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METODI QUANTITATIVI 1
STATISTICA : studio dei fenomeni collettivi , ossia osservabili quotidianamente e/o ripetutamente nel tempo. Si basa su un processo di tipo induttivo/inferenziale; dall’osservazione di una serie di casi particolari (dati) si risale a una legge generale tramite l’applicazione del metodo scientifico. L’operazione di raccolta dei dati è definita rilevazione e rimanda al concetto di osservazione → osservare con attenzione e annotare → consiste nell’associare a ogni us un’unica modalità; il concetto stesso di rilevazione rimarrebbe puramente astratto se non ne specificassimo:
- Popolazione (su chi/cosa si basa la mia osservazione)
- Caratteri di interesse (oggetto)
- Modalità/Tecniche di indagine (come raccogliere concretamente i dati)
- Luogo e tempistiche Rilevazione → formulazione e verifica ipotesi → formulazione legge generale Obiettivi dell’analisi statistica:
- Descrittiva → fornire una sintesi dei dati raccolti per renderli + comprensibili
- Inferenziale → utilizzare le info ricavate dalla statistica descrittiva per adattarle a casi il più generale possibili e quindi trarre conclusioni generali Popolazione : insieme di tutti gli elementi attraverso cui il fenomeno ogg di studio si manifesta in maniera in/diretta. Ogni elemento della popolazione è detto unità statistica (us); la popolosità è data dal n di us. La popolazione è finita se si basa su un n di us finito/determinato e quindi è possibile determinarne la numerosità, altrimenti è infinita. Non sempre la popolazione è interamente osservabile, spesso siamo in grado di osservarne solo una parte. Il fatto che una popolazione sia finita, non implica necessariamente che sia osservabile nella sua interezza. Campione : (sottoinsieme della popolazione) frazione di popolazione su cui verte l’indagine; è considerato rappresentativo della popolazione e le conclusioni tratte possono essere estese (in alcuni casi) all’intera popolazione → ciò pone delle problematiche: l’idea potrebbe essere distorta perché non è detto che il campione sia effettivamente rappresentativo; la mera raccolta di dati è inutile senza un’adeguata classificazione dei medesimi. Occorre prestare attenzione alle tecniche utilizzate. Il campione può essere casuale se selezionato in maniera casuale (es: questionari online rivolti a chiunque), ossia determinato da cause esterne alla propria volontà. Modalità : espressione con cui può manifestarsi il carattere in relazione all’us in esame. Osservare/raccogliere i dati significa associare a ogni us una e una sola modalità. Carattere : aspetto tramite cui può essere percepito il fenomeno collettivo in esame ➔ Qualitativo : modalità espressa in termini di attributi (sostantivo, aggettivo o numero) non ha senso svolgere un’operazione matematica (es: provincia di residenza)
- Sconnesso: totale assenza di una relazione d’ordine naturale tra gli attributi, non possono essere messi in relazione tra loro (es: sesso, comune di residenza, materia preferita…)
- Ordinale: esiste una relazione d’ordine naturale tra gli attributi (es: valutazione esame, ordine d’arrivo di una gara, taglie dei vestiti…)
➔ Quantitativo : modalità espresse in termini numerici, ha senso effettuare delle operazioni aritmetiche
- Discreto: in un insieme finito (es: n di componenti di una famiglia, n di studenti in una classe, n di passeggeri su un aereo…)
- Continuo: in un intervallo/insieme infinito (es: temperatura, che può assumere valori in un intervallo tendenzialmente non definito, peso, altezza)
- In classi: modalità rappresentate da classi di misure, le risposte appaiono come un raggruppamento (es: questionari con un range d’età, ossia classi) Il fatto che un dato appaia sotto forma di numero, non implica che sia quantitativo. Ad es possiamo attribuire/codificare un carattere qualitativo tramite un numero (es: 1= Lombardia, 2= Piemonte…), a ogni codice corrisponde una regione, ma si tratta sempre di un carattere qualitativo. Es: analizzare sesso, età, provincia di residenza e voto di maturità di tutti gli studenti immatricolati al 1° anno. Popolazione= studenti immatricolati, Us= singolo studente numerosità= n di studenti immatricolati caratteri= sesso, età… Le modalità non sono esplicitate nell’esempio, ma si può risalirvi: per il sesso si tiene conto di M o F, l’età a partire dai 18 anni (essendo studenti universitari), la provincia tramite sigla, e per il voto si possono stabilire varie classi (es: 60-79, 80-90…) Es: analizzare le caratteristiche della clientela italiana di un’azienda che vende sia in Italia sia all’estero facendo riferimento alla regione di appartenenza e al n di ordini effettuati in un anno. La popolazione è la clientela solo italiana, l’us è il singolo cliente, la numerosità è il n di clienti, i caratteri sono la regione (qualitativo sconnesso) e gli ordini (quantitativo discreto) Matrice = tabella, generalmente le righe corrispondono alle us e le colonne ai caratteri. La numerosità campionaria è il n di us che osserviamo nella matrice. I dati, seppur classificati, non sono informativi di per sé ma lo diventano se riorganizzati adeguatamente secondo un criterio logico: l’obiettivo è ottenere una sintesi numerica e/o una rappresentazione grafica dei dati raccolti che ci permette di cogliere un’immagine del fenomeno in esame. Quando dei valori si ripetono più volte, si possono sintetizzare in una tabella/grafico. È importante controllare che la somma di tutte le us sia pari al totale → spoglio dei dati : in qualunque indagine, alla raccolta dei dati grezzi segue una procedura schematizzata.
- All’interno della sequenza dei dati grezzi si identificano tutte le possibili modalità del carattere oggetto di studio: indichiamo con Xi una generica modalità
- Contare su quante us è stata osservata la stessa modalità; ottengo la frequenza assoluta Ni della modalità Xi.
- La tabella rappresenta la distribuzione di frequenze
INDICI DI POSIZIONE o MISURE DI TENDENZA CENTRALE INDICATORI DI SINTESI In aggiunta o in alternativa della rappresentazione grafica, può essere utile un valore numerico singolo che ci consente di sintetizzare e visualizzare le caratteristiche di un’intera distribuzione o aspetti specifici. Vari indicatori, rispondono a necessità di informazioni diverse. Per le variabili quantitative: ➔ Di posizione (o misure di tendenza centrale) → valore centrale, mediana, quartili, moda, media aritmetica ➔ Di dispersione → range, differenza interquartile, varianza (e deviazione standard) ➔ Di concentrazione → casi di equidistribuzione, massima concentrazione oppure intermedi (diagramma di Lorenz e indice di Gini) INDICI DI POSIZIONE (5)
1. il Valore centrale di una distribuzione considera il valore max e min assunti dalla distribuzione. 2. Mediana Supponiamo di avere una distribuzione di frequenze con caratteri quantitativi ordinabili in ordine crescente, possiamo identificare un valore soglia (Me) che ci consenta di dividere la distribuzione in 2 parti. Ordino i dati grezzi in ordine crescente, calcolo la numerosità del campione, la divido in 2 sottoinsiemi di uguale numerosità e identifico il valore che sta a metà. 3. Quartili Lo stesso ragionamento del calcolo della mediana può essere applicato a ciascuno dei 2 sottoinsiemi da essa definiti. Se i campioni hanno una numerosità non perfettamente divisibile per 4, ordino i dati in ordine crescente, calcolo il 25, 50 e 75% (in caso di numeri decimali arrotondo per eccesso) e individuo la posizione dei vari quartili. Q2 corrisponde alla mediana → Q2= Me → la mediana è un caso particolare di quartile Perché arrotondiamo per eccesso? Trattandosi di posizioni, è necessario avere un numero intero che comprenda il valore minimo di ciascun quartile (rispettivamente 25, 50 e 75). Il 1/2/3° quartile è il + piccolo valore osservato della variabile quantitativa tale per cui la frequenza cumulata è almeno il 25/50/75 %. Frequenza cumulata (associata a una modalità): somma tra la frequenza della modalità in esame e di tutte le frequenze delle modalità precedenti. Box-plot (o diagramma a scatola e baffi ). Grafico che ci consente di: - Visualizzare i quartili e alcune info di sintesi rispetto alla distribuzione - Individuare tra quali valori max/min è compresa la distribuzione - Capire se vi è una forte o debole dispersione dei dati La scatola si estende dal 1° al 3° quartile ed è tagliata dalla Me ( Q2 ); i 2 baffi si estendono dal 1° quartile al valore minimo. Scegliamo un asse di riferimento (di solito verticale) e riportiamo i valori di riferimento.
4. Moda È calcolabile solo per variabili quantitative: - discrete → corrisponderà al valore per il quale si registra la massima frequenza (quello + diffuso) - con dati in classi → sarà la classe con la massima densità di frequenza Distribuzione bimodale = 2 valori compaiono con la frequenza massima. 5. Media aritmetica La media è calcolabile solo per caratteri quantitativi trasferibili → per i quali può essere operata una redistribuzione tra gli individui. Es: quote di mercato, reddito, n di dipendenti per reparto… Redistribuzione : concetto virtuale, se ho una quantità totale, posso distribuirla tra tutte le varie us e il valore comune che verrà raggiunto sarà di fatto la media. Es: reddito, peso, altezza, età, quote di mercato di un’azienda… possiamo immaginare di avere un campione di 3 individui, e togliere un po’ di soldi al 1° individuo e distribuirli tra il 2° e il 3° in modo che tutti e 3 raggiungano lo stesso livello di reddito, ossia il reddito medio tra questo campione La media è un indicatore che risente molto dei valori estremi, capita che sovrastima/sottostima alcuni valori. Se un valore si ripete, avrà un peso maggiore nel determinare il risultato finale, sarà vicino a questo → questo ripetersi è la frequenza assoluta. Posso calcolare la media a partire dalle singole modalità e dalle frequenze assolute oppure relative a esse associate. Se ho i dati grezzi, li sommo e li divido per N. Oppure posso partire dalla distribuzione delle frequenze assolute (se la ho) → posso sommare le moltiplicazioni tra ciascuna modalità e le rispettive frequenze assolute, dividendo per N. Oppure a partire dalle frequenze relative. INDICI DI DISPERSIONE (3) Indicatori che ci permettono di misurare quanto sia variabile un carattere quantitativo → la variabilità è l’attitudine di un fenomeno ad assumere valori diversi e distanziati tra loro. L’obiettivo è misurare lo scostamento (scarto) dei dati dalla media aritmetica della distribuzione, → ottenere un solo numero che racchiuda le info sulla variabilità. Stiamo misurando delle distanze, quindi gli indici di dispersione non possono assumere valori negativi → maggiore è la distanza, maggiore è la dispersione; il valore di un indice di dispersione è direttamente proporzionale alla variabilità del fenomeno.
INDICI DI CONCENTRAZIONE
Scopo: misurazione di come un carattere trasferibile (redistribuibile tra gli individui) sia ripartito tra la popolazione. → comprendere quanto la distribuzione sia concentrata rispetto a un valore medio. Possono esserci dei casi opposti ( estremi ): ➢ Equidistribuzione → l’intero ammontare delle risorse disponibili è diviso in parti uguali tra tutti gli individui → concentrazione pari a 0 ➢ Massima concentrazione → quando un singolo individuo detiene l’intero ammontare delle risorse disponibili → vi è un’unica unità statistica che ha il 100% delle risorse, mentre le altre us hanno 0 La concentrazione si ha quando un individuo ha un ammontare di risorse superiore ad altri, mentre nei casi estremi non si può parlare di concentrazione. Se tutti gli individui hanno la stessa quota del totale, non c’è concentrazione. Indichiamo A l’ammontare complessivo disponibile per la redistribuzione tra gli individui; poniamo i dati in ordine crescente. Per misurare la concentrazione nei casi intermedi (tra equidistribuzione e max concentrazione) abbiamo a disposizione 2 strumenti strettamente collegati tra loro: ➢ Diagramma di Lorenz → rappresentazione grafica che consente una quantificazione e un confronto immediato tra la concentrazione osservata nello schema e quella che sarebbe la situazione ideale di equidistribuzione → strumento puramente grafico ➢ Indice di Gini → strumento numerico Diagramma di Lorenz — procedimento :
- Dispongo i dati in ordine crescente, calcolo l’ammontare cumulato ( Ai ) che le prime us detengono congiuntamente
- La prima us quale quota/proporzione detiene del totale? Divido la quota di pertinenza per il totale delle risorse disponibili, e ottengo la proporzione cumulata del totale di pertinenza delle prime us
- Determinano la proporzione cumulata del totale di pertinenza delle prime us, in relazione alla situazione ideale di equidistribuzione
- Confronto qi e pi (in caso di equidistribuzione sono equivalenti, in caso di max concentrazione qi è minore di pi ) Qi è analogo alle frequenze cumulate relative. Convenzionalmente q0 e p0 hanno sempre valore 0. La quota di pertinenza è il rapporto tra l’ammontare detenuto da un tot di us rispetto al totale dell’ammontare. (?) Situazione ideale : perfetta ripartizione delle risorse tra gli individui → i dati sono tutti uguali, calcolo la ricchezza cumulata e la proporzione cumulata della ricchezza detenuta dalle prime us. In caso di equidistribuzione Qi è il caso/schema ideale → la proporzione cumulata di ricchezza delle prime us è esattamente identica a quella teorica ideale. Se il reddito è equidistribuito, la proporzione q coincide con la proporzione di ricchezza cumulata teorica (p) → q=p → situazione ideale. P è un valore teorico (ci serve semplicemente come riferimento, stabilisce la relazione di incrementi di ricchezza costanti): la proporzione di ricchezza cumulata rispetto al totale detenuta dalle prime us
dovrebbe essere pari all’indice di riferimento dell’unità statistica sul numero totale di us → tutte le us devono dividersi il patrimonio in parti uguali. In caso di massima concentrazione q è sempre 0 finchè non si arriva a considerare l’ultimo individuo dell'elenco che detiene l’intero. Negli altri casi la proporzione cumulata è sempre inferiore a quella ideale. La concentrazione è definibile rispetto agli estremi (concentrazione nulla e concentrazione massima). Nel caso in cui vi sia concentrazione, è fondamentale aver prima ordinato in ordine crescente i redditi, q risulta sempre inferiore a p perchè abbiamo messo per ultimo l’individuo che da solo detiene la ricchezza maggiore → la situazione è sbilanciata: tutti gli individui che vengono prima di lui sono + poveri, detengono una quantità di ricchezza inferiore. Costruzione grafico (slide 17) Fissiamo q0=0 e p0=0. Sull’asse delle ascisse pongo il valore teorico p, sulle ordinate il valore concreto q. La curva che si viene a delineare è definita curva di Lorenz , da interpretare in riferimento al caso di equidistribuzione (rappresentato da una retta inclinata a 45°, la bisettrice del 1° quadrante). Quanto + la curva si avvicina alla bisettrice, tanto + la concentrazione è minore. Quanto + la concentrazione è minore, tanto + l’area è ristretta. → Area e concentrazione sono direttamente proporzionali. Nel caso di massima concentrazione q è sempre 0, quindi ottengo un segmento che si sovrappone all’asse delle ascisse → l’area massima è quella data dai 2 segmenti rossi e dalla retta blu. Questo grafico che ci permette di mettere a confronto la curva di Lorenz e la curva di equidistribuzione (ed eventualmente anche di massima concentrazione) prende il nome di diagramma di Lorenz. Indice di Gini — procedimento : Confrontare q concreto osservato con il p teorico. Calcolo la differenza (p - q) → poi sommo le varie differenze e trovo un numero. In caso di equidistribuzione, p=q=0 → la sommatoria su tutte le us delle differenze tra p e q è 0, qualunque sia il n di us. In caso di massima concentrazione, calcolo e sommo le differenze tra p e q → è possibile dimostrare che questo valore è esattamente pari al n di us totali Il massimo valore possibile in caso di equidistribuzione è 0, mentre in caso di massima concentrazione dipende dal n di us (N-1:2). Es: se il valore di massima concentrazione è 2, mentre la sommatoria è 0.55, la concentrazione non è molto alta perché il valore è vicino allo 0 (valore fisso minimo). Posso interpretarla ma non precisamente.
LA PROBABILITÀ → rif Teoria degli insiemi disciplina che sfrutta processi di tipo deduttivo (percorso inverso rispetto alla statistica): da un principio generale si ricavano info per dei fenomeni particolari. Insieme : connessione di elementi 2 insiemi sono uguali se contengono esattamente gli stessi elementi, dal punto di vista sia quantitativo sia qualitativo (A=B) Se un insieme A è interamente contenuto nell’insieme B, allora A è un sottoinsieme di B: ➔ Ogni insieme è un sottoinsieme di sé stesso ➔ Se 2 insiemi sono uguali, l’uno è sottoinsieme dell’altro 3 operazioni tra insiemi:
- Unione (A U B) → partendo da 2 insiemi distinti, ne otteniamo un terzo che ha come elementi tutti quelli di A e di B
- Intersezione → (concetto opposto all’ U) otteniamo un nuovo insieme formato da tutti quegli elementi che sono in comune tra gli insiemi di partenza (appartengono sia ad A che a B). L’intersezione tra 2 insiemi disgiunti (ossia che non hanno alcun elemento in comune) è l ’insieme vuoto (pur non contenendo elementi, esiste come insieme).
Famiglia di insiemi → insieme di + insiemi ( Ω ) → quando sono in grado di identificare chiaramente
un insieme di mio interesse e una famiglia di insiemi, è possibile definire l’ operazione di complementarietà :
- Complementarietà → posso definire l’insieme identificato come complementare all’insieme di riferimento → il complementare di A (Ac) è un insieme che contiene tutti gli elementi che
appartengono a Ω ma non ad A.
L’intersezione tra A e il suo complementare è necessariamente un insieme vuoto.
L’unione tra A e il suo complementare è la famiglia (insieme Ω ).
Il concetto di probabilità ci consente di misurare l’ incertezza → so che in conseguenza dell’esecuzione di un esperimento, ci saranno dei risultati e sappiamo l’intervallo in cui questi saranno collocati ma non so esattamente cosa uscirà (nel lancio del dado so che può uscire un numero compreso tra 1 e 6). Esperimento : attività rispetto alla quale può verificarsi un certo numero di risultati, non identificabile a priori (es: lancio moneta).
Lo spazio campionario (o spazio degli eventi ), Ω , è l’insieme di tutti i possibili esiti dell’esperimento
→ riconduce a un’idea di universalità e prende il nome di evento certo. L’evento certo nell’esempio del dado è che esca un numero compreso tra 1 e 6. Evento : asserzione (affermazione) circa l’esito di un esperimento; si identifica con un sottoinsieme dello spazio campionario. 2 eventi sono incompatibili se l'intersezione dei relativi insiemi è vuota. 2 eventi sono complementari se i relativi insiemi sono complementari (es: uscirà testa e uscirà croce ). Il complementare dell’evento certo è detto evento impossibile → sta al di fuori di tutto quello che è possibile, ossia il nulla.
Il fatto che si associ comunemente una probabilità pari a 1 o 0 a un evento non significa che questo sia certo o impossibile, perché per certi eventi abbiamo la certezza che siano impossibili o molto improbabili.
All’evento A, che esiste in uno spazio campionario ( Ω ) associamo un numero che chiameremo
probabilità dell’evento A → non è un concetto astratto, ma è semplicemente un numero che deve soddisfare 3 assiomi :
- Omega comprende tutti gli eventi possibili (quindi anche l’evento certo). Noi non sappiamo quale evento si verificherà, ma siamo certi che uno degli eventi possibili contenuti
in Ω si verificherà, quindi di fatto Ω rappresenta un evento certo → la probabilità di un evento certo è
2) La probabilità dell’evento A dev’essere un numero positivo, ≥ 0
- Se 2 eventi sono incompatibili , la probabilità che si verifichi l’evento A oppure B (A unione B) è pari alla somma delle singole probabilità → non si verificano mai entrambi contemporaneamente. Intersezione = gli eventi si verificano entrambi contemporaneamente Unione = si verifica o uno, o l’altro, o entrambi Conseguenze degli assiomi :
- La probabilità è un n compreso tra 0 e 1, estremi inclusi
- La probabilità dell’unione tra 2 eventi compatibili è data dalla somma delle 2 probabilità, sottraendo la probabilità che si verifichino entrambi → sottraggo perché non ha senso considerare 2 volte la parte dell’insieme che rappresenta l’unione
- Se A e B sono incompatibili , la probabilità che si verifichi A oppure B è pari alla somma tra la probabilità che si verifichi A e la probabilità che si verifichi B La probabilità dell’interazione tra 2 eventi incompatibili (insieme vuoto) è sempre 0.
L’insieme vuoto è il complementare dello spazio campionario; se Ω è 1, allora l’insieme vuoto è 0.
Anche la probabilità del complementare dev’essere compresa tra 0 e 1. Se la probabilità dell’evento certo è 0, la probabilità che non si verifichi quello che siamo certi si verificherà, è anch’essa pari a 0. Esperimento: lancio di un dado (non truccato a 6 facce) evento certo : esce un n compreso tra 1 e 6. evento impossibile : esce un n maggiore di 6.
Ω comprende sia tutti i possibili eventi, sia l’evento certo.
Poi possiamo avere un generico evento possibile ma incerto (es: uscirà 3 ) → è possibile perchè 3 è compreso nello spazio campionario, ma è caratterizzato da incertezza → per scardinare questa incertezza/condizione aleatoria calcolo la probabilità. Se ho a che fare con + di un evento (es: uscirà 3, uscirà 4) → questi 2 eventi sono incompatibili (ho un dado solo e una sola possibilità di tirare). 2 eventi sono incompatibili quando la loro intersezione è l’insieme vuoto, i relativi insiemi non hanno nessun elemento in comune. Ipotizziamo un ulteriore evento esce 3 oppure esce 4 → A unione B (o uno o l’altro, perché tra loro sono incompatibili, è impossibile che si verifichino entrambi contemporaneamente).
Come si rappresenta? Almeno 2 eventi, poniamo la P(B) >0, definiamo la probabilità dell’evento A condizionata a B un numero che rappresenta il rapporto tra la probabilità dell’ intersezione tra A e B diviso la probabilità che si verifichi B (per questo deve essere >0) → indicata con una barra. Avendo già noto l’esito dell’evento B (informazione nota), calcoliamo P(A). Dalla definizione di P condizionata, possiamo ricavare il Teorema delle probabilità composte : la probabilità che i 2 eventi si verifichino simultaneamente (intersezione) è calcolabile a partire dalla probabilità dell’evento A condizionata a B, moltiplicata con la probabilità di B. Il concetto di probabilità condizionata non è simmetrico: in generale la probabilità dell’evento A condizionata a B è diversa dalla probabilità dell’evento B condizionato ad A. Queste 2 probabilità saranno uguali quando non mi interessa conoscere l’informazione riguardo l’esito dell’esperimento precedente. Se A e B sono indipendenti, allora la P dell’intersezione è uguale al prodotto delle P di A e B, inoltre P(AIB)= P(A) e P(BIA)= P(B) → l’esito precedente non condiziona in nessun modo la probabilità dell’evento che si verifica successivamente. La P di A intersezione B= alla P di B intersezione A L’intersezione presuppone che si verifichino simultaneamente A e B, quindi non si impone un ordine rispetto a quale si verifica prima. Teorema delle probabilità composte → le probabilità dell'intersezione possono essere calcolate a partire dalle proprietà condizionate. La probabilità della sovrapposizione di 2 risultati è la stessa, indifferentemente da quale risultato dell’esperimento considero per primo. Calcolare P di (AIB) o (BIA) è la stessa cosa: stiamo calcolando la P dello stesso evento, la sovrapposizione. Questo teorema ci consente di ricavare queste 4 quantità (a partire da varie info) → possiamo sfruttare questa serie di relazioni per ricavare l’info che ci serve. A partire dal teorema, possiamo ricavare la P di uno dei 2 eventi condizionatamente all’info riguardo l’esito dell’altro evento → Formula di Bayes A priori , conosciamo P(A), però vogliamo conoscere la P(A) non semplice, ma condizionata dall’esito di un altro esperimento. A posteriori , dopo aver osservato l’esito di B, la P(A) sarà la la P(AIB) La formula ci consente di costruire un legame tra la probabilità a priori dell’evento A e quella a posteriori, ossia la probabilità dell’evento A condizionata al verificarsi di un determinato esito dell’evento B. Per passare dalla P a priori a quella a posteriori, moltiplichiamo la P a priori per il fattore di correzione (o verosimiglianza ; quant’è effettivamente verosimile la probabilità che abbiamo attribuito a priori all’evento A si verifichi? ) Acquisita la nuova info disponibile, ricaviamo la P a posteriori. Falso positivo : test segnala come malato un individuo in realtà sano (segnala una malattia che in realtà non c’è). Falso negativo : test segnala sano un individuo malato Fase sperimentale di validazione del test: 2 valori/probabilità condizionate: Specificità : P che l’esito sia positivo condizionatamente al fatto (ovvero sapendo che) che l’individuo è effettivamente malato (è un’info nota). → P (positivo I malato) Sensibilità : P che l’esito sia negativo, sapendo che effettivamente l’individuo è sano. → P (negativo I sano)
Metodi quantitativi 2 — Elementi di calcolo finanziario Operazioni finanziarie (Cap 1) Quando si ha uno scambio di importi monetari (disponibili) che si verificano a scadenze predeterminate, parliamo di operazione finanziaria → i 2 sogg non sono necessariamente persone fisiche. Es: deposito di denaro sul conto corrente, accensione di un mutuo, acquisto titoli obbligazionari, investimento in progetti aziendali… Si tratta di un concetto ampio e generico, possiamo descrivere la struttura di un’operazione finanziaria associando a ogni scadenza l’importo corrispondente ( flusso di cassa ) che dovrà essere pagato o ricevuto. Descrivere l’operazione significa compilare lo scadenziario dei flussi di cassa dell’operazione finanziaria → tabella in cui si riportano tutti gli importi e le relative scadenze. Le somme di denaro verranno indicate con un segno positivo (incasso, entrata) o negativo (uscita, esborso di denaro). Il concetto di entrata o uscita di denaro è sempre relativa, subordinata alla prospettiva assunta di volta in volta da cui si osserva l’operazione (ad es. il punto di vista della banca sarà speculare a quello del cliente che richiede il prestito). es: A si rivolge alla banca per ottenere oggi un prestito di 10.000 €; tra un anno A deve alla banca 10.300 €. A ottiene una disponibilità di denaro immediata (10.000) a fronte della rinuncia alla disponibilità di una somma futura (10.300). La banca rinuncia a una disponibilità di denaro immediata (10.000) per ottenere la disponibilità di una somma futura (10.300). Quando un’operazione prevede lo scambio di una disponibilità immediata ( capitale, C ) con una disponibilità futura ( montante M, o valore finale ), si tratta della cd operazione di capitalizzazione → pago qualcosa oggi per ottenere qualcosa in + domani, che deriva dall’ interesse. La differenza tra M (verosimilmente sempre > del capitale) e C è un importo volontario e costituisce l’ interesse. Invece il rapporto (divisione M/C) tra questi 2 termini prende il nome di fattore di montante (Ft) → + tempo, + interesse → + interesse, + montante. Tale rapporto assumerà sempre valore > 1 perché vogliamo avere il montante sempre > del capitale, o al massimo uguale, vogliamo un interesse positivo o al massimo nullo. Se M è sempre > di C, abbiamo un valore sempre >1, perché dividiamo una quantità maggiore per una inferiore. Se il montante fosse uguale al capitale, avremmo un numero diviso per se stesso, quindi 1. Il montante sarà direttamente proporzionale al tempo che intercorre tra oggi e la scadenza → maggiore sarà l’intervallo di tempo, maggiori saranno gli interessi. M è tanto maggiore quanto è maggiore l’interesse richiesto, che a sua volta sarà tanto maggiore quanto più sarà lungo l’intervallo di tempo (tra la data di inizio dell’operazione finanziaria e la data di scadenza futura). Tanto maggiore è t, tanto maggiore è il fattore di montante → quantità che non può mai essere <1 → sarà pari a 1 quando l’interesse è nullo, ossia quando la data di scadenza finale coincide con la data d’inizio.
Il fattore di montante è direttamente proporzionale alla durata dell’impiego → andamento crescente nel tempo. Il fattore di sconto invece ha un andamento decrescente nel tempo. In entrambi i casi si parte da un valore minimo di 1 nel caso in cui la durata sia nulla. LEGGE DEI FATTORI CONIUGATI Se per ogni scadenza è verificata la moltiplicazione tra fattore di montante e fattore di sconto =1 → f e t sono detti fattori coniugati. Se è vero che interesse e sconto sono semplicemente 2 prospettive della stessa of, allora anche i relativi fattori (di montante e sconto) devono rispettare la stessa simmetria, ossia il loro prodotto equivale all’unità. Noto il fattore di montante oppure quello di sconto, possiamo ricavare l’altro fattore associato → dividendo 1 diviso il fattore conosciuto. Il termine progetto è usato per indicare l’operazione finanziaria. Es: È proposto di investire 250€ per un anno a fronte di un interesse pari a 7.73€. a fronte di un interesse indica la singola porzione di interesse, non l’intero montante. Tale operazione ci consente di calcolare immediatamente il montante, pari a capitale+interessi (250+7.73= 257.73 €) → tale risultato ci serve come termine di confronto/paragone → rappresenta il montante equo, coerente con il mercato, che noi vorremmo ricevere. Tale operazione ci porterebbe ad avere un montante inferiore a quello che potrei ricevere (263.16 €, calcolato in precedenza), quindi non accettiamo, ci sarebbe un capitale/interesse troppo basso, non conveniente (263.16–257.73= 5.43 €). Es: abbiamo un’opportunità di investimento che permette di ottenere 250 € tra 3 mesi, 500 € tra 6 mesi e 700 € tra 12 mesi. Quanto siamo disposti a investire in quest’operazione, noti i fattori di sconto? Abbiamo il tempo 0 (data odierna) e una serie di scadenze, a ognuna della quali si manifesta un flusso di cassa. Qual è il valore attuale di questa operazione/quanto capitale investire oggi? La complicazione è data dall’avere una serie di flussi di cassa in sequenza; per semplificare posso scomporre questa operazione finanziaria unica in 3 operazioni finanziarie, ciascuna delle quali presenta solo una data odierna e una data futura. Calcolo quanto sono disposto a investire in ciascuno dei 3 casi, e sommo i relativi risultati → ottengo quanto sono disposta a investire oggi per ottenere questi 3 flussi di cassa futuri. Ogni operazione finanziaria complessa può essere scomposta in + operazioni finanziarie semplici (che presentano solo una data odierna e una data futura). Il valore attuale dell’operazione finanziaria complessa è la somma dei valori attuali di ciascuna delle sue componenti semplici → ottengo l’importo che sarei disposta a investire. Il profitto può essere formalizzato in un criterio di scelta di investimento , ossia il Valore Attuale Netto ( VAN ) → somma dei valori attuali dei flussi di cassa futuri (flusso di cassa in t0+ valore attuale dei flussi di cassa futuri). Si tratta di una misura di profitto, ci dice come varia il patrimonio/conto corrente bancario attivando l’operazione finanziaria proposta. Un investimento è un flusso in negativo, che poi ci permetterà di ottenere un importo positivo. Supponendo che ogni scelta finanziaria sia guidata da una ricerca di profitto, è possibile stabilire il seguente criterio decisionale:
Il VAN può essere:
- >0 → attivo l’operazione → profitto
- <0 → non attivo l’operazione → perdita
- =0 → valore soglia; quando viene proposto di investire una cifra esattamente pari al valore attuale dei flussi di cassa futuri → indifferente rispetto l’attivazione Anche una cifra bassa può essere attivata, perché rappresenta comunque un guadagno. Tra 2 o + operazioni finanziarie aventi VAN positivo sarà conveniente attivare quella con VAN maggiore. es : proposta di investire 1500 € oggi per ottenere 250 €, 500 € e 700 € a 3, 6 e 12 mesi. Se accettassimo la 1° proposta, il nostro patrimonio si ridurrebbe di 150 €, andrebbe incontro a una perdita, accettassimo la 2° proposta, avremo un profitto di 50 €. Quando il valore attuale netto dell’operazione è positivo, accettiamo (andiamo incontro a un profitto/crescita del patrimonio corrente). Quando è negativo, rifiutiamo (perdita/diminuzione del patrimonio corrente). Non è un criterio super raffinato, non tiene conto ad es di ulteriori potenziali fonti di valore che possono accrescere il patrimonio, ma di fatto è un criterio di scelta che le aziende applicano quando devono decidere se attivare o meno l’investimento, espandere il loro business… REGIMI FINANZIARI (Cap 2) Fattore di montante e fattore di sconto dipendono non solo dal tempo, ma anche da un ulteriore parametro che descrive il meccanismo di formazione dell’interesse o dello sconto. Tasso d’interesse annuo (i) = importo monetario generato dall’investimento di 1 € impiegato per un anno Tasso di sconto annuo (d) = valore che, a partire da un nominale (?) noto, mi consente di determinare lo sconto relativo a un’operazione finanziaria di durata annuale → compenso che chiediamo per anticipare oggi 1€ che sarà disponibile solo tra un anno, ossia quanto oggi siamo disposti a pagare per ottenere 1€ tra un anno. Possiamo costruire 2 regimi finanziari ( formule sulle slide ) in riferimento ad i:
- interesse/sconto semplice
- interesse/sconto composto
capitale (relativo a quel periodo) si aggiungono gli interessi maturati fino a quell’istante, che concorrono alla formazione di nuovi interessi successivi. Interesse e sconto composto Es: Come dovrebbe essere il tasso d’interesse semplice annuo per generare il medesimo montante di 1736.44€ a parità del capitale investito e durata dell’operazione? Supponiamo di estendere il regime dell’interesse semplice a un’operazione di 3 anni. Questo tasso d’interesse semplice annuo sarà minore o maggiore del 5% composto annuo che mi genera lo stesso montante a scadenza? Maggiore perché la relazione tra tempo e tasso d’interesse è lineare, abbiamo una crescita + lenta degli interessi nel tempo; per generare il medesimo montante a parità di tempo ho bisogno di un interesse maggiore rispetto a quello composto. La crescita dell’interesse semplice è molto + lenta rispetto a quello composto. Ci chiediamo quanto deve valere il tasso d’interesse semplice annuo affinché venga generato, a partire dallo stesso capitale, il medesimo montante generato da un tasso di interesse composto → a parità di condizione, il tasso di interesse semplice dovrà essere superiore a quello composto. Stesso ragionamento vale per il fattore di sconto: nello sconto composto abbiamo una decrescita molto rapida rispetto allo sconto semplice, soprattutto per scadenze elevate vi è una significativa differenza. Quando le scadenze sono molto brevi, i 2 regimi d’interesse semplice e composto forniscono risultati simili, a parità di tasso d’interesse.
- l’investimento sarà a lungo termine, maggiore sarà il mio guadagno. Es: È stato effettuato un investimento di 100 € in un’operazione che paga 2.5 € ogni 6 mesi per 2 anni; inoltre tra 2 anni si riceverà anche un flusso di cassa di importo uguale al capitale investito. È stato applicato un tasso di interesse i= 3.5%. Si calcoli il valore attuale netto dell’operazione. Scomponiamo l’operazione per semplificarla. È stata conveniente effettuare l’investimento? Sì perchè il VAN è positivo, quindi ottengo un profitto (anche irrisorio). Come cambierebbe il VAN se il tasso di interesse fosse pari al 5.5%? Sarà + basso, perché un tasso d’interesse maggiore ha un impatto sul fattore di sconto, che determina il valore attuale dei singoli flussi di cassa (e quindi il valore dell’operazione stessa) → influisce sul VAN e quindi sulla misura di profitto. Tassi equivalenti Né le scadenze dell’operazione né il tasso d’interesse devono essere necessariamente annui → si impone l’equivalenza tra i montanti calcolati su un anno e su frazioni di anno (ad es. un trimestre sono 0.75 anni). ● i = tasso di interesse annuo ● im = tasso di interesse periodale ● m = n. di periodi in un anno T.I.R. = Tasso interno di rendimento
TITOLI OBBLIGAZIONARI (Cap 3) Obbligazione → idea che una delle 2 parti si obblighi a fornire all’altro un certo ammontare; sono contratti, in termini finanziari detti titoli , che rappresentano un accordo di prestito tra 2 sogg ( persone fisiche, o + spesso tra un privato e un’impresa, un’istituzione o uno stato sovrano). La parte che richiede il prestito ( emittente ) ha lo scopo di reperire i fondi sul mercato: egli riceve denaro in prestito e si obbliga a restituirlo a scadenza insieme agli interessi, che possono essere liquidati in un’unica soluzione (sempre a scadenza) oppure in rate periodali ( cedole ). Dal punto di vista della controparte, l’acquisto dell’obbligazione rappresenta un investimento da cui ricaverà il rimborso del capitale prestato + gli interessi maturati nel periodo contrattualmente stabilito. In base al numero di flussi di cassa generati dall’obbligazione, si distinguono obbligazioni:
- Senza cedole ( zero coupon bond , zcb ) → 2 flussi di cassa, uno oggi e uno alla scadenza stabilita
- Con cedole ( coupon bond ) → flussi di cassa multipli, il cui numero esatto dipende dalla scadenza del titolo e dalla frequenza di stacco delle cedole Buoni Ordinari del Tesoro ( BOT ): titoli di Stato a breve termine (tipicamente hanno scadenze < anno), emessi dallo Stato italiano con decreto del Ministro dell’economia, senza cedola (nessun flusso intermedio) → tramite cui lo Stato si finanzia, chiedendo soldi al mercato. i0 = rendimento annuo semplice lordo del BOT → è detto anche rendimento a scadenza o rendimento ex-ante lordo del BOT. P0 = prezzo di emissione Investendo in BOT, io non ho un interesse specifico a concedere un finanziamento allo stato italiano (ossia aiutarlo a sanare il debito pubblico), ma sono interessata a ottenere un interesse a scadenza. La negoziazione dei titoli avviene sui mercati, non in maniera diretta tra 2 controparti. Per acquistare un titolo, devo pagarne il prezzo; ma come faccio a sapere se il prezzo è corretto? Il prezzo del BOT dev’essere uguale al valore attuale del nominale (che per i BOT è normalizzato a 1). I BOT seguono il regime finanziario dell’interesse semplice. In caso lo Stato si trovi in default, non ripaga + i suoi debiti e quindi io ho una perdita. Il rendimento del BOT dipende da:
- guadagno ottenibile acquistando quel titolo → ricavato dalla differenza tra il guadagno a scadenza (N) e il pagamento effettuato oggi (P0)
- quanto tempo intercorre tra l’acquisto e il pagamento del nominale (T) Il rendimento è direttamente proporzionale alla differenza tra nominale e prezzo d’acquisto ed è inversamente proporzionale al tempo. A parità di T, quanto più grande è il nominale rispetto al prezzo di acquisto, tanto maggiore sarà il rendimento. All’emissione, il prezzo di acquisto è sempre inferiore al nominale, dunque il titolo quota sotto la pari.
