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Numeri Complessi
Insiemi numerici:
N ={ 0,1,2 … }
numeri naturali
Z ={− 2 , −1,0,1,2 … } numeri relativi (con segno)
Q =
{
n
m
;n , m∈ Z ;m≠ 0
}
numeri razionali
R
numeri reali
C = R
2
= R ∗ R ={
x , y
; x , y ∈ R }
numeri complessi (coppie ordinate di numeri reali). Ha la
struttura di campo. L’insieme delle coppie del tipo
( a , 0 ) si indica con
C
0
ed è un
sottoinsieme e sottocampo di C. Esso è in corrispondenza biunivoca con C
( a , 0 )< ( b , 0 ) se a < b.
NB: L’insieme C non è un campo ordinato in quanto non è possibile definire la relazione
.
Somma e prodotto nell’insieme
C
( a , b )+ ( c , d )=( a + c , b + d )
( a , b )∗( c , d )=( ac − bd , ad + bc )
Proprietà ∀ ( a , b ) ∈ R
2
:
La coppia (0,0) è l’elemento neutro per l’operazione somma
( a , b )+ ( 0,0)=( a + 0 , b + 0 )=( a , b )
La coppia (0,1) è l’elemento neutro per il prodotto
( a , b )∗( 1,0) =( a ∗ 1 − b ∗ 0 , a ∗ 0 + b ∗ 1 )=( a , b )
Sia somma che prodotto godono della proprietà associativa, commutativa e distributiva.
Si definisce opposto di un numero Z ∈ R
2
la coppia ordinata
(− a , − b ) tale che sia:
( a , b )+ (− a , − b )=(0,0) .
Si definisce reciproco di un numero Z ∈ R
2
, la coppia ordinata
(
a
a
2
2
− b
a
2
2
)
con
( a , b ) ≠ (0,0)
tale che sia:
( a , b )∗
(
a
a
2
2
− b
a
2
2
)
L’unità immaginaria i
Considerando l’elemento (0,1), il suo quadrato corrisponde con il numero reale -1:
Questo elemento viene detto unità immaginaria e si indica con la lettera i.
Forma algebrica dei numeri complessi
I numeri complessi possono essere scritti anche nella forma:
z = a + ib .
a è la parte reale Re(z)
b è la parte immaginaria Im(z)
Dimostrazione che le due scritture sono identiche
a + ib
c + id
= ac + iad + ibc + i
2
bd = ac − bd + i
ad + bc
=( ac − bd , ad + bc )
( a + ib ) +( c + id )= a + c + i ( b + d )=( a + c , b + d )
Piano di Gauss/complesso i numeri complessi si rappresentato tramite lo spazio
cartesiano. L’asse delle x rappresenta la parte reale e quello delle y la parta immaginaria.
La somma tra due numeri complessi, graficamente, si determina tramite la “regola del
parallelogramma”.
Modulo e coniugato
Il numero z = a − ib =( a , − b ) si dice complesso coniugato di z = a + ib e si indica con z. Esso
gode di alcune proprietà:
z + z = a + ib + a − ib = 2 a = 2 ℜ ( z )
z − z = a + ib − a + ib = 2 ib = 2 ℑ ( z )
( z ¿
¿ 1 + z
2
)= z
1
2
( z ¿
¿ 1 ∗ z
2
)= z
1
∗ z
2
z
z
Si chiama modulo di
z = a + ib il numero reale non negativo
√
a
2
2
e si indica con |z|. se
z = a
è reale, il modulo prende il nome di valore assoluto. Geometricamente, rappresenta la
distanza del punto/numero complesso dall’origine O del piano cartesiano. Esso gode di
alcune proprietà:
| z | ≥ 0
| z |=¿ z ∨¿
|ℜ( z )| ≤ | z | ; |ℑ ( z )| ≤ | z | → | z | ≤ |ℜ( z )|+|ℑ ( z )|
¿ z
1
2
|
z
1
|
+¿ z
2
¿ z
1
2
|
z
1
|
|
z
2
|
Rapporto tra due numeri complessi
a + ib
c + id
( a + ib )( c − id )
¿ c + id ∨¿
2
ac + bd
c
2
2
bc − ad
c
2
2
Equazioni in C
Metodo generale
- Incognita:
z = x + iy con ( x , y ) ∈ R
2
- Si cercano di scrivere le altre incognite in funzione di x e y.
Re (z) = x
Im (z) = y
z = x − iy
| z |=
√
x
2
2
z
2
x + iy
x + iy
= x
2
2
y
2
= x
2
2
- Un numero complesso è zero solo se la sua parte immaginaria e reale sono 0. Per questo
motivo si cerca di isolarle e le si mettono uguale a zero.
- Ora si esegue il sistema con le due equazioni in due incognite nel solito modo.
Esempio 1:
z
2
z = x + iy
x , y
∈ R
2
z
2
x + iy
x + iy
= x
2
2
y
2
= x
2
2
x
2
2
( x
2
− y
2
)
2 xy + 1
x
2
− y
2
x + y
x − y
2 xy + 1 = 0
x =− y
− 2 x
2
√
x = y
2 x
2
Esempio 2:
z
2
z
z = x + iy
x , y
∈ R
2
z
2
=( x + iy ) ( x + iy )= x
2
− y
2
x
2
− y
2
( x
2
− y
2
)
2 xy + y
x
2
− y
2
x + y
x − y
2 xy + y = 0 → y ( 2 x + 1 )= 0
y = 0
x
2
− 0 = 0 → x = 0
x =
− y
2
= 0 → y = ±
Forma trigonometrica
quest’ultimo per z, significa sommare
θ al suo argomento, cioè eseguire una rotazione di
angolo
θ.
In generale, se z ha modulo ρ anziché 1, oltre ad eseguire una rotazione si esegue una
dilatazione di coefficiente ρ.
Radici n-esime
Dato un numero complesso
ω , si dice che
z è una sua radice n-esima (complessa) se risulta
z
n
= ω
Teorema
Sia ω ∈ C , ω ≠ 0 , n ≥ 1. Esistono precisamente n radici n-esime complesse di ω. Posto ω = r ¿e
z
k
= ρ
k
(cos θ
k
k
si ha:
ρ
k
= r
1
n
θ =
φ + 2 kπ
n
con
0 ≤ k ≤n − 1
Esempio 1:
Calcolare
3
√
ρ = 1
cosθ = 1 ; sinθ =
= 0 →θ = π
z = cosπ + i ∗sin π
ρ
k
1
3
θ
k
π + 2 kπ
con 0 ≤ k ≤ 2
z
0
(
i ∗√ 3
)
( 1 + i √
z
1
z
1
Equazioni di secondo grado in C
a z
2
a , b , c ∈C
√ b
2
− 4 ac ∈C
Se ∆ > 0 due radici reali
z =
− b + √
b
2
− 4 ac
2 a
Se
2 radici coincidenti
z
0
− b
2 a
Se ∆ < 0 2 radici complesse e coniugate
Esempio:
z
2
z =
− 2 i +
√
− 4 + 4 i √
=− i +
√
− 1 + i √
ρ = √
√
cos θ =
; sin θ =
√
→ θ =
π
z
k
= ρ
k
(cos θ
k
k
ρ
k
1 / 2
=√ 2
θ
k
π + 2 kπ
con n =0,
z
0
√
(
cos
π + i ∗sin
π
)
→ z
+¿=− i + √
2 (
1
2
i ∗√ 3
2
)¿
z
1
√
(
cos
π + i ∗sin
π
)
→ z
−¿=− i + √
2 (
− 1
2
−
i ∗√ 3
2
)¿
Teorema fondamentale dell’algebra
Un’equazione polinomiale del tipo a
0
1
z + … + a
n
z
n
con coefficienti complessi qualsiasi
ha precisamente n radici in C, se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicità.
Esponenziale complesso
Sia z un numero complesso.
e
z
= e
x + iy
e
iy
=cos y + i ∗sin y
(formula di Eulero)
z = ρ ¿
( e
iθ
− iθ
) = 2 cos θ → cos θ =
( e
iθ
− iθ
)
( e
iθ
− iθ
) = 2 i sin θ → cos θ =
2 i
( e
iθ
− iθ
)
e
iπ
=cos π + i ∗sin π
iπ
=− 1 + i ∗ 0 =− 1
e
iπ
=− 1 → e
iπ
