Universit`
a di Trento
Dipartimento di Fisica
Laurea Triennale in Fisica
∼·∼
Anno Accademico 2025–2026
Appunti di Meccanica Quantistica
Corsi
Meccanica quantistica (6 CFU),
Prof. Franco Dalfovo
Autore
Samuele Cerini
243699
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Meccanica Quantistica, Appunti di Meccanica Quantistica
Il documento, scritto interamente in latex, contiene la trascrizione di tutti gli appunti presi durante le lezioni in presenza del corso di "Meccanica Quantistica" del Professor Dalfovo, a.a. 2025/2026, presentando anche materiale aggiuntivo ottenuto dallo studio integrativo del libro di riferimento del corso. Include tutte le definizioni e teoremi notevoli con dimostrazione, le formule utili anche al corso di "Complementi Matematici della Meccanica Quantistica" e a tutti i corsi successivi che vedono il corso di "Meccanica Quantistica" come prerequisito. Il contenuto si presta alla preparazione dell'esame orale finale del corso e copre tutte le possibili domande.
Tipologia: Appunti
2025/2026
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Universit`a di Trento
Dipartimento di Fisica
Laurea Triennale in Fisica
Anno Accademico 2025–
Appunti di Meccanica Quantistica
Corsi Meccanica quantistica (6 CFU), Prof. Franco Dalfovo
Autore Samuele Cerini 243699
- 1 Meccanica Quantistica
- 1.1 Esperimento di Stern-Gerlach
- 1.2 Vettori di stato
- 1.3 Ket, bra e operatori
- 1.3.1 Spazio dei bra
- 1.3.2 Operatori
- 1.4 Ket di base e rappresentazione matriciale
- 1.4.1 Rappresentazione matriciale
- 1.4.2 Stern-Gerlach come sistema di spin 1/2
- 1.5 Il concetto di misura
- 1.5.1 Postulato della misura
- 1.6 Esperimento di Stern-Gerlach
- 1.6.1 Sistemi di spin 1/2
- 1.7 Osservabili compatibili e incompatibili
- 1.8 Misure in sequenza di osservabili compatibili
- 1.9 Misura in sequenza di osservabili non compatibili
- 1.10 Relazione di indeterminazione
- 1.11 Cambiamento di base
- 1.12 Spettri continui
- 1.13 Posizione
- 1.14 Traslazioni spaziali e momento
- 1.14.1 Una parentesi di fisica classica
- 1.15 Funzioni d’onda nello spazio delle coordinate
- 1.16 Funzioni d’onda nello spazio degli impulsi
- 1.16.1 Cambiamento di base
- 1.17 Dinamica quantistica
- 1.18 Evoluzione temporale
- 1.19 Equazione di Schr¨odinger
- 1.20 Energia e costanti del moto
- 1.21 Rappresentazione di Heisenberg
- 1.22 Equazione del moto
- 1.22.1 Precessione dello spin
- 1.23 Teorema di Ehrenfest e limite classico
- 1.24 Oscillatore armonico unidimensionale
- 1.25 Interpretazione della funzione d’onda
- 1.26 Momento angolare orbitale
- 1.27 Spettro del momento angolare
- 1.28 Rotazioni nello spazio euclideo
- 1.29 Spettro del momento angolare orbitale
- 1.30 Autofunzioni del momento angolare
- 1.31 Le armoniche sferiche
- 1.32 Equazione di Schr¨odinger per potenziali centrali
- 1.33 Atomo di idrogeno
- 1.34 Spin
- 1.35 Addizione di momenti angolari
- 1.36 Alcune propriet`a delle matrici di Pauli
- 1.37 Addizione di spin 1/2
- 1.38 Metodi approssimati
- 1.39 Perturbazione lineare sull’oscillatore armonico
- 1.40 Perturbazione quadratica dell’oscillatore armonico
- 1.41 Spettro degenere
- 1.41.1 Perturbazione della buca cubica
- 1.42 Perturbazioni indipendenti dal tempo
- 1.43 Rappresentazione d’interazione
- 1.44 Probabilit`a di transizione
- 1.45 Perturbazione costante
- 1.46 Perturbazione armonica
- 1.47 Regola aurea di Fermi
- 1.48 Metodi variazionali
- 1.49 Sistemi di due particelle
- 1.49.1 Due particelle isolate
- 1.50 Particelle identiche
- 1.51 Entanglement
- 1.52 Matrice densit`a
- 1.53 Evoluzione temporale dell’operatore densit`a
Capitolo 1
Meccanica Quantistica
Lezione 22 sett Dall’approccio geometrico della meccanica classica si passa a un approccio di tipo algebrico , proprio della meccanica quantistica.
1.1 Esperimento di Stern-Gerlach
L’esperimento consiste nella misura del momento magnetico di un atomo sfruttando la sua interazione con un campo magnetico non uniforme. Se il momento magnetico e **_μ_** allora il contributo energeticoe E = − μ · B , la forza di cui risente e _F_ = − **∇** _E_. Sperimentalmente possiamo fare in modo che _Fz_ = _μz_ ( _∂Bz_ / _∂z_ ), dove _μz_ dipende dal tipo di atomo. Degli atomi di argento sono riscaldati in un forno con una piccola apertura e convogliati in un fascio diretto attraverso un campo magnetico non uniforme prodotto da due poli (uno dei qualie sagomato ad angolo acuto). L’atomo ha 47 elettroni, 46 dei quali possono essere visti come una nube simmetrica priva di momento angolare complessivo. Ignoriamo lo spin nucleare, nel suo insieme l’atomo ha un momento magnetico uguale al momento magnetico di spin del 47-esimo elettrone e siccome ha una massa grande, e possibile usare il concetto classico di traiettoria. Classicamente ci si aspetterebbe una fascia sullo schermo delimitata da due estremi. Cio che si osserva sulla lastra sono invece due bande separate. Questo comportamento non e compatibile con la fisica classica in alcun modo, la spiegazione, secondo Stern e Gerlach, risiedeva nel **modello di Bohr-Sommerfeld** , con la quantizzazione delle orientazioni del momento angolare (questo none del tutto corretto, siccome in questo caso non si misura il momento angolare ma il momento angolare di spin ).
SG ˆz
Sz ↑
Sz ↓
(a) Singolo
SG ˆz SG ˆx SG ˆz
Sz ↑
Sz ↓
Sx ↑
Sx ↓
Sz ↑
Sz ↓
(b) In sequenza
In fig. 1.1a si vede che meta degli atomi viene deflesso in una direzione, l’altra meta in quella opposta. Nel- la configurazione in serie in fig. 1.1b sembra che la seconda misura ”cancelli” la prima. Si ha un’analogia formale con la polarizzazione della luce. Lo stato di spin non e pero analogo allo stato di polarizzazione. L’analogia si riferisce al principio di sovrapposizione. Gli stati di spin si indicano con la notazione di Dirac : |·⟩. Ci sono 6 stati di spin: | Sx ↑⟩ , | Sx ↓⟩ ,
Sy ↑
Sy ↓
, | Sz ↑⟩ , | Sz ↓⟩. Il passaggio at- traverso ciascuno degli apparati che separa il fascio, ne dimezza l’intensit`a. Questo comportamento ha un’analogia formale con il passaggio della luce attraverso filtri polarizzatori. Questa analogia porta alla congetturare che gli stati di spin obbediscano ad un principio di sovrapposizione e che i coefficienti della decomposizione siano in qualche modo quelli della decomposizione di E nelle sequenze equivalenti di filtri
polarizzatori. Questo esempio riflette il fatto che in MQ non si puo determinare simultaneamente _Sz_ e _Sx_. Piu precisamente, la selezione del fascio da parte del secondo dispositivo distrugge ogni precedente informazione su Sz.
Possiamo quindi scrivere le relazioni che legano le componenti dello spin. Seguendo l’analogia con i polarizzatori si trova che
| Sx ↑⟩ =
| Sz ↑⟩ +
| Sz ↓⟩ (1.1a)
| Sx ↓⟩ = −
| Sz ↑⟩ +
| Sz ↓⟩ (1.1b)
Per poter esprimere anche le componenti lungo ˆ y e utile l’analogia con la polarizzazione circolare. Per rispettare le intensita sperimentali, i coefficienti dovrebbero avere modulo pari a 1 / 2, ma cio none possibile con i numeri reali.
∣ ∣ Sy ↑
| Sz ↑⟩ + i √ 2
| Sz ↓⟩ ∣ ∣ Sy ↓〉^ = √^1 2
| Sz ↑⟩ −
i √ 2
| Sz ↓⟩
Vale dunque un principio di sovrapposizione di stati fisici di spin, valgono le relazioni sopra citate tra gli stati di spin e il modulo quadro dei coefficienti da le intensit`a relative dei fasci in uscita. Per come li abbiamo definiti, gli stati di spin sono vettori di uno spazio vettoriale astratto di dimensione 2, i cui elementi possono essere rappresentati da coppie di numeri complessi.
1.2 Vettori di stato
” a ” e l’ **esito di una misura**. | _a_ ⟩e lo stato del sistema, `e un elemento di uno spazio vettoriale lineare nel corpo complesso.
- Vettori di stato che differiscono per una costante moltiplicativa rappresentano lo stesso stato fisico (cio che contae la ”direzione”, pi`u precisamente, gli stati fisici sono in corrispondenza uno a uno con i raggi , non con i vettori).
- Il vettore nullo `e l’unico elemento dello spazio a non rappresentare uno stato fisico.
- La dimensione dello spazio `e data dal numero di esiti possibili.
In uno spazio vettoriale possono agire degli operatori che, agendo su un vettore ne producono un altro, l’azione di A su | α ⟩ e indicata con la notazione _A_ | _α_ ⟩. Quando _A_ | _α_ ⟩ coincide con | _α_ ⟩ a meno di una costante moltiplicativa, allora | _α_ ⟩e detto autovettore o autostato di A e la costante moltiplicativa e il corrispondente **autovalore**. Si identificano le grandezze fisiche (o _osservabili_ ), con operatori che agiscono sui vettori di stato di un sistema. Gli autostati di una osservabile sono quei particolari vettori di stato che non vengono modificati dal processo di misura. Nel caso dell’esperimento di Stern-Gerlach l’osservabile misuratae la componente di μ nella direzione del gradiente del campo magnetico. Il fatto che le macchie siano solo due e anche una conseguenza della scelta dell’argento come atomo di prova (il suo spine determinato dallo spin di un singolo elettrone spaiato).
1.3 Ket, bra e operatori
1.3.1 Spazio dei bra
- c 1 | α ⟩ + c 2 | β ⟩ ←−corr. duale−−−−−−→ c ∗ 1 ⟨ α | + c ∗ 2 ⟨ β |.
- Prodotto interno con metrica positiva: ⟨ β | α ⟩ := (⟨ β |) (| α ⟩) ∈ C.
X | α ⟩ corr. duale ←−−−−−−−→ ⟨ α | X †
Assioma associativo della moltiplicazione - Dirac postula che la propriet`a associativa valga in generale fintanto che si ha a che fare con operazioni ”lecite” tra bra , ket e operatori.
Definizione 3. Prodotto esterno - Il prodotto esterno | α ⟩⟨ β | e un operatore. Tramite l’assioma associativo: (| _β_ ⟩⟨ _α_ |) · | _γ_ ⟩ = ⟨ _β_ | · (⟨ _α_ | _γ_ ⟩). Dunque il prodotto esterno che agisce su un _ket_e un altro ket ; in altre parole |·⟩⟨·| pu`o essere visto come un operatore che agisce su un ket o come un numero che moltiplica il ket. In particolare, l’operatore | β ⟩⟨ α | ruota | γ ⟩ nella direzione di | β ⟩.
- Se X = | β ⟩⟨ α | allora X †^ = | α ⟩⟨ β |.
- Dall’assioma associativo (⟨ β |) · ( X | α ⟩) = (⟨ β | X ) · (| α ⟩) =: ⟨ β | X | α ⟩.
- ⟨ β | X | α ⟩ = ⟨ α | X †| β ⟩∗, quindi, se X `e hermitiano ⟨ β | X | α ⟩ = ⟨ α | X | β ⟩∗.
Definizione 4. Valore di aspettazione - ⟨ X ⟩ = ⟨ α | X | α ⟩.
Teorema 1. Teorema spettrale - Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
Dimostrazione. (Per spettri discreti) A `e un operatore hermitiano, per cui
A | a 1 ⟩ = a 1 | a 1 ⟩ (1.3)
e anche A | a 2 ⟩ = a 2 | a 2 ⟩. (1.4)
Dove a 1 , a 2 ,... sono gli autovalori di A. Moltiplicando entrambi i membri di eq. (1.3) per ⟨ a 2 | da sinistra ed entrambi i membri di eq. (1.4) per ⟨ a 1 | da destra e poi sottraendo, otteniamo
( a 1 − a ∗ 2 ) ⟨ a 2 | a 1 ⟩ = 0_._ (1.5)
Se a 1 = a 2 si ricava la condizione di realta (prima parte del teorema). Se _a_ 1 ̸= _a_ 2 allora deve annullarsi il prodotto interno, per cui si ricava l’ortogonalita (seconda parte del teorema).
Ci si aspetta che gli autovalori siano reali, siccome le osservabili hanno valori reali. Il teorema 1 non esclude che ad uno stesso autovalore di un’osservabile corrispondano piu autovettori linearmente indipen- denti. In tal caso si dice che lo spettroe degenere. L’insieme degli autostati di un operatore hermitiano, normalizzati e ortogonali tra loro, costituisce una base ortonormale e completa dello spazio dei vettori di stato. La completezza segue dal fatto che la dimensione di tale spazio coincide, per costruzione, con il numero di esiti che si possono ottenere nella misura dell’osservabile.
1.4 Ket di base e rappresentazione matriciale
Gli autoket di A formano una base dello spazio dei ket e dunque formano un insieme completo per costruzione. Pertanto un ket pu`o essere sviluppato in termini di autoket di A.
| α ⟩ =
j
cj
∣ aj^ 〉^ , ⟨ ai | α ⟩ = ⟨ ai |
j
cj
∣ aj^ 〉
j
ai
∣ aj^ 〉^ cj = δij cj = ci, (1.6a)
| α ⟩ =
j
∣ aj
aj
∣ α
analogo alla scoposizione in uno spazio euclideo reale, (1.6b)
V =
i
( ˆe i · V ) ˆe i. (1.6c)
Grazie all’assioma associativo della moltiplicazione, `e possibile riscrivere
| α ⟩ =
j
∣ aj
prod. int. ︷ ︸︸ ︷〈 aj
∣ α
j
prod. est. ︷∣ ︸︸ ︷ ∣ aj
aj
∣ (^) | α ⟩ (1.7a)
| α ⟩ =
j
∣ aj^ 〉〈 aj
(^) | α ⟩ = 1 | α ⟩. (1.7b)
La eq. (1.7b) `e nota come relazione di completezza o relazione di chiusura. Prendendo un | α ⟩ a norma 1 e sfruttando la eq. (1.7b) si ottiene
1 = ⟨ α | α ⟩ = ⟨ α | 1 | α ⟩ =
j
α
∣ aj
aj
∣ α
j
c ∗ j cj =
j
∣ cj
∣^2 (1.8)
Definizione 5. Proiettore - Λ j :=
∣ aj^ 〉〈 ai
∣ (^) `e detto operatore di proiezione o proiettore e seleziona la
componente del ket | α ⟩ parallela a aj. La relazione di completezza in eq. (1.7b) pu`o essere riscritta in termini dell’operatore di proiezione: (^) ∑
j
Λ j = 1_._ (1.9)
Una nota proprieta del proiettoree Λ j Λ j = Λ^2 j = Λ j.
1.4.1 Rappresentazione matriciale
Sia X un operatore generico, esso pu`o essere scritto come 1 X 1.
X =
i
j
| ai ⟩
ai
∣ X
∣ aj
aj
Nella eq. (1.10) ci sono N^2 numeri complessi della forma
ai
∣ X
∣ aj^ 〉, dove N `e la dimensione dello spazio
dei ket. Essi possono essere disposti in una matrice quadrata N × N come segue: Xij =
ai
∣ X
∣ aj^ 〉. Vale
allora Xij =
ai
X
aj
=⇒ X ij † =
ai
X †
aj
aj
X
ai
Dunque X ij † = X ji ∗. Se X e hermitiano _X_ = _X_ †, allora _Xij_ = _X ji_ ∗. Questo vuol dire che la diagonale della matrice che rappresenta _X_e reale, mentre i due triangoli sono l’uno il complesso coniugato dell’altro.
X
⟨ a 1 | X | a 1 ⟩ ⟨ a 1 | X | a 2 ⟩ · · · ⟨ a 2 | X | a 1 ⟩ ⟨ a 2 | X | a 2 ⟩ · · · .. .
Il modo in cui la rappresentazione matriciale di X e definitae conforme alle regole usuali di moltiplicazione di matrici. La relazione X | α ⟩ = | γ ⟩ espressa in notazione matriciale
X
| α ⟩
| γ ⟩
ha senso se rappresentiamo i ket come vettori colonna, i bra come vettori riga.
| α ⟩
⟨ a 1 | α ⟩ ⟨ a 1 | α ⟩ ⟨ a 1 | α ⟩ .. .
, | γ ⟩
⟨ a 1 | γ ⟩ ⟨ a 1 | γ ⟩ ⟨ a 1 | γ ⟩ .. .
e le relazioni in eq. (1.19c) possono essere scritte nella forma
Sz |↑⟩ =
, (1.21a)
Sz |↓⟩ = −
. (1.21b)
Consideriamo gli operatori S + = ℏ |↑⟩⟨↓| e S − = ℏ |↓⟩⟨↑|. La loro rappresentazione matriciale `e
S + = ℏ
, S − = ℏ
Essi agiscono in questo modo sugli stati di base
S + |↑⟩ = ℏ |↑⟩ ⟨↓|↑⟩ = 0 , (1.23a) S + |↓⟩ = ℏ |↑⟩ ⟨↓|↓⟩ = ℏ |↑⟩ , (1.23b) S − |↑⟩ = ℏ |↓⟩ ⟨↑|↑⟩ = ℏ |↓⟩ , (1.23c) S − |↓⟩ = ℏ |↓⟩ ⟨↑|↓⟩ = 0_._ (1.23d)
Questi operatori, chiamati operatori di spin flip , sono palesemente non-hermitiani e, in quanto matrici reali l’una la trasposta dell’altra, sono l’uno l’hermitiano coniugato dell’altro. Fisicamente, S + alza la componente di spin di un’unita ℏ, se la componente non puo essere ulteriormente innalzata, si ottiene lo stato nullo. Analogamente _S_ − abbassa la componente di spin di un ℏ e restituisce lo stato nullo see gia allo stato piu basso. Lezione 6 ott
1.5 Il concetto di misura
Le grandezze fisiche da misurare in un dato sistema sono definite tramite le procedure utilizzate per misurarle e coinvolgono il confronto con campioni di misura convenzionalmente scelti. Per sviluppare una teoria fisica e essenziale definire, nel modo piu rigoroso possibile, cosa si intenda per misura nel contesto della teoria stessa.
1.5.1 Postulato della misura
Postulato - Sia A un’osservabile in un dato sistema fisico preparato in uno stato puro | α ⟩. Siano | αi ⟩ gli autostati normalizzati a 1 dell’operatore hermitiano A , corrispondenti agli autovalori reali ai. Gli autostati formano una base su cui si pu`o decomporre | α ⟩ tramite:
α =
i
ci | αi ⟩ =
i
| ai ⟩ ⟨ ai | α ⟩ , (1.24)
dove ci = ⟨ ai | α ⟩ sono numeri complessi. Si postula che l’atto della misura consista nel far ”collassare” (o ”precipitare” o ”proiettare”) lo stato del sistema in uno degli autostati di A e che il valore misurato coincida con l’autovalore di A corrispondente:
| α ⟩ −→
∣ aj
quando il valore misurato dell’osservabile e _aj_. Inoltre, la probabilita P di ottenere il valore aj in una serie di misure effettuate sullo stesso sistema preparato nelle stesse condizioni `e uguale a
P( aj ) =
∣ cj
∣^2 =
aj
∣ α
∣^2. (1.26)
L’ultima relazione ha efficacia empirica solo quando la serie comprende un gran numero di misure.
I commento - L’unico caso in cui non una misura non cambia lo stato e quando lo statoe gi`a un autostato dell’osservabile che viene misurata, ossia quando | α ⟩ = | ai ⟩. In questa situazione cj = δij ci con
certezza: | ci |^2 = 1 = P( ai ). Misurando nuovamente A si otterra certamente lo stesso risultato. Quando la misura determina il cambiamento di | _α_ ⟩ → | _ai_ ⟩ si dice che. | _ai_ ⟩e il risultato della misura.
II commento - La misura non corrisponde all’azione dell’operatore sugli stati. La misura da sempre un autostato, mentre l’azione di A non `e necessariamente uno degli autovettori di A.
III commento - L’esisto non e in generale predeterminato, in accordo con il postulato sulla misura si puo solo dare la probabilita di saltare in qualche particolare stato. Per determinare la probabilita empiricamente, bisogna considerare un gran numero di misure fatte su un ensemble di sistemi fisici preparati in modo identico, tutti caratterizzati dallo stesso | α ⟩. Questo ensemble `e noto come ensemble puro.
IV commento - Si definisce valor medio o valore di apettazione di A in uno stato | α ⟩
⟨ A ⟩ := ⟨ α | A | α ⟩ =
i
j
α
∣ aj^ 〉 〈 aj
∣ A
∣ ai^ 〉^ ⟨ ai | α ⟩ =
i
P( ai ) ai =
i
| ci |^2_._ (1.27)
Si tratta di un media pesata dei valori misurabili di A , usando le loro probabilita come peso statistico. Tale quantita puo essere calcolata anche per un operatore generico _X_ , non necessariamente associato ad un’osservabile, in questo casoe un numero complesso e non vale l’interpretazione statistica. Valgono comunque le seguenti relazioni:
⟨ X ⟩ = ⟨ X †⟩∗^ , (1.28a) ⟨ X † X ⟩ ≥ ⟨ X †⟩ ⟨ X ⟩. (1.28b)
1.6 Esperimento di Stern-Gerlach
Il processo di misura dell’esperimento di Stern-Gerlach si pu`o definire misura selettiva o filtrazione , in quanto il dispositivo seleziona solo uno degli autoket di A. Matematicamente una misura elettiva equivale ad applicare l’operatore di proiezione Λ i a | α ⟩.
1.6.1 Sistemi di spin 1/
Gli stati fisici in cui l’esito della misura di un’osservabile dipende sia dalla natura quantistica del sistema, sia dalla distribuzione statistica, in senso classico, che caratterizza l’insieme delle repliche dello stesso sistema di dicono stati misti o ensemble misti. All’uscita del primo apparato SG ciascun atomo si trova o nello stato |↑⟩ o |↓⟩. Questi sono stati puri , ossia stati in cui l’atomo ha una ben definita orientazione dello spin lungo z e si e sicuri di ottenere un certo risultato. Il primo SG trasforma lo _stato misto_ in _stati puri_ , autostati di _Sz_ , e il secondo SG opera una misura che non altera lo spin in cui l’atomo si trova. E importante sottolineare che uno stato |↑⟩, o altri stati puri di spin, non descrivono lo stato del fascio di atomi, ma quello di ogni singolo atomo. Esso non determina le proprieta statistiche dell’ _ensemble_ ; ogni atomo si trova precisamente in quello stato. Prima di entrare nel secondo apparato SG **ˆx** gli atomi non solo non hanno un valore prefissato di _Sx_ , non hanno questa proprieta. E l’apparato a determinare l’esitodella misura, separando gli atomi che, a seguito della misura, si trovano in uno stato puro o in un altro. Per il postulato della misura, i requisiti di ortogonalita e l’invarianza dei sistemi fisici per rotazioni, si riscrivono le eq. (1.1) come segue
| Sx ↑⟩ =
eiδ^1 |↓⟩ , | Sx ↓⟩ =
eiδ
′ (^1) |↓⟩ , (1.29a)
∣ ∣ Sy ↑
eiδ^2 |↓⟩ ,
∣ Sy ↓
eiδ
′ 2 |↓⟩. (1.29b)
Il primo coefficiente viene scelto positivo e reale per convenzione, dato che altre scelte differenti per una fase complessiva non cambierebbero lo stato fisico. Sappiamo che δ 1 e δ ′ 1 devono essere diversi per
Dato che ai ̸= aj per ipotesi,
ai
∣ B
∣ aj
= δij
ai
∣ B
∣ aj
. Ne segue che la matrice che rappresenta B `e diagonale nella base degli autostati di A.
B
∣ aj
= 1 B
∣ aj
i
| ai ⟩
ai
∣ B
∣ aj
= δij
ai
∣ B
∣ aj
∣ aj
Bjj.
Dunque gli autovettori di A sono anche autovettori di B (non necessariamente lo sono anche gli autova- lori). Indichiamo gli autostati comuni con la notazione (ridondante per spettri non degeneri ma utile nel caso in cui lo siano)
A | aibi ⟩ = ai | aibi ⟩ , B | aibi ⟩ = bi | aibi ⟩.
Se A, B condividono un insieme completo di autostati simultanei | ab ⟩, allora
AB | aibi ⟩ = bA | aibi ⟩ = ba | aibi ⟩ , BA | aibi ⟩ = aB | aibi ⟩ = ab | aibi ⟩.
Da cui ( AB − BA ) | aibi ⟩ = ( ba − ab ) | aibi ⟩ = 0 per tutti gli autostati e, dato che essi costituiscono una base completa, vale per tutti gli elementi dello spazio. Ne segue che [ A, B ] = 0.
Se lo spettro di A e degenere, la dimensione dello spazio di Hilbert sara maggiore del numero degli esiti possibili delle misure di A. Se B e compatibile con _A_ e none degenere nel sottospazio in cui A lo e, allora i suoi autovalori _bi_ possono essere utilizzati per completare le etichette della base. Questo vuol dire utilizzare gli autovettori che diagonalizzano _B_ nel sottospazio in cui _A_e degenere. I nuovi vettori di base sono anche autovettori di A. Se anche B ha autovalori che si ripetono sulla diagonale si deve cercare una terza osservabile C compatibile con A, B. Nel caso generale, e possibile trovare un **insieme massimale** di osservabili compatibili _A, B, C,..._ tali che gli autostati etichettati con i loro autovalori | _abc..._ ⟩ godano della proprieta di ortonormalit`a
abc...
∣ a ′ b ′ c ′^...
= δaa ′ δbb ′ δcc ′... e della propriet`a di completezza
a
b
c...^ | abc... ⟩⟨ abc... |^ =^1.^ L’insieme massimale non e l’insieme di tutte le osservabili che commutano fra di loro, mae quell’insieme tale da poter sfruttare i loro autovalori per identificare in modo univoco ciascun elemento della base ortonormale comune. Per questo motivo e anche detto ”sistema completo di osservabili” e l’informazione codificata in | _abc..._ ⟩e la massima informazione che possiamo avere sul sistema.
1.8 Misure in sequenza di osservabili compatibili
Consideriamo il caso in cui l’insieme massimale sia costituito da A e B. Se lo spettro di A e non degenere la misura di _A_ fara precipitare il vettore | α ⟩ nell’autostato di A con autovalore a. Una successiva misura di B non modifica lo stato fisico del sistema, misurando ancora A si riotterrebbe ancora a.
| α ⟩ −−misuro−−−−^ A −→ ottengo a | ab ⟩
non influenza la misura di A ︷ ︸︸ ︷ −−−−−−^ misuro−−−−^ B −−−−−→ ottengo b con certezza
| ab ⟩ −−−−−−misuro−−−−^ A −−−−−→ ottengo a con certezza | ab ⟩
Quando c’e degenerazione, l’atto di misura va inteso come una _proiezione in un sottospazio_ , piuttosto che come un collasso in un singolo stato. La definizione di misura come proiezione in sottospazie piu generale. Dopo la misura di _A_ il sistema precipita in un vettore appartenente al sottospazio _n_ - dimensionale dei vettori degeneri con con autovalore _a_. Tale vettoree esprimibile come combinazione lineare degli autostati con lo stesso a ma diverso b. Una successiva misura di B fornira _b_ e lo stato del sistema precipitera nell’autostato corrispondente. Un’ulteriore misura di A darebbe come esito ancora a. Anche in questo caso, la misura intermedia non distrugge l’informazione sullo stato del sistema in relazione all’osservabile A. Questo e il senso del concetto di compatibilita.
| α ⟩ misuro A −−−−−−−→ ottengo a
∑ n
i =
| abi ⟩
coeff. decomposiz. ︷ ︸︸ ︷ ⟨ abi | α ⟩ misuro B −−−−−−−→ ottengo bj ︸ ︷︷ ︸ non influenza la misura di A
abj
〉 (^) misuro A −−−−−−−−−−−−−−−→ ottengo a con certezza
abj
1.9 Misura in sequenza di osservabili non compatibili
Osservabili non compatibili non possiedono un insieme completo di autoket simultanei. Eseguiamo misure in sequenza di tre osservabili A, B, C , di cui A e B possono essere indifferentemente compatibili o meno, mentre C e incompatibile con entrambe. Prima misuriamo _A_ e il sistema precipita in | _a_ ⟩. Poi misuriamo _B_ e il sistema precipita in un autostato di _B_. Per il postulato della misura, la probabilita di ottenere un certo valore b dopo aver misurato a `e data da
P( a → b ) = |⟨ b | a ⟩|^2 =
j
b
∣ cj^ 〉 〈 cj
∣ a 〉
2
ij
⟨ b | ci ⟩ ⟨ ci | a ⟩
a
∣ cj^ 〉 〈 cj
∣ b 〉^. (1.36)
Se si inserisce la misura intermedia di C. Siamo interessati alla probabilita di ottenere _b_ nella misura di _B_ , partendo dallo stato | _a_ ⟩ e avendo ottenuto _c_ nella misura intermedia. Siccome le misure di _B_ e _C_ sono eventi casuali e indipendenti si tratta di un prodotto di probabilita. Il valore b si puo ottenere in corrispondenza di autovalori diversi di _C_ , percio la probabilita di _b_ va calcolata sommando le probabilita su tutti i valori possibili della misura intermedia:
P C ( a → b ) =
j
b
∣ cj
∣^2
cj
∣ a
∣^2 =
j
b
∣ cj
cj
∣ a
a
∣ cj
cj
∣ b
Le due probabilita sono evidentemente diverse anche se l’unica differenza sta solo nell’aver effettuato o meno la misura intermedia. Ragionando in modo classico le due probabilita dovrebbero essere le stesse. Quando si misura C , si ottiene una somma singola sugli stati intermedi; quando non la si esegue, si ottiene una somma su due indici che esprime l’interferenza tra tutti i possibili stati intermedi non misurati. Il prodotto interno da un numero complesso (modulo e fase), nella section 1.9 le fasi spariscono dentro i moduli quadro nella somma, mentre in eq. (1.36) si fa il modulo quadro della somma, lasciando termini contenenti funzioni sinusoidali delle differenze di fase dei vari addendi. Questo conferisce alla distribuzione statistica degli esiti una modulazione tipica dei fenomeni d’interferenza. Se A = B = Sz e C = Sx , sapendo che [ Sz , Sx ] = i ℏ Sy ̸= 0 allora P = 1 e P C = 12. Per questo motivo non `e possibile affermare che un atomo con un certo valore di Sz abbia contestualmente anche un valore di Sx.
1.10 Relazione di indeterminazione
Teorema 3. Relazione di indeterminazione - Date A e B due osservabili qualsiasi, con operatori che agiscono sullo stesso spazio di Hilbert H, vale sempre la seguente relazione:
∆ A ∆ B ≥
|⟨[ A, B ]⟩|. (1.37)
Dove ∆ A :=
⟨ A^2 ⟩ − ⟨ A ⟩^2 e lo _scarto quadratico medio_ dei risultati delle misure di _A_ su un generico stato | _α_ ⟩. Questa quantita da una stima di quanto la distribuzione statistica degli esiti delle misure di A e dispersa rispetto al suo valor medio. Se lo stato in cui si effettua la misurae gia un autostato di _A_ allora la misura da sempre, con certezza, lo stesso valore e la dispersionee nulla. Se cosı none, l’esito della misura e tanto piu indeterminato quanto piu ∆ _A_e grande. Questo teorema segue dai postulati della teoria. E una conseguenza del fatto che, a differenza di quella classica, le osservabili` in meccanica quantistica in generale non costituiscono un’algebra commutativa e che i vettori di stato forniscono predizioni di tipo probabilistico sugli esiti delle misure.
consideri l’operatore posizione in una dimensione x op, gli autoket che soddisfano x op
∣ x ′
= x ′^
∣ x ′
costi- tuiscono un insieme completo. Questo significa che si pu`o scrivere uno stato generico come combinazione degli autostati.
| α ⟩ =
−∞
d x ′^
∣ x ′
x ′
∣ α
Il meglio che un rilevatore puo faree localizzare una particella in un piccolo intorno di x ′. Quando si registra un conteggio in un rilevatore, avviene il cambio di stato:
| α ⟩ =
−∞
d x ′′^
∣ x ′′
x ′′
∣ α
∫ (^) x ′+∆ x
x ′
d x ′′^
∣ x ′′
x ′′
∣ α
La probabilita di trovare la particella in un certo intervallo ( _x_ ′ _, x_ ′^ + ∆ _x_ )e data da P( x ′) = d x ′^
x ′
α
Si ha l’analogo della relazione di completezza per spettri completi:
P =
∫ (^) x 2
x 1
d x ′^
x ′
∣ α
∣^2 =⇒ 1 =
−∞
d x ′^
x ′
∣ α
∣^2 =⇒
−∞
d x ′^
∣ x ′
x ′
La condizione di ortogonalit`a necessita di una modifica: δij non va bene per spettri continui. Paul Dirac ha introdotto la delta di Dirac per questo motivo. Non si tratta di una funzione, ma di una distribuzione , ossia un funzionale lineare continuo.
〈 x
∣ x ′
=: δ ( x − x ′) ,
−∞
d x f ( x ) δ ( x − x ′) = f ( x ′). (1.40)
Spettri discreti Spettri continui 〈 ai
∣ aj^ 〉^ = δij^ 〈 x
∣ x ′〉^ = δ ( x − x ′) ∑
i
| ai ⟩⟨ ai | = 1
d x | x ⟩⟨ x | = 1
| α ⟩ =
i
| ai ⟩ ⟨ ai | α ⟩ | α ⟩ =
d x | x ⟩ ⟨ x | α ⟩ ∑
i
|⟨ ai | α ⟩|^2 = 1
d x |⟨ x | α ⟩|^2 = 1
⟨ β | α ⟩ =
i
⟨ β | ai ⟩ ⟨ ai | α ⟩ ⟨ β | α ⟩ =
dx ⟨ β | x ⟩ ⟨ x | α ⟩ 〈 ai
∣ A
∣ aj
= ai δij
x
∣ x op
∣ x ′
= x δ ( x − x ′)
Due delle conseguenze del fatto che la posizione della particella non possa essere un punto di dimensione
nulla `e che
∣〈 x ′
∣ α 〉∣∣^2 non e una probabilita ma una densita di probabilita e che
∣ x ′〉^ non `e un autovettore
dell’operatore posizione nel senso della definizione per spettri discreti. Per gli spettri continui si parla di vettori impropri e la misura dell’osservabile dovrebbe essere intesa come il limite di una misura eseguita per intervalli finiti con spessore sempre pi`u piccolo. Si dice che
∣ x ′〉^ `e un autovettore improprio
dell’operatore x op con autovalore improprio x ′.
1.13 Posizione
E possibile estendere a 3 dimensioni quanto detto sinora. In meccanica quantistica^ **non relativistica** si suppone che gli autostati della posizione | **r** ⟩ = | _x, y, z_ ⟩ siano completi. Affinch´e sia possibile assegnare ad esse, simultaneamente, i tre valori corrispondenti,e necessario assumere che x, y, z siano osservabili compatibili, dunque | r ⟩ `e un autoket simultaneo delle tre osservabili x, y, z.
r op | r ⟩ = r | r ⟩ ,
[
xi, xj
]
1.14 Traslazioni spaziali e momento
Nello stesso spazio di Hilbert della posizione si pu`o definire l’operatore momento lineare. La scelta del sistema di coordinate fa parte delle procedure operative che definiscono l’osservabile posizione. Ci sono due tipi di traslazioni, o dislocazioni spaziali : quelle attive (traslare il sistema) e quelle passive (traslare le coordinate).
Definizione 6. Operatore di traslazione - L’operatore di traslazione spaziale infinitesima lungo x `e quell’operatore che, applicato a uno stato, ne cambia la posizione, lasciando invariato ogni altro parametro: τ x (d x ) | x ⟩ = | x ⟩ + d x. (1.42)
L’azione di τx (d x ) su | α ⟩ `e data da
τx (d x ) | α ⟩ =
d x ′^
∣ x ′
x ′^ − d x
∣ α
Questo dice che ⟨ x | τx (d x )| α ⟩ = ⟨ x − d x | α ⟩, ossia che la densita di probabilita di trovare la particella in x dopo aver lasciato agire l’operatore di traslazione `e la stessa che si aveva in x − d x prima.
Propriet`a operatore di traslazione :
i. τx (d x ) conserva la norma, τ (^) x † (d x ) τx (d x ) = τx (d x ) τ (^) x † (d x ) = 1, quindi conserva la norma dei vettori.
ii. Composizione di traslazioni: τx (d x 2 ) τx (d x 1 ) = τx (d x 1 + d x 2 ).
iii. Traslazione nel verso opposto: τx (− d x ) = τ (^) x −^1 (d x ).
iv. Una traslazione si sviluppa in modo continuo dall’identita e si riduce ad essa, la loro differenzae del prim’ordine in d x : limd x → 0 τx (d x ) = 1.
L’espressione piu generale che soddisfa le proprieta (i)-(iv) `e τx (d x ) = 1 − ikx d x , con kx operatore hermitiano. In 3 dimensioni: τ (d r ) = 1 − i k · d r. (1.43)
Per capire il significato fisico di k , notiamo che in generale vale la relazione
[
xi, op , kj
]
= iδij 1.
1.14.1 Una parentesi di fisica classica
In fisica classica una traslazione infinitesima pu`o essere considerata come una trasformazione canonica che coinvolge il momento p.
Definizione 7. Parentesi di Poisson - Assegnate le s coordinate generalizzate di un sistema e i loro momenti coniugati, prese due funzioni A ( q, p ) e B ( q, p ) `e possibile definire le parentesi di Poisson
{ A, B } =
∑^ s
i =
∂A
∂qi
∂B
∂pi
∂B
∂qi
∂A
∂pi
, (1.44a)
{ qi, pi } = δij. (1.44b)
L’ultima relazione e molto simile alla relazione di commutazione tra gli operatori posizione e **k**. Le parentesi di Poisson e il commutatore condividono molte proprieta, le differenze sostanziali stanno nelle dimensioni (a causa della differenziazione nelle parentesi di Poisson) e il fatto che il commutatore di operatori hermitiani e antihermitiano. Vogliamo prendere in prestito dalla fisica classica la nozione che il momentoe il generatore delle traslazioni infinitesime. Per analogia, si identifica k con il momento p.