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NUMERI COMPLESSI
Si chiama numero complesso una coppia ordinata (a ; b) di due numeri reali. Una coppia del tipo (a ; 0) si chiama numero complesso reale Una coppia del tipo (0 ; b) si chiama numero complesso puramente immaginario Per convenzione si potrà anche scrivere : (a ; 0) = a e (0 ; b) = b [1]
Addizione di Numeri Complessi
(a ; b) + (c ; d) ≝ (a+c ; b+d)
L'addizione gode delle proprietà commutativa e associativa. Ammette l'elemento neutro (0 ; 0). Ammette l'elemento opposto (-a ; -b). L'esistenza dell'elemento opposto consente di definire l'operazione di sottrazione come l'addizione tra il primo numero e l'opposto del secondo.
Prodotto di Numeri Complessi
(a ; b) + (c ; d) ≝ (a·c - b·d ; a·d+b·c)
L'addizione gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all'addizione. Ammette l'elemento neutro (1 ; 0)
Unità Immaginaria
Il numero complesso (0 ; 1) si chiama unità immaginaria ; viene indicato con la lettera i.
Pertanto, i ≝ (0 ; 1)
Facendo il quadrato di questo numero si ottiene i 2 = - (1 ; 0)
Pertanto, il quadrato dell'unità immaginaria è uguale all'opposto del numero complesso 1.
Forma Algebrica dei Numeri Complessi
la forma (a ; b) con la quale abbiamo indicato finora i numeri complessi non è quella che si adopera abitualmente. Introdurremo, pertanto, la forma algebrica dei numeri complessi.
Si consideri il numero complesso (0 ; b), mediante semplici operazioni matematiche scriveremo tale numero in un'altra forma
(0 ; 1)·(b ; 0) = (0·b - 1·0 ; 0·0 + 1·b) = (0 ; b) [2]
Considerato che (a ; b) = (a ; 0) + (0 ; b), in base alla [2] sarà anche (a ; b) = (a ; 0) + (0 ; 1)·(b ; 0) [3]
Pertanto in base alla [3] e alla [1] sarà : (a ; b) = a + i·b Forma algebrica dei numeri complessi
Usando tale forma il primo termine a si suole chiamare parte reale del numero complesso, il secondo termine i·b parte immaginaria (in particolare b viene chiamato coefficiente dell'immaginario).
Definizioni
Norma del numero complesso ≝ a 2 + b^2
Modulo del numero complesso ≝ �𝒂 𝟐^ + 𝒃 𝟐
Coniugati Dato il numero a + i·b si definisce suo coniugato il numero complesso a - i·b
Rappresentazione geometrica dei Numeri Complessi
Preso su un piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy , ad ogni punto P del piano viene a corrispondere la coppia di numeri (a, b) delle sue coordinate e quindi il numero complesso a + ib. Viceversa, fissato comunque un numero complesso a + ib a tale numero si farà corrispondere il punto P di ascissa a e ordinata b , cioè il punto di coordinate (a, b). Il punto P di coordinate (a, b) si chiama immagine geometrica, o indice, del numero complesso z = a + ib , mentre Z viene, a volte, detto l'affissa di P.
In questa rappresentazione, ai numeri complessi reali (a, O) corrispondono i punti dell'asse x (che si dice perciò anche asse reale); ai numeri immaginari puri (O, b) corrispondono i punti dell'asse y (che si chiama perciò asse immaginario).
Coordinate Polari
In un piano cartesiano ortogonale, si consideri un punto P. Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettereρ e φ. Con ρ si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, ρ ne indica il modulo. Co nφ, inv ece, ci si riferisce all' angolo o anomalia che si forma tra il vettore considerato prima, e il verso positivo dell'asse x. Dunque, è il raggio e un angolo orientato.
Indicate con P(x ; y) le coordinate del punto P in un sistema cartesiano, le formule che consentono il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari, sono le seguenti :
x = ρ·cosΦ y = ρ·senΦ da polari a cartesiane
𝜌 = �𝑥 2 + 𝑦 2 𝛷 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦 𝑥 =^ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛^
𝑦 𝜌 =^ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠^
𝑥 𝜌 da cartesiane a polari
Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi
La rappresentazione geometrica dei numeri complessi suggerisce un'altra forma per la scrittura di tali numeri. In un piano, assieme ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy , consideriamo anche il sistema polare avente per polo il punto O e per asse polare il semiasse positivo delle x. Fissiamo inoltre come verso positivo delle rotazioni sul piano quello che conduce dal verso positivo dell'asse x al verso positivo dell'asse delle y. Premesso ciò, si consideri un qualsiasi punto P del piano, diverso dall'origine, di coordinate polari P(ρ; θ) e di coordinate cartesiane P(a ; b).
E' noto che a = ρ·cosθ b = ρ·senθ 𝜌 = √𝑎 2 + 𝑏 2. In base a queste formule il numero complesso z = a + i·b si può scrivere nella forma
z = ρ(cosθ+i·senθ) Forma Trigonometrica
con le condizioni 𝝆 = �𝒂𝟐^ + 𝒃𝟐^ 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒂 𝝆 𝒔𝒆𝒏𝜽^ =^
𝒃 𝝆 𝒕𝒈𝜽^ =^
𝒃 𝒂
Si trasformi il numero complesso z = 1 + i sotto forma trigonometrica
Esempio.
a=1 b=1, quindi : 𝜌 = √𝑎 2 + 𝑏 2 = (^) √1 + 1 = (^) √ 2
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒂 𝝆 =^
𝟏 √𝟐^ =^
√𝟐 𝟐 ;^ 𝒔𝒆𝒏𝜽^ =^
𝒃 𝝆 =^
𝟏 √𝟐^ =^
√𝟐 𝟐 ;^ da cui θ =^
𝝅 𝟒
z = 1 + i = √ 2 �𝑐𝑜𝑠
𝜋 4 +^ 𝑖𝑠𝑒𝑛^
𝜋 4 �
