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Numeri complessi
Antonio G. Ledda
1 L’insieme dei numeri complessi
L’insieme dei numeri complessi C è un ampliamento del suo sottoinsieme R e le operazioni di addizione, differenza, moltiplicazione e divisione continuano a godere delle stesse proprietà valide in R. Per costruire tale ampliamento bisogna definire la cosidetta unità immaginaria ovvero il numero non reale, espresso con il simbolo i, tale che i^2 = − 1. Si chiama invece numero complesso generico, indicato con la lettera z, ogni espressione nella forma:
z = a + bi
dove a e b sono reali, e dunque si ottiene un numero complesso addizionando a multipli di i numeri reali. Tale forma è anche chiamata forma algebrica del numero complesso e si può distinguere la sua parte reale a (Re z) e la sua parte immaginaria b (Im z). A seconda di come sono due numeri complessi posso avere la nomencla- tura della tabella 1:
Uguali Se hanno la stessa parte reale e immaginaria.
3 + 5i e 3 + i
Coniugati Se hanno la stessa parte reale ma la parte immaginaria è opposta.
3 + 5i e 3 − 5 i
Opposti Se hanno parte reale ed immagi- naria opposte.
3 + 5i e −3 + 5i
Tabella 1: Nomenclatura di due numeri complessi
Il coniugato del numero complesso z viene indicato con il simbolo ¯z.
1.1 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Il numero complesso del tipo z=a+ib può essere rappresentato in un piano cartesiano dal punto di coordinate (a,b). Il piano cartesiano (fig 1) presenta queste caratteristiche:
Figura 1: Piano complesso
a
b
O X
Y
z = a + ib
- è chiamato piano di Gauss o piano complesso o piano di Argand- Gauss;
- l’asse x è anche detto asse reale e rappresenta il sottoinsieme dei nu- meri reali;
- l’asse y è anche detto asse immaginario e rappresenta il sottoinsieme dei numeri immaginari.
Definizione 1. Si chiama modulo del numero complesso z, e si indica col simblo |z|, la distanza dall’origine del punto z sul piano cartesiono (fig.2) che ha come formula: |z| =
a^2 + b^2 (1)
Il modulo di un numero complesso, come quello di un numero reale, è sempre maggiore o uguale a 0.
Figura 2: Modulo del numero complesso
a
b
O X
Y
z = a + ib
|z| =
a^2 + b^2
Figura 4: Differenza di due numeri complessi
O X
Y
z 1
z 2
z 1 − z 2
|z 1 − z 2 |
|z 1 − z 2 |
Definizione 2. Siano z e w due numeri complessi. La distanza dei punti che li rappresentano nel piano di Gauss è espressa dal modulo del numero complesso z − w, dunque |z − w|.
3 Coordinate polari
Un sistema di coordinate polari è un sistema di riferimento diverso in un piano. Esso è formato da un punto (O) detto polo e da una semiretta avente origine da esso, detto asse polare. Le coordinate di un punto (P) sono date dalla distanza OP (r) e la misura dell’angolo (θ) formato dall’asse polare e la semiretta OP (r,θ).
Figura 5: Punto sull’asse polare P
O
polo asse polare
θ
r
Il numero r si chiama modulo (o raggio vettore) del punto P e θ (preso sempre in senso antiorario) è detto argomento (o anomalia) di P. Solitamente vale che 0 < θ < 2 π, in questo caso, θ è detto anche argomento principale.
3.1 Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane
Dalla (fig. 6) si nota come:
x = r cos θ y = rsinθ (2)
Figura 6:
P
O H
r θ
3.2 Dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari
Conoscendo il punto P(x,y) possiamo calcolarci le sue coordinate polari:
r =
x^2 + y^2 tan θ = y x
Ovviamente bisogna in ogni caso tenere conte dei valori di x e y espressi nella (2)
4 Forma trigonometrica
Consideriamo un numero complesso z = a + ib, rappresentato sul piano di Gauss dal punto P con coordinate cartesiane (a,b) e le sue coordinate polari sono (r, θ). In base alla (2) il numero complesso diviene:
z = r(cos θ + i sin θ) (4)
con r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2 π.
4.1 Moltiplicazione e divisione in forma trigonometrica
4.1.1 Moltiplicazione
Teorema 1. Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica corrisponde al numero che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )] (5) La sua rappresentazione grafica consiste nella rotazione di z 1 di +θ intorno all’origine e un’omotetia di rapporto r (r 1 · r 2 ).
Per calcolarla possiamo usare la legge di annullamento del prodotto:
z(z − 1)^2 (z − 3)^3 = 0
Quest’equazione per esempio è già scomposta dunque notiamo come z = 0 è semplice^1 ; z = 1 ha molteplicità 2; z = 3 ha molteplicità 3.
z^4 − z^2 = 0 z^2 (z^2 − 1) = 0 z^2 (z − 1)(z + 1) = 0 z = − 1 ∨ z = 0 ∨ z = 1
Scomponendo tale equazione si arriva a notare come z = − 1 e z = 1 siano soluzioni semplici, mentre z = 0 ha molteplicità 2. In conclusione, possiamo dire che nell’insieme C ogni soluzione è accet- tabile anche se la discriminante è negativa.
6.2 Equazione del tipo: zn^ = a.
In un’equazione del tipo zn^ = a possiamo individuare due casi:
- se a = 0 e ottenendo così l’equazione zn^ = 0 che ha come unica soluzione 0 e molteplicità n;
- se a 6 = 0 allora bisogna applicare la (8) oppure scomporre l’equazione e annullare il prodotto.
7 Forma esponenziale
Dato un numero immaginario puro (iθ), il suo esponenziale è:
eiθ^ = cos θ + i sin θ (9)
Se consideriamo un qualsiasi numero complesso z scritto in forma trigono- metrica z = r(cos θ + i sin θ), si dice che è scritto in forma esponenziale quando è espresso nella forma:
z = reiθ^ (10)
Con la notazione esponenziale di un numero immaginario, possiamo dedurre alcune formule utilizzate in precedenza:
r 1 eiθ^1 · r 2 eiθ^2 = r 1 r 2 ei(θ 1 + θ 2 ) (11) (^1) ha molteplicità 1
- Divisione r 1 eiθ^1 r 2 eiθ^2
r 1 r 2 ei(θ 1 − θ 2 ) (12)
- Formula di De Movrie (reiθ)n^ = rneinθ^ (13)
7.1 Formule di Eulero
Le formule di Eulero, sono quattro formule che mostrano una relazione tra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. La prima formula di Eulero proviene dalla definizione di esponenziale di un numero immaginario puro (iθ):
eiθ^ = cos θ + i sin θ
che corrisponde alla (9). Da questa ponendo −θ si deduce la seconda formula di Eulero^2 :
e−iθ^ = cos θ − i sin θ (14)
Mettendo a sistema la (1) e la (2) possiamo ricavare cos θ e sin θ in funzione di eiθ^ e e−iθ: { eiθ^ = cos θ + i sin θ e−iθ^ = cos θ − i sin θ
Usando il metodo di riduzione, addizionando verticalmente le due equazioni e facendo le dovute sostituzioni, otteniamo la terza formula di Eulero:
cos θ = eiθ^ + e−iθ 2
se sottraiamo otteniamo la quarta formula di Eulero:
sin θ = eiθ^ − e−iθ 2 i
Se alla (1) si considera θ = π, si trova la formula ritenuta più bella della matematica:
eiπ^ = cos π + i sin π = = −1 + 0 · i = = − 1 eiπ^ + 1 = 0 (17)
Tale formula espone un legame tra i cinque numeri più importanti della matematica: 0 , 1 , π, e, i. (^2) Ricordando che cos(−θ) = cos θ e sin (−θ) = − sin θ
