attraverso una superficie chiusa
Si considera il campo magnetico presente su una sfera, che viene divisa in tanti quadratini di area ∆𝑆, tanto
piccoli da essere considerati piani, cosicché il campo possa essere considerato uniforme all’interno di essi; a
ogni elemento di area è associato un vettore ∆𝑆
⃗⃗⃗⃗
, perpendicolare alla superficie, uscente da essa e di modulo
pari all’area del quadratino.
Il flusso di 𝑉
⃗
all’interno del quadratino è 𝜙 (𝑉
. Il flusso attraverso tutta la superficie è la somma di
tutti i flussi parziali 𝜙 (𝑉
Facendo tendere a zero ogni ∆𝑆 e a infinito il numero di superfici, il vettore ∆𝑆
⃗⃗⃗⃗ tende al vettore differenziale 𝑑𝑆 e
il flusso si può esprimere come un integrale di superficie lim
∆𝑆→ 0
𝑆
𝑆
➔ Il flusso di un campo vettoriale 𝑉
⃗
attraverso una superficie S è una grandezza scalare data dall’integrale
di superficie di 𝑉
⃗
su S
Risulta quindi che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie S qualunque è direttamente
proporzionale al numero di linee di campo passanti attraverso la superficie.
Se la superficie S è chiusa si procede in maniera analoga, orientando tutti i vettori ∆𝑆
⃗⃗⃗⃗ in maniera che siano
uscenti dalla superficie. In questo caso il flusso è legato alla differenza tra le linee di campo uscenti ed entranti.
_______ _____ ____ _____ ____ _____ ____ ____ _____ ____ ______
Tale concetto si può applicare al vettore campo elettrico 𝐸
⃗
nel caso generale (prima, per il teorema di Gauss, il
campo elettrico era uniforme su tutta la superficie e formava con la perpendicolare ad essa un angolo costante).
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S qualunque è proporzionale alla somma di tutte le
cariche presenti all’interno della superficie:
𝑆
0
1.1.2 2° Equazione: Legge di Gauss per il campo magnetico
Si segue lo stesso ragionamento precedente.
Poiché non esistono cariche magnetiche isolate (esperimento della calamita spezzata, non esistono monopoli
magnetici) il flusso del campo magnetico attraverso una superficie S qualunque è nullo:
𝑆
Questo implica che tutte le linee di campo che escono dalla superficie rientrano nella superficie stessa.
1.1.3 3° Equazione: Legge di Faraday-Lenz
Nella legge di Faraday-Lenz 𝜀 per definizione è il rapporto tra il lavoro fatto dalla forza elettrica 𝐹 𝑒
⃗⃗⃗ per spostare
una carica q lungo il circuito e la carica stessa; il lavoro lungo il circuito non è costante e quindi esso non può
essere calcolato come 𝐹 𝑒
⃗⃗⃗
= 𝑞𝐸
⃗
.
1.1.3.1 Circuitazione di un campo vettoriale 𝑽
⃗⃗
Considerato un percorso chiuso g e un campo vettoriale 𝑉
⃗
, si divide il percorso in tanti spostamenti ∆𝑙
⃗⃗⃗
, tanto
piccoli da poter essere considerati rettilinei, cosicché il campo possa essere considerato uniforme per tutto ∆𝑙
⃗⃗⃗
.
Il lavoro compiuto da ogni singolo tratto è 𝑉
La somma di tutti i contributi, facendo tendere a zero ogni ∆𝑙 e a infinito il numero di spostamenti si ottiene un
integrale di linea lim
∆𝑙→ 0
𝛾
, pari alla circuitazione di 𝑉
⃗
.
𝛾
➔ La circuitazione di un campo vettoriale 𝑉
⃗
attraverso una linea chiusa 𝛾 è la grandezza scalare data
dall’integrale di linea di V su 𝛾
_______ _____ ____ _____ ____ _____ ____ ____ _____ ____ ______
Il lavoro parziale compiuto dal campo elettrico per spostare una carica q lungo un percorso chiuso 𝛾, dividendo il
percorso in spostamenti ∆𝑙
⃗⃗⃗
nei quali la forza elettrica si può ritenere costante, può essere espresso come ∆𝐿 =
𝑒
. Il lavoro totale è pari alla somma di tutti i contributi 𝐿 = 𝛴(𝐹
𝑒
). Facendo tendere
a zero il vettore spostamento, tale somma diventa una circuitazione
𝛾 𝛾
Quindi la fem, essendo il rapporto tra L e q, risulta
𝛾
Si considera lim
∆𝑡→ 0
𝜀 = lim
∆𝑡→ 0
∆𝜙(𝐵
⃗
)
∆𝑡
′
d𝜙(𝐵
⃗
)
d𝑡
.
Quindi, partendo da 𝜀 = −
∆𝜙(𝐵
⃗ )
∆𝑡
, riunendo le considerazioni fatte, si ottiene che la circuitazione del campo
elettrico lungo un percorso chiuso 𝛾 è uguale alla derivata temporale, cambiata di segno, del flusso del campo
magnetico attraverso la superficie delimitata dal percorso 𝛾
𝛾
d𝜙(𝐵
d𝑡
Ricordando che la forza è conservativa quanto il lavoro che compie per spostare un corpo lungo un cammino
chiuso è nullo, la forza associata al campo elettrico indotto, che si genera con un ∆𝜙(𝐵
⃗
), non è conservativa, in
quanto il lavoro è diverso da zero.
1.1.4 4° Equazione: Legge di Ampere-Maxwell
Considerato il concetto di circuitazione, la legge di Ampere 𝛴(𝐵 //
0
) si può generalizzare
considerando un percorso chiuso qualsiasi 𝛾, diviso in tanti piccoli tratti (prima la legge di Ampere legava la
circuitazione di 𝐵
⃗
lungo una curva chiusa 𝛾 alla corrente concatenata con la curva, presupponendo che il
percorso chiuso era una linea spezzata costituita da segmenti di lunghezza ∆𝑙, e 𝐵 //
era la componente di 𝐵
⃗
parallela a ogni segmento).
Si considera il prodotto scalare 𝐵
//
∙ ∆𝑙 (perché 𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐵
//
); la somma di tutti i
contributi, facendo tendere a zero ∆𝑙
⃗⃗⃗
, si ottiene lim
∆𝑙→ 0
𝛾
.
trasversali. Si può pensare di associare all’onda il vettore ottenuto come prodotto vettoriale tra i due vettori
campi, la cui direzione e verso indicano la direzione di propagazione dell’onda (si puntano le dita della mano dx
nella direzione di 𝐸
⃗
e si piegano verso 𝐵
⃗
, il pollice punta nella direzione dell’onda elettromagnetica).
Una carica elettrica emette onde elettromagnetiche ogni volta che subisce un’accelerazione; cariche elettriche
accelerate irraggiano onde elettromagnetiche. Tutte le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con la
stessa velocità della luce nel vuoto 𝑐 = 3 10
8
m/s, Maxwell dimostra anche che 𝑐 =
1
√
𝜀
0
𝜇
0
.
In ogni punto dello spazio e in ogni istante 𝐸
⃗
e 𝐵
⃗
oscillano in fase, perpendicolarmente tra loto e con i moduli
proporzionali, dove 𝐸 = 𝑐𝐵.
Le onde elettromagnetiche trasportano energia. La densità di energia totale di un’onda elettromagnetica (J/m
3
)
è pari alla somma tra la densità di energia del campo elettrico e quella del campo magnetico
𝐸
𝐵
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
0
2
oppure
2
2
2
0
0
0
0
2
2
0
Dato che i due campi variano in modo sinusoidale nel tempo, il loro calore medio è 0. Quindi per calcolare la
densità di energia media di un’onda elettromagnetica si devono considerare i valori efficaci di E e B, cioè
𝑚
0
𝑒𝑓𝑓
2
𝐵
𝑒𝑓𝑓
2
𝜇 0
𝑒𝑓𝑓
𝐸 𝑚𝑎𝑥
√ 2
𝑒𝑓𝑓
𝐵 𝑚𝑎𝑥
√ 2
La quantità di energia trasportata da un’onda per unità di superficie è detta intensità dell’onda (che può essere
espressa come potenza per unità di superficie 𝐼 =
𝑃
𝐴
) (W/m
2
)
0
2
2
0
2
2
0
Per calcolare l’intensità media 𝐼 𝑚
𝑚
𝑐 si sostituiscono i valori efficaci.
Il flusso di energia elettromagnetica per unità di tempo e unità di superficie è detto vettore di Poynting
0
× 𝐵
La direzione e il verso di 𝑆 indicano la direzione e il verso di propagazione dell’onda elettromagnetica. Dato che i
due campi sono perpendicolari, allora 𝐼 = 𝑆 =
1
𝜇 0
𝐸𝐵 e dato che 𝐸 = 𝑐𝐵 allora 𝐼 =
1
𝜇 0
2
(il modulo del
vettore 𝑆 coincide con l’intensità 𝐼).
A un’onda elettromagnetica è associata anche una quantità di moto. Maxwell dimostra che quando una data
superficie di un corpo assorbe un’energia totale U, questa energia corrisponde anche a una quantità di moto
ricevuta pari a 𝑝 =
𝑈
𝑐
.
Se invece il corpo riflette l’onda, la quantità di moto che riceve è maggiore di quella ricevuta quanto l’onda viene
assorbita ed è pari a 𝑝 =
2 𝑈
𝑐
La pressione media esercitata dall’onda, data dal rapporto tra la forza media 𝐹 𝑚
e la superficie A è detta
pressione di radiazione ed è pari a 𝑝
𝑟
𝐹
𝑚
𝐴
𝐼
𝑚
𝑐
, dove 𝐹
𝑚
𝑚
𝐼
𝑚
𝐴
𝑐
.
1.2.1 Spettro elettromagnetico
Nell’attraversare un prisma la luce bianca viene dispersa in un arcobaleno di colori, con il rosso a un estremo e il
violetto all’altro. Le diverse colorazione della luce sono tutte onde elettromagnetiche che differiscono solo per
la frequenza e la lunghezza d’onda (𝑣 = 𝜆𝑓). Dato che tutte le onde elettromagnetiche hanno la stessa velocità
𝑐, allora 𝑐 = 𝜆𝑓. L’intero intervallo di frequenze è noto come spettro elettromagnetico.
