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Capitolo 1
Introduzione
1.1 Modelli Matematici
Il termine modello indica una struttura appositamente costruita per eviden- ziare le caratteristiche di oggetti reali. Alcune volte i modelli possono essere concreti (come ad esempio i modelli che rappresentano i prototipi di aerei, navi oppure automobili), ma spesso sono di tipo astratto, come i cosiddetti modelli matematici che usano appunto il simbolismo matematico per eviden- ziare determinate caratteristiche di oggetti veri. In poche parole i modelli matematici non sono altro che insiemi di relazioni che descrivono, in modo semplificato, fenomeni reali. L’interesse nella modellistica deriva dal fatto che essa consente di studiare l’evoluzione di tali fenomeni senza che questo accada realmente. Si pensi per esempio alle simulazioni matematiche degli effetti di eventi catastrofici come i terremoti in zone abitate, in grado di for- nire informazioni sulle loro conseguenze che ovviamente non potrebbero mai essere note se non dopo tale evento (e di conseguenza del tutto inutili). I campi di applicazione dei modelli matematici sono attualmente i piu svariati: esempi concreti sono i modelli che descrivono la dinamica delle popolazioni, oppure la diffusione di epidemie oppure lo studio dell’inquinamento in de- terminati territori. Nei capitoli seguenti saranno analizzate le proprieta dei modelli matematici di ottimizzazione e saranno descritti alcuni metodi nu- merici per determinarne la soluzione. I modelli matematici possono essere di due tipi:
- Modelli stocastici: quando descrivono problemi influenzati da eventi casuali (ad esempio il modello matematico della teoria delle code, in
cui il tempo di servizio di uno sportello `e di tipo casuale);
- Modelli deterministici: quando descrivono grandezze esatte.
Una seconda suddivisione riguarda la validit`a dei modelli dal punto di vista temporale, infatti i modelli matematici possono essere:
- Modelli statici: se le relazioni tra le grandezze restano invariate nel tempo;
- Modelli dinamici: se le relazioni tra le grandezze dipendono dal tempo.
L’approccio modellistico di un problema reale viene realizzato attraverso diverse fasi:
- Analisi del problema: Consiste nell’analisi della struttura del problema con lo scopo di determinare l’obiettivo da raggiungere e le relazioni logico-funzionali;
- Costruzione del modello: Si descrivono in termini matematici le prin- cipali caratteristiche del problema e si traducono le relazioni tra le grandezze del problema;
- Analisi del modello: Si deducono analiticamente le propriet
a mate- matiche del modello (esistenza, unicita della soluzione, stabilit`a della soluzione e altre); - Soluzione numerica: Si desinisce un algoritmo per determinare (anche via software) la soluzione del problema;
- Validazione dei risultati: Si verifica la congruenza dei risultati numerici rispetto ai dati sperimentali di cui si `e in possesso. Nel caso in cui i dati siano discordanti allora si effettua un raffinamento del modello e si ripetono i passi precedenti.
Come detto la costruzione del modello matematico consiste nel tradurre una serie di relazioni logiche tra le grandezze reali coinvolte in termini, appunto, matematici. Per far questo e necessario applicare leggi fisiche, economiche, di mercato tradotte in equazioni algebriche, disequazioni, funzioni e cosı via. Poiche il modelloe definito per mezzo delle relazioni che lo costituiscono e necessario che queste siano il piu indipendenti possibile dai dati introdotti
deve essere 1000: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1000.
La quantita di silicio, in kg, presente nel prodotto risultantee data da
- 04 x 1 + 0. 01 x 2 + 0. 006 x 3
che deve essere tale da essere compresa nei limiti voluti (cioe deve essere superiore a 32.5 kg su 1000 kg di prodotto finito e inferiore a 55 kg nella stessa quantita di prodotto):
- 5 ≤ 0. 04 x 1 + 0. 01 x 2 + 0. 006 x 3 ≤ 55.
Possiamo quindi esprimere la condizione sulla percentuale di silicio mediante i due vincoli lineari
4 x 1 +x 2 +0. 6 x 3 ≥ 3250 4 x 1 +x 2 +0. 6 x 3 ≤ 5500.
Analogamente, per la condizione sulla percentuale di manganese (che deve essere superiore a 4.5 kg su 1000 kg di prodotto) si ottiene
- 0045 x 1 + 0. 005 x 2 + 0. 004 x 3 + x 4 ≥ 4. 5
e quindi
- 45 x 1 + 0. 5 x 2 + 0. 4 x 3 + 100x 4 ≥ 450.
Infine il costo complessivo del prodotto risultante `e
- 025 x 1 + 0. 030 x 2 + 0. 018 x 3 + 10x 4.
Il problema della determinazione di un piano di produzione che minimizza il costo pu`o quindi essere formulato come segue:
min Z = 0. 025 x 1 + 0. 030 x 2 + 0. 018 x 3 + 10x 4
4 x 1 +x 2 +0. 6 x 3 ≥ 3250 4 x 1 +x 2 +0. 6 x 3 ≤ 5500
- 45 x 1 +0. 5 x 2 +0. 4 x 3 +100x 4 ≥ 450 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 1000
xi ≥ 0 , i = 1, 2 , 3 , 4.
Le variabili x 1 , x 2 , x 3 e x 4 corrispondono alle scelte operative che il problema reale richiede di compiere, e ciascun vincolo del modello corrisponde ad una condizione imposta dal problema reale. Determinare i valori delle variabili in modo che i vincoli siano soddisfatti e la funzione obiettivo assuma il minimo valore fornisce il miglior piano di produzione.
Un problema di pianificazione della produzione
Un’industria chimica produce quattro tipi di fertilizzante, la cui lavorazione e affidata a due reparti: produzione e confezionamento. Per ottenere fertiliz- zante pronto per la venditae necessaria la lavorazione in entrambi i reparti. La seguente tabella riporta, per ciascun tipo di fertilizzante, i tempi (in ore) necessari per la lavorazione in ciascun reparto per avere una tonnellata di prodotto pronto per la vendita
Reparto Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Produzione 2 1.5 0.5 2. Confezionamento 0.5 0.25 0.25 1
Dopo aver dedotto, da ciascuna tonnellata, il costo del materiale grezzo, una tonnellata di fertilizzante produce i seguenti profitti (in euro per tonnellata):
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Profitto netto 250 230 110 350
Si vuol determinare la quantita di fertilizzante di ciascun tipo da produrre settimanalmente in modo tale da massimizzare il profitto sapendo che il reparto produzione puo lavorare al piu 100 ore la settimana mentre il reparto confezionamento al piu 50 ore settimanali. Definiamo, come variabili del modello, quelle pari al numero di tonnellate prodotte settimanalmente per ciascun tipo di fertilizzante:
xi = tonnellate dell’i−esimo tipo di fertilizzante prodotte settimanalmente.
Scopo `e la massimizzazione del profitto complessivo, che si ottiene moltipli- cando il profitto unitario per il numero di tonnellate prodotte:
Z = 250x 1 + 230x 2 + 110x 3 + 350x 4.
L’obiettivo e quello di determinare le quantita xj , j = 1,... , n, in modo tale che venga minimizzato il valore di Z, purche le quantita dell’i−esimo nu- triente sia superiore al valore minimo giornaliero bi. In definitiva il problema pu`o essere formulato nel seguente modo:
min Z =
∑^ n
j=
cj xj
Soggetto a:
∑^ n
j=
aij xj ≥ bi, i = 1,... , m
xj ≥ 0 , j = 1,... , n.
Per esempio supponiamo di dover decidere nella dieta di un certo giorno di poter scegliere tra il filetto di manzo, il pecorino e le melanzane. Il filetto costa 20 e/kg, il pecorino 11 e/kg e le melanzane 3 e/kg. Si devono soddi- sfare i seguenti requisiti nutrizionali: almeno 26 grammi di proteine, almeno 80 grammi di vitamina A, almeno 30 grammi di vitamina B. Nella seguente tabella sono indicati i grammi di nutrienti in ogni chilogrammo di alimento.
Filetto Pecorino Melanzane Minimo consentito Proteine 50 15 3 26 Vitamina A 10 8 9 80 Vitamina B 6 5 12 30 Costo al kg 20 11 3
Indicando con x 1 la quantita (in chilogrammi) di filetto da acquistare, con x 2 la quantita di percorino e con x 3 la quantita di melanzane da acquistare, il problema puo essere formulato come segue:
min Z = 20x 1 + 11x 2 + 3x 3 Soggetto a:
50 x 1 +15x 2 +3x 3 ≥ 26 10 x 1 +8x 2 +9x 3 ≥ 80 6 x 1 +5x 2 +12x 3 ≥ 30 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
Il problema dello zaino
Sia dato un insieme E di n elementi, a ciascuno dei quali sia assegnato un peso ai ed un valore ci, i = 1,... , n, interi e positivi. Il problema dello zaino (KP, da Knapsack Problem) consiste nel determinare un sottoinsieme di elementi che abbia valore totale massimo ed il cui peso totale non superi un prefissato intero b. Il nome deriva dal fatto che viene usualmente descritto come il problema di scegliere quali oggetti di un dato insieme mettere in uno zaino in modo da non superare un dato peso (o capacit`a) e da massimizzare appunto il valore complessivo degli oggetti selezionati. Si assume che sia
0 < b <
∑^ n
i=
ai,
altrimenti il problema sarebbe banale e che inoltre sia
ai ≤ b, i = 1,... , n
in quanto nessun elemento di peso superiore alla capacita b puo far parte di una soluzione e quindi ogni elemento di peso superiore a b puo essere eliminato da E. Il problema puo essere scritto come un problema di massimo. Possiamo formulare il problema come uno di programmazione lineare introducendo, per ogni oggetto i = 1, 2 ,... , n, una variabile xi ∈ { 0 , 1 }, con il significato che la variabile assume valore 1 se l’elemento i-esimo appartiene al sottoinsieme selezionato, e 0 altrimenti (si decide cioe se inserire o meno l’oggetto). La condizione relativa alla capacita dello zaino diviene
∑^ n
i=
aixi ≤ b
infatti, dato che ciascuna xi puo assumere solo i valori 0 o 1, nella som- ma vengono considerati i pesi dei soli oggetti selezionati. Analogamente, la funzione obiettivo, da massimizzare,e
Z =
∑^ n
i=
cixi
Coltivazione Cooperativa 1 2 3 Barbabietola x 1 x 2 x 3 Cotone x 4 x 5 x 6 Sorgo x 7 x 8 x 9
Ovviamente la funzione da massimizzare e il guadagno totale netto che si ottiene moltiplicando la quantita totale di ettari destinati a ciascun singolo prodotto per il guadagno netto per ettaro:
Z = 1000(x 1 + x 2 + x 3 ) + 750(x 4 + x 5 + x 6 ) + 250(x 7 + x 8 + x 9 ).
I vincoli sono di quattro tipi:
- Terra utilizzabile da ciascuna cooperativa:
x 1 +x 4 +x 7 ≤ 160 x 2 +x 5 +x 8 ≤ 240 x 3 +x 6 +x 9 ≤ 120 ,
- Acqua utilizzabile da ciascuna cooperativa:
3 x 1 +2x 4 +x 7 ≤ 600 3 x 2 +2x 5 +x 8 ≤ 800 3 x 3 +2x 6 +x 9 ≤ 375 ,
- Terra utilizzabile complessivamente per ciascuna coltivazione:
x 1 +x 2 +x 3 ≤ 240 x 4 +x 5 +x 6 ≤ 200 x 7 +x 8 +x 9 ≤ 130 ,
- Stessa proporzione di terra coltivata:
x 1 + x 4 + x 7 160
x 2 + x 5 + x 8 240
x 2 + x 5 + x 8 240
x 3 + x 6 + x 9 120 x 3 + x 6 + x 9 120
x 1 + x 4 + x 7 160
che in questo caso sono espresse scrivendo tutte le variabili al primo membro:
3(x 1 + x 4 + x 7 ) − 2(x 2 + x 5 + x 8 ) = 0 x 2 + x 5 + x 8 − 2(x 3 + x 6 + x 9 ) = 0 4(x 3 + x 6 + x 9 ) − 3(x 1 + x 4 + x 7 ) = 0 ,
ovviamente oltre alla condizioni di nonnegativit`a, xi ≥ 0, i = 1,... , 9.
Un problema di scheduling del personale
Una compagnia aerea sta riorganizzando i servizi nel proprio aeroporto prin- cipale e per questo deve effettuare una politica di nuove assunzioni delle quali si deve decidere la numerosita. Per questo vengono analizzate le necessita legate ai diversi momenti della giornata, considerando che il proprio perso- nale deve essere ripartito in 5 turni di lavoro che coprono l’intero arco delle 24 ore: Turno 1: dalle 6.00 alle 14. Turno 2: dalle 8.00 alle 16. Turno 3: dalle 12.00 alle 20. Turno 4: dalle 16.00 alle 24. Turno 5: dalle 22.00 alle 6.00. Inoltre, per il numero minimo di lavoratori che devono essere presenti nelle diverse fasce orarie della giornata e per i relativi costi di un’unita di personale sono stati individuati i seguenti dati:
Turno Fascia oraria 1 2 3 4 5 Addetti 6.00-8.00 × 40 8.00-10.00 × × 70 10.00-12.00 × × 65 12.00-14.00 × × × 80 14.00-16.00 × × 65 16.00-18.00 × × 70 18.00-20.00 × × 80 20.00-22.00 × 40 22.00-24.00 × × 50 24.00-6.00 × 15 Costo per addetto 170 e 160 e 175 e 180 e 200 e
Un problema di pianificazione urbana
Il piano regolatore di una citt`a prevede che in una zona debbano essere co- struiti il nuovo ospedale, il carcere, una caserma dei Vigili del Fuoco, una scuola, un parcheggio ed una chiesa. Sono state indivduate 6 zone in cui le strutture potrebbero essere costruite e, per ciascun’opera, sono stati deter- minati i costi per l’eventuale realizzazione in ognuna delle aree. Tali costi (in milioni di euro) sono riassunti nella seguente tabella.
Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Zona 6 Carcere 7. 0 8. 0 6. 5 9. 0 8. 0 7. 0 Ospedale 9. 0 9. 0 8. 0 7. 0 6. 0 9. 0 Caserma 4. 0 4. 5 3. 5 4. 0 3. 0 3. 5 Scuola 2. 0 2. 0 1. 5 2. 5 1. 0 1. 5 Parcheggio 0. 5 0. 3 0. 5 0. 6 0. 5 0. 6 Chiesa 2. 0 1. 5 1. 0 1. 5 2. 0 1. 8
Si vuole pianificare la costruzione delle 6 opere pubbliche minimizzando il costo complessivo della loro realizzazione. In questo caso il problema che si vuole descrivere e quello di associare ad ogni elemento di un insieme (ovvero quello delle opere da costruire) un sin- golo elemento di un secondo insieme (ovvero quello delle zone edificabili), in modo tale che non ci sia nessun elemento (di entrmbi gli insiemi) che non sia associato a nulla oppure abbia piu associazioni. Definiamo quindi le variabili xij tali che
xij =
1 se la i−esima opera viene realizzata nella j−sima zona;
0 altrimenti
per i, j = 1,... , 6. Ogni xij e una variabile binaria (puo assumere solo due valori). Per esempio se fosse x 11 = 1 allora tutte le variabili x 1 j , con j 6 = 1, e xi 1 , con i 6 = 1, dovrebbero essere uguali a zero. Il valore assunto da tale insieme di variabili potrebbe essere riassunto in una matrice, per esempio la seguente
X =
Indicato con cij il costo richiesto per la realizzazione della i−esima opera nella j−sima zona, il costo complessivo richiesto risulterebbe essere
Z =
∑^6
i=
∑^6
j=
cij xij (1.2)
Se la scelta fosse stata quella schematizzata dalla matrice (1.1) allora il costo complessivo sarebbe stato pari a
Z = 7 + 8 + 3.5 + 2.5 + 0.3 + 2 = 15.3 Me.
Obiettivo `e quello di minimizzare la funzione (1.2) al variare di tutte le possibili matrici (1.1). I vincoli sono legati alla richiesta che ogni riga ed in ogni colonna della matrice X ci deve essere solo un elemento uguale a
- Questo pu
o essere tradotto richiedendo che la somma degli elementi di ogni riga e di ogni colonna della matrice X sia uguale a 1 e che gli elementi possano essere uguali a 0 o a 1. Riassumendo il modello matematicoe il seguente
min Z =
∑^6
i=
∑^6
j=
cij xij
soggetto ai vincoli ∑^6
j=
xij = 1, i = 1,... , 6
∑^6
i=
xij = 1, j = 1,... , 6
xij ∈ { 0 , 1 }.
Un esempio sportivo
Si sa che una squadra di pallavolo dopo 15 partite di campionato ha vinto 20 set e ne ha persi 30. Si vuol determinare il massimo dei punti che potrebbe avere ottenuto. Come noto i possibili risultati di una partita di pallavolo sono solo sei: tre per la vittoria (per 3 set a zero, 3 set a 1 oppure 3 set a 2) e tre per la sconfitta (analogamente 0-3, 1-3 oppure 2-3). Il numero di punti assegnati per la
pari a 150 metri quadri. Il serbatoio deve essere collocato all’interno di un capannone a pianta quadrata con lato di 15 metri e con un tetto spiovente dall’altezza di 7 metri fino all’altezza di 4 metri. Per semplicit`a si suppone che il serbatoio abbia la forma di un prisma retto con base quadrata. Si vuole formulare il problema di determinare le dimensioni del serbatoio in modo tale che il volume sia massimo.
Appare chiaro che, dovendo determinare le dimensioni del serbatoio, ovvero la lunghezza del lato di base e dell’altezza, si pongano, come variabili del problema: x 1 = lunghezza del lato di base x 2 = lunghezza dell’altezza.
Il volume del serbatoio `e quindi
Z = x^21 x 2
che `e la funzione da massimizzare. I vincoli sulle variabili del problema sono di due tipi:
- vincoli sulla quantit`a di lamiera da utilizzare;
- vincoli sulle dimensioni del serbatoio rispetto al capannone che lo deve contenere. La lamiera disponibile (ovvero 150 metri quadri) deve essere sufficiente per costruire solo la base e le pareti laterali, ovvero la superficie complessiva deve essere x^21 + 4x 1 x 2 = 150.
Per quello che riguarda le dimensioni deve essere innanzitutto
x 1 ≤ 15.
Per determinare il vincolo sull’altezza calcoliamo prima la pendenza del tetto (ovvero il rapporto tra la differenza di ordinate e quella di ascisse):
p =
cosicch`e, dalla seguente figura (non in scala)
x 1
x 2
y = 0. 2 x 1
si evince che deve essere x 2 + 0. 2 x 1 = 7.
x 1
x 2
A
B
C
R
Siano (x 1 , x 2 ) le coordinate del punto dove costruire la raffineria R. Calcolia- mo le distanze di R dai tre porti:
AR =
x^21 + x^22 BR =
(x 1 − 200)^2 + (x 2 − 150)^2 CR =
(x 1 − 100)^2 + (x 2 − 300)^2
cosicche la distanza totale dai tre portie la funzione
Z =
x^21 + x^22 +
(x 1 − 200)^2 + (x 2 − 150)^2 +
(x 1 − 100)^2 + (x 2 − 300)^2.
Un primo vincolo e che risulti x 2 ≥ 0 (la raffineria deve trovarsi infatti a nord del porto A). Inoltre deve distare da questo piu di 100 km quindi deve essere
x^21 + x^22 ≥ 1002.
Il problema pu`o essere quindi formulato nel seguente modo
min Z =
x^21 + x^22 +
(x 1 − 200)^2 + (x 2 − 150)^2 +
(x 1 − 100)^2 + (x 2 − 300)^2
x^21 + x^22 ≥ 10000
x 2 ≥ 0.
Capitolo 2
Programmazione lineare
2.1 Introduzione
I problemi di ottimizzazione, alcuni dei quali sono stati descrittti nel prece- dente capitolo, hanno la seguente forma { max Z = f (x) x ∈ S
dove f `e una funzione f : Rn^ −→ R
mentre S ⊆ Rn. Una possibile variazione del problema (2.1) `e che il problema sia quello di minimizzare f (x). La funzione
Z = f (x 1 , x 2 ,... , xn)
viene detta funzione obiettivo, le variabili x 1 , x 2 ,... , xn, prendono il nome di variabili decisionali. Un punto x ∈ S viene detto soluzione ammissibile. Un problema viene detto inammissibile se S = ∅. Tra i diversi problemi di ottimizzazione `e possibile distinguere i seguenti tipi:
- Problemi di Ottimizzazione Continua, se le variabili possono assumere valori reali, ovvero x ∈ Rn, in particolare si parla di Ottimizzazione Vincolata se S ⊂ Rn, Ottimizzazione Non Vincolata se S = Rn.
- Problemi di Ottimizzazione Discreta, se le variabili possono assumere valori interi, ovvero x ∈ Nn, in particolare si parla di Programmazione Intera se S ⊂ Nn, Programmazione Binaria se le variabili decisionali possono assumere come valore solo 0 oppure 1.
