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NUMERI COMPLESSI
Coppia ordinata di numeri reali (a;b) con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
➢ Operazioni
- Somma
La somma gode di proprietà commutativa e associativa
2
2
2
2
2
2
𝟐
𝟐
2
2
3
3
[(
2
2
)]
3
3
+ [
2
2
3
3
]
- Prodotto
Il prodotto gode di proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all’addizione
2
2
2
2
2
2
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
2
2
3
3
[(
2
2
)](
3
3
[
2
2
3
3
]
(𝑎, 𝑏)[(𝑎
2
2
3
3
)] = (𝑎, 𝑏)(𝑎
2
2
3
3
- Elevamento al quadrato
- Quadrato di numeri (𝒂, 𝟎)
(𝒂, 𝟎)
𝟐
= (𝑎 ∙ 𝑎 − 0 ∙ 0 , 𝑎 ∙ 0 + 0 ∙ 𝑎) = (𝒂
𝟐
, 𝟎)
- Quadrato di numeri (𝟎, 𝒃)
(𝟎, 𝒃)
𝟐
= ( 0 , 𝑏) ∙ ( 0 , 𝑏) = ( 0 ∙ 0 − 𝑏 ∙ 𝑏; 0 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 0 ) = (−𝒃
𝟐
; 𝟎)
Questo numero soddisfa una richiesta: quale numero elevato al quadrato rende un
numero negativo? Il numero complesso
𝟐
è uguale al numero complesso
2
, 0 )cui corrisponde il numero REALE −𝒃
𝟐
➢ Dal numero complesso al reale
Un numero complesso del tipo (𝒂, 𝟎) può essere associato al numero reale 𝒂.
∈ ℂ ↔ a ∈ ℝ
Può dimostrarsi se si applicano le operazioni di addizione e moltiplicazione
ESEMPIO
( 2 , 0 ) + ( 5 , 0 ) = ( 7 , 0 ) e ( 2 , 0 ) ∙ ( 5 , 0 ) = ( 10 , 0 )
2 + 5 = 7 e 2 ∙ 5 = 10
➢ Numeri immaginari
Numero complesso del tipo (𝟎; 𝒃)
Il numero del tipo ( 0 , 1 ) è detto unità immaginaria e si indica con 𝒊
Vi sono due proprietà fondamentali:
- Il quadrato dell’unità immaginaria ( 0 , 1 ) vale − 1 :
( 𝟎, 𝟏
)
𝟐
=
( 0 ∙ 0 − 1 ∙ 1 ; 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0
) = (−𝟏, 𝟎)
Può scriversi anche 𝒊
𝟐
- Moltiplicando un numero (𝑎, 0 ) per l’unità immaginaria si ottiene il numero ( 0 , 𝑎)
(𝒂, 𝟎) ∙ (𝟎, 𝟏) = (𝑎 ∙ 0 − 0 ∙ 1 ; 𝑎 ∙ 1 + 0 ∙ 0 ) = (𝟎, 𝒂)
FORMA ALGEBRICA
Un numero complesso del tipo (𝑎, 𝑏) può essere scritto nella forma 𝒂 + 𝒃𝒊.
Dato 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎si definisce parte reale di 𝑧 e si indica 𝑅𝑒(𝑧), mentre 𝑏 è la parte immaginaria e si
indica 𝐼𝑚(𝑧).
ESEMPIO
➢ Modulo del numero complesso
Il modulo di un numero complesso è la radice quadrata della somma del quadrato della parte
reale e del quadrato della parte immaginaria
𝟐
𝟐
➢ Complesso coniugato
Un numero complesso è coniugato rispetto a un altro se ha stessa parte reale ma opposta parte
immaginaria.
➢ Complesso opposto
Un complesso è opposto a un altro se hanno segno opposto sia parte reale sia parte
immaginaria
DIMOSTRAZIONE
Il numero complesso (𝑎, 𝑏) può essere scritto come somma tra (𝑎, 0 )e( 0 , 𝑏).
(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0 ) + ( 0 , 𝑏)
( 0 , 𝑏) può essere scritto come prodotto tra (𝑏, 0 ) e l’unità immaginaria ( 0 , 1 )
( 0 , 𝑏) = (𝑏, 0 ) ∙ ( 0 , 1 ) = 𝑏 ∙ 𝑖
Il numero complesso diventa quindi (𝑎, 0 ) + (𝑏, 0 ) ∙ ( 0 , 1 ).
Ora si ponga: (𝒂, 𝟎) = 𝒂; (𝒃, 𝟎) = 𝒃; (𝟎, 𝟏) = 𝒊
La relazione
( 𝑎, 0
)
( 𝑏, 0
) ∙ ( 0 , 1 ) diventa quindi 𝒂 + 𝒃𝒊 e si ottiene la forma algebrica di un numero complesso.
𝑧: 𝑧
2
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎
2
2
𝑖
=
[( 𝑎𝑎
2
2
)
( 𝑏𝑎
2
− 𝑎𝑏
2
)]
𝑎
2
2
2
2
➢ Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
A un numero complesso corrisponde sempre una coppia di numeri reali
con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
I numeri complessi possono essere quindi rappresentati in un sistema di assi cartesiani 𝑂𝑥𝑦
Il piano prende il nome di Piano di Gauss.
L’asse x diventa l’asse reale, mentre l’asse y prende il nome di
asse immaginario.
Il segmento 𝑂𝑃
, che chiamiamo r, misura quanto il modulo
𝟐
𝟐
Fornendo al segmento al segmento r un verso di percorrenza, otteniamo un vettore. Il punto P
di coordinate (𝑎, 𝑏) rappresenta le componenti cartesiane del vettore.
Il vettore si compone di tre caratteristiche
1) Lunghezza o modulo definita dal segmento r;
Direzione
Verso.
Il numero complesso 𝑎 + 𝑏𝑖 rappresenta nel piano cartesiano
le componenti del vettore.
DIMOSTRAZIONE
Il rapporto
𝑎+𝑏𝑖
𝑎
2
+𝑏
2
𝑖
si può sviluppare tramite l’ausilio del prodotto notevole somma per
differenza moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore
𝑎 + 𝑏𝑖
𝒂
𝟐
𝟐
𝒊
∙
𝑎
2
− 𝑏
2
𝑖
𝒂
𝟐
− 𝒃
𝟐
𝒊
=
[(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎
2
− 𝑏
2
𝑖)]
𝑎
2
2
− 𝑏
2
2
𝑖
2
=
𝑎𝑎
2
− 𝑎𝑏
2
𝑖 + 𝑎
2
𝑏𝑖 − 𝑏𝑏
2
𝑖
2
𝑎
2
2
2
2
=
𝑎𝑎
2
2
2
𝑏𝑖 − 𝑎𝑏
2
𝑖
(𝑎
2
2
2
2
)
Effettuo i raccoglimenti tra parte reale e parte immaginaria e ottengo
[(𝒂𝒂
𝟐
𝟐
) + 𝒊(𝒃𝒂
𝟐
− 𝒂𝒃
𝟐
)]
𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
P↔𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
➢ Coordinate polari
Definito nel piano di Gauss un vettore di componenti (𝑎, 𝑏), il vettore 𝑟⃗ si compone di due
caratteristiche fondamentali:
- θ: angolo formato tra il vettore e l’asse reale, definito
in radianti;
- r: distanza dall’origine di P, corrispondente al modulo
di 𝑟⃗
il vettore può essere individuato da un nuovo tipo di
coordinate, le coordinate polari definite [r;θ].
Per ricavare le coordinate polari da quelle cartesiane,
𝟐
𝟐
−𝟏
𝒃
𝒂
Partendo dalle coordinate polari [θ;r] è possibile
ricavare le coordinate cartesiane.
Dalla figura, 𝑂𝐴
𝑃 è un triangolo rettangolo.
Per il primo teorema dei triangoli rettangoli,
ESEMPIO
𝐵: [ 6 ;
𝜋
3
] → r = 6, θ =
𝜋
3
𝐵
= 6 ∙ sin (
𝐵
P
P
[ 𝒓 ∙
( 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽
)]
𝒏
= 𝒓
𝒏
∙ (𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽)
Formula di De Moivre. L’esponente 𝑛 ∈ ℤ
, l’insieme dei numeri interi positivi.
Se l’esponente è negativo:
−𝒏
𝑛
𝒏
- Radice n-esima di un numero complesso
Dati 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃) e 𝑤 = 𝑠(𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽), la radice n-esima di un numero
complesso z è il numero complesso w tale che 𝑤
𝑛
𝒏
𝒏
𝑛
Si sostituiscono le scritture e si ottiene
[
)]
𝑛
Con la formula di De Moivre otteniamo
𝒏
[𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜷) + 𝒊 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝜷)] = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽)
Mettiamo a confronto e otteniamo il sistema
𝑛
𝒏
𝜽
𝒏
𝟐𝒌𝝅
𝒏
√
𝒛
𝒏
= √
𝒓
𝒏
[𝐜𝐨𝐬 (
𝜽
𝒏
𝟐𝒌𝝅
𝒏
) + 𝒊 ∙ 𝐬𝐢𝐧 (
𝜽
𝒏
𝟐𝒌𝝅
𝒏
)]
DIMOSTRAZIONE
La potenza si scrive come prodotto di n fattori
[ 𝑟 ∙
( 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
)]
𝑛
=
[ 𝑟 ∙
( 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
)] ∙ … ∙
[ 𝑟 ∙
( 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
)]
Applico la formula del prodotto
𝑟 ∙ 𝑟 ∙ … ∙ 𝑟 ∙ [
( cos (𝜃 + 𝜃+... +𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝜃+... +𝜃)
) ]
𝒛
𝒏
= 𝒓
𝒏
∙ (𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽)
lò
n fattori
fattori n addendi
DIMOSTRAZIONE
Ricorrendo alla formula di De Moivre: 𝑧
−𝑛
= 𝑟
−𝑛
∙ [cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 ∙ sin (−𝑛𝜃)]]
Per le proprietà delle funzioni goniometriche: 𝐜𝐨𝐬(−𝒏𝜽) = 𝐜𝐨𝐬 (𝒏𝜽) il coseno è una
funzione pari. 𝐬𝐢𝐧(−𝒏𝜽) = − 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝜽) il seno è una funzione dispari.
Sostituisco nell’espressione e ottengo 𝒛
−𝒏
=
𝟏
𝒓
𝒏
∙ [𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜽) − 𝒊 ∙ 𝐬𝐢𝐧 (𝒏𝜽)]]
FORMA ESPONENZIALE
Oltre alla forma algebrica (𝑎 + 𝑏𝑖) e alla forma trigonometrica (𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃)), un numero
complesso può essere scritto anche in forma esponenziale.
𝑖∙𝜃
= cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃
𝑒 è il numero di Nepero, e vale circa 2,71 8.
È possibile eseguire le seguenti operazioni sfruttando le proprietà delle potenze:
- MOLTIPLICAZIONE: 𝒆
𝒊∙𝜽
𝒊∙𝜷
𝑖𝜃+𝑖𝛽
𝒊(𝜽+𝜷)
- DIVISIONE:
𝒆
𝒊𝜽
𝒆
𝒊𝜷
𝒊
( 𝜽−𝜷
)
- POTENZA: (𝒆
𝒊𝜽
𝒏
𝒏∙𝒊𝜽
In generale un numero complesso in forma algebrica può essere scritto nella forma esponenziale
𝒛 = 𝒓 ∙ 𝒆
𝒊∙𝜽
Dove r è la distanza dall’origine e 𝜃 è l’angolo formato con l’asse x, come per la forma trigonometrica.
➢ Formule di Eulero
Sono formule che riguardano i numeri complessi esponenziali e trigonometrici.
𝒊𝜽
−𝒊𝜽
Sommando entrambe le uguaglianze si ottiene che 𝑒
𝑖𝜃
−𝑖𝜃
= 2 cos 𝜃
Sottraendo entrambe le uguaglianze si ottiene 𝑒
𝑖𝜃
−𝑖𝜃
= 2 𝑖 sin 𝜃
Da cui otteniamo che
𝒊𝜽
−𝒊𝜽
𝒊𝜽
−𝒊𝜽
Tutte quattro sono le formule di Eulero.
Se θ=π, la prima formula diventa 𝑒
𝑖𝜋
= cos 𝜋 + 𝑖 ∙ sin 𝜋 → 𝑒
𝑖𝜋
𝒊𝝅
L’equazione di Eulero. Contiene i numeri fondamentali dell’analisi matematica: 0, 1, i, e, π.
