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NUMERI COMPLESSI PT
CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia z = a + bi. il numero complesso
E' detto coniugato di z
Proprietà del coniugato
Siano z 1 = a + bi , z 2 = c + di ∈ C
COORDINATE POLARI
Il punto z lo possiamo rappresentare con le coordinate polari ( r , θ ) dove r è la lunghezza del segmento oz , detto raggio polare, e θ è l'angolo compreso tra asse x e oz misurato in senso antiorario usando gli angoli radianti (studia la tabella del pigreco 💀)
z = a + bi ⟼ (Re z , Im mz ) = ( a , b )
- z 1 + z 2 = z 1 + z 2
- z 1 z 2 = z 1 ∗ z 2
- se z 1 ≠ 0, allora ( (^) z^11 ) = (^) z^11
- se z 2 ≠ 0, allora ( z z^12 ) = z z^12
r = | z | = √ a^2 + b^2
N.B. (^1) z =
Forma trigonometrica di un numero complesso
Dato un numero complesso z = ( r , α ), in coordinate polari per ricavare la sua forma algebrica si fa:
r cos( α ) = a r sin( α ) = b
Quindi la ==forma trigonometrica ==di z è:
z = r (cos( α ) + i sin( α ))
Viceversa, se z è dato in forma algebrica z = a + bi , abbiamo che r = | z | e α è determinato da
cos( α ) = ar
sin( α ) = b r
Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica
z 1 = r (cos( α ) + i sin( α )) z 2 = s (cos( β ) + i sin( β ))
z 1 z 2 = rs (cos( α + β ) + i sin( α + β ))
Formula di de Moivre
Dati n ∈ N e z = r (cos( α ) + i sin( α )) ∈ C si ha che
zn^ = rn (cos( nα ) + i sin( nα ))
Radici n-esime
y ∈ C, n ∈ N, si dicono radici n-esime di y le soluzioni dell'equazione xn^ = y
Teorema
Siano y ∈ C, n ∈ N, esistono n radici n-esime complesse e distinti z 0 , z 1 , … , zn −1 di y. Avremo quindi per il caso base:
z 0 = √ nr (cos( αn ) + i sin( αn ))
e invece per gli altri casi per k = 1, … , n − 1
