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NUMERI COMPLESSI TEORIA E PRATICA
Tipologia: Panieri
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Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche
Appunti del corso di Matematica
Anno Accademico 2015/
1.1. Definizione di numero complesso. Un numero complesso z e un numero la cui rappresentazione algebricae data da
z = a + i b
dove a, b ∈ R ed i soddisfa la relazione i^2 = −1. Il numero reale a e chiamato parte reale del numero complesso z, in formule a = Re(z), mentre il numero reale be chiamato parte immag- inaria del numero complesso z, b = Im(z). Infine, come abbiamo gia detto, ie noto con il nome di unita immaginaria. Un numero comp- lesso z la cui parte realee pari a zero, Re(z) = a = 0 e detto numero immaginario e la sua rappresentazione algebricae z = i b. Per ogni numero complesso z = a + i b, il numero complesso a − i b si dice complesso coniugato di z e si indica con ¯z.
Esempi 1. Calcolare il complesso coniugato di z = 7 + i 9. Si ha: z¯ = 7 − i 9. Calcolare il complesso coniugato di z = 7 − i 9. Si ha: z¯ = 7 + i 9. Da questi due esempi si deduce un risultato generale: il complesso coniugato del complesso coniugato di un numero z coincide con z stesso. In formule: ¯¯z =
a + i b
= a − i b = a + i b = z. Calcolare il complesso coniugato di z = 3. 1 − i 2 .42. Risulta: z¯ = 3.1 + i 2. 42.
z 1 = a 1 + i b 1 e z 2 = a 2 + i b 2
indicheremo con il segno + l’operazione di addizione e la definiremo come segue:
z 1 + z 2 = (a 1 + i b 1 ) + (a 2 + i b 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i (b 1 + b 2 ).
Quindi la somma di due numeri complessi, z 1 e z 2 , e un numero com- plesso la cui parte realee la somma delle parti reali di z 1 e z 2 e la sua parte immaginaria la somma delle parti immaginarie di z 1 e z 2. La sottrazione (−) pu`o essere definita, come nel caso dei numeri reali,
come la somma fra due numeri complessi di cui uno `e preso con segno negativo:
z 1 − z 2 = z 1 + (−z 2 ) = (a 1 + i b 1 ) − (a 2 + i b 2 ) = (a 1 − a 2 ) + i (b 1 − b 2 ).
Esempi 2. Calcolare la somma dei numeri complessi z 1 = 3 + i e z 2 = 5 − i 11. Si ha: z 1 + z 2 = (3 + i) + (5 − i 11) = (3 + 5) + i (1 − 11) = 8 − i 10. Calcolare la somma del numero complesso z = 1 + i 2 e del suo complesso coniugato: z + ¯z = (1 + i 2) + (1 − i 2) = (1 + 1) + i (2 − 2) = 2. Calcolare la differenza tra il numero complesso z = 5 + i 8 e il suo complesso coniugato: z − ¯z = (5 + i 8) − (5 − i 8) = (5 − 5) + i (8 + 8) = i 16. Da questi due esempi possiamo dedurre due risultati generali: (1) La somma tra un numero complesso e il suo complesso co- niugato e pari a 2 volte la parte reale del numero complesso z + ¯z = (a + i b) + (a − i b) = 2 a = 2 Re(z) (2) La differenza tra un numero complesso e il suo complesso coniugatoe pari a i per 2 volte la parte immaginaria del numero complesso z − ¯z = (a + i b) − (a − i b) = i 2 b = i 2 Im(z).
Per quanto riguarda la moltiplicazione, questa sara indicata con il simbolo · e sara definita come il prodotto di due binomi:
z 1 · z 2 =(a 1 + i b 1 ) · (a 2 + i b 2 ) = a 1 a 2 + i a 1 b 2 + i a 2 b 1 + i^2 b 1 b 2 = =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + a 2 b 1 ),
dove il termine −b 1 b 2 si ottiene tenendo conto che i^2 = −1. E’ facile osservare che:
z^2 = (a + i b)^2 = (a^2 − b^2 ) + 2 i a b, che `e ancora un numero complesso
e che
z · z¯ = (a + i b) · (a − i b) = a^2 + b^2 , che `e un numero reale positivo.
Esempi 2. Calcolare il prodotto dei numeri complessi z 1 = 4+5 i e z 2 = 3+2 i. Si ha: z 1 · z 2 = (4 + 5 i) · (3 + 2 i) = (4 · 3 − 5 · 2) + i (5 · 3 + 4 · 2) = 2 + i 23.
(2) z 1 + z 2 = ¯z 1 + ¯z 2. (3) z 1 · z 2 = ¯z 1 · z¯ 2.
Proof. Dimostriamo la (1). Dimostriamo prima l’implicazione di- retta: z = ¯z ⇒ Im(z) = 0. Consideriamo la rappresentazione algebrica di z = a + i b con a, b ∈ R. Secondo questa notazione sara ¯z = a − i b. Se z = ¯z ⇒ a + i b = a − i b chee vera se e solo se b = −b. Essendo b ∈ R quest’ultima equazione implica b = 0. Ricordando che, per definizione, b = Im(z) il teorema resta provato. Si lascia allo studente la dimostrazione dell’implicazione inversa, ossia: se z ∈ R ⇒ z = ¯z.
Dimostriamo ora la propriet`a (2), usando anche in questo caso la no- tazione algebrica: z 1 = a 1 +i b 1 e z 2 = a 2 +i b 2. Sfruttando la definizione precedentemente data dell’operazione di somma, abbiamo:
z 1 + z 2 =(a 1 + a 2 ) + i (b 1 + b 2 ) = (a 1 + a 2 ) − i (b 1 + b 2 ) = =(a 1 − i b 1 ) + (a 2 − i b 2 ) = ¯z 1 + ¯z 2 ,
che e quanto volevasi dimostrare. In modo analogo, e con la stessa notazione possiamo dimostrare la proprieta (3):
z 1 · z 2 =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) = =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ) − i (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) = =(a 1 − i b 1 ) · (a 2 − i b 2 ) = ¯z 1 · z¯ 2 ,
Le propriet`a appena dimostrate consentono di dimostrare il il seguente importante teorema.
Teorema 2.2. Sia an xn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0
un’equazione polinomiale nella variabile x i cui coefficienti a 0 , a 1 , ... , an ∈ R. Se x = a + i b ∈ C e soluzione dell’equazione, allora anche il suo complesso coniugato x¯ = a − i be soluzione dell’equazione.
Proof. Sia x = a+ i b soluzione dell’equazione an xn^ +an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0. Essendo il membro destro pari a 0 ∈ R anche il membro sinistro sara un numero reale. Quindi il complesso coniugato di an xn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 sara anche uguale a 0 (per la proprieta (1) dimostrata sopra). Quindi x = a + i be anche soluzione dell’equazione:
an xn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Applicando iterativamente la propriet`a (2) dimostrata sopra, questa equazione diventa:
an xn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0,
che, tenuto conto del fatto che tutti i coefficienti ai ∈ R e della propriet`a (3), possiamo riscrivere nel seguente modo:
an xn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Infine applicando iterativamente la propriet`a (3) otteniamo:
an x n^ + an− 1 x n−^1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Questa uguaglianza mostra che ¯x = a−i b `e pure soluzione dell’equazione iniziale.
√ 4 − a^2 } `e formato da numeri che hanno lo stesso modulo e se ne determini il valore.
√ 3 i e x = 1 −
√ 3 i. Si determini il modulo del prodotto x z e del rapporto zx.
√ 2 i e x = 2 −
√ 3 i. Si determini il complesso coniugato del prodotto x z e del rapporto zx
