Scarica Parte 2 - Matrici per la cinematica e più Dispense in PDF di Meccanica Applicata solo su Docsity!
METODIMETODI MATRICIALI PER CINEMATICA E DINAMICAMATRICIALI PER CINEMATICA E DINAMICA
¾ ¾ rappresentazione matriciale dei vettorimatrici di rotazione
¾ composizione delle matrici di rotazione
¾ ¾ forma matriciale del prodotto scalare e vettorialerappresentazione minima dell’orientamento
¾ ¾ coordinate omogenee e matrici di posizionematrici di rototraslazione
¾ ¾ matrici dell’asse elicoidalematrici di velocità e di accelerazioni
Prima di definire i modelli cinematici dei robot si introducono alcuni concettidi algebra matriciale utili per la rappresentazione della posizione e
dell’ corpi rigidiorientamento e della, delle cinematica relativa distribuzioni di velocità e accelerazione. dei
2
RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DEI VETTORIRAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DEI VETTORI
⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨ = + + → =⎧ zy x y z x VV V r V x r V y r V z r V V
Raccogliendo le vettore colonna componenti del vettore si ha la rappresentazione matriciale in un
Le componenti del vettore dipendono dal sistema di riferimento Considerando 2 terne (1) e (2) , le 2 rappresentazioni devono essere legate da.
una relazione , essendo la descrizione dello stesso vettore,
⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨
⎧ ⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨ = + + =⎧ 22 22 22 22 22 2 2 x y z VV zy V V V^ T Vx zy V x y z x rr r r r r r
terna (2) Oj X jY j Zj
⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨
⎧ ⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨ = + + =⎧ 11 11 11 11 11 1 1 x y z VV zy V V V^ T Vx zy V x y z x rr r r r r r
terna (1) O 1 X 1 Y 1 Z 1
X
O
Z
Y
V Vx
Vz Vy
Y 2
Vy (^2) Vx 2^ X^2 O 2 Vx 1
Vy 1 O 1
Y 1
X 1
V
3
2 Uguagliando i prodotti matriciali → V r = { x r 1 y r 1 z r 1 } (^) ⎪⎩⎪⎨⎧ VVVzy^ x 111 ⎪⎭⎪⎬⎫={ x r 2 y r 2 z r 2 } (^) ⎪⎩⎪⎨⎧ VVVx zy 222 ⎪⎭⎪⎬⎫
Premoltiplicando per ⎪⎩⎪⎨⎧ zyx rr 111 ⎪⎭⎪⎬⎫ →
r ⎪⎩⎪⎨⎧ zyx 111^ ⎪⎭⎪⎬⎫^ {^ x^1 y^1 z^1 }^ ⎪⎩⎪⎨⎧ VVV^ xzy 111 ⎪⎭⎪⎬⎫=⎪⎩⎪⎨⎧ zyx rr 111 ⎪⎭⎪⎬⎫{^ x r^2 y r^2^ z r^2 }^ ⎪⎩⎪⎨⎧ VVVx zy 222 ⎪⎭⎪⎬⎫ r r r r rr
r
Essendo (^) x r 1 , y r 1 , z r 1 i versori di una terna ortogonale, si ha ⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨
⎧ ⎥⎥⎥⎦
⎤ ⎢⎢⎢⎣
⎡ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎭⎪⎬
⎫ ⎪⎩⎪⎨
⎧ ⎥⎥⎥⎦
⎤ ⎢⎢⎢⎣
⎡ 11 22 11 22 11 22 22
1 2 1 2 1 2 11
1 2 00 01 10
1 0 0 zy VV zy
V VV V (^) x x zy xx zy yy zy zz
x x x y x z rr rr rr rr rr rr
r r r r r r
Chiamando conrispetto alla quale le componenti di un vettore o una matrice sono calcolati, si ha R 12 la matrice 3 x3 a 2° membro e indicando con un apice (1)^ la terna
22
2 11 V^1 1 V^2 ⎪ → V = R V ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⎩ ⎪ =⎪⎨⎧ ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⎩ =⎪⎨⎧ zy VV zy
V VV
V (^) x x
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MATRICE DI ROTAZIONEMATRICE DI ROTAZIONE
Si definisce matrice di rotazione e si indica con R 12 ( )
= ⋅ ⋅ ⋅^1
21 21 2
1 22 22 22
2 2 2 11 22 11 22 11 22 12 1 2 1 2 1 2 x y z zy xx yz yy yz zz R x x x y x z zy zy zy
x x x xx yy zz
x y z rr rr rr rr rr rr
r r r r r r
V^ ( )^1 = R 12 V ( )^2
Dalla espressione a 2° membro di direttori della terna (2) rispetto alla terna R 12 si vede che (1). le colonne sono i coseni Ciascuna colonna, 3° e 4° membro,
rappresenta le componenti dei versori di (2) rispetto a (1).
⎪⎩⎪⎨ ( )^ ( )^ ( )^ ( )^ ( )^ ( )
21 21 21 21 21 21
21 21 21 21 21 21 x x y y z z
x TTy y TTz z TTx
La matrice R T R = RI 12 , come risulta dalle seguenti relazioni è ortogonale poiché, indicando con I la matrice identità (3x3), si ha
12 12
Postmoltiplicando per R 12 -1^ si ha R 12 T = R 12 −^1
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PROPRIETPROPRIETÀÀ DELLA MATRICE DI ROTAZIONEDELLA MATRICE DI ROTAZIONE
Le colonne diterna (2) rispetto alla terna R 12 possono essere interpretate come i coseni direttori o i versori della (1), viceversa le righe sono i coseni direttori o i versori
della terna (1) rispetto alla terna (2), per cui esistono le relazioni
( ) ( ) ( ) ( ) ( )^ ( )( )
TT
T zy R x y z x 1122
2 12 11 11 11
(^1212121111) 22 22 22 12 2 2 2 xx yy zz
x y z zy zy zy
x x x zy zy zy
x x x xx yy zz
x y z
R 12 = R 21 −^1 = R^ T 21
Tutte queste relazioni sono equivalenti a della matrice di rotazione : R 12 contiene solo 6 equazioni indipendenti 3 parametri indipendenti tra i 9 termini.
⎪⎪⎩⎪( )^ ( )^ ( )
×× ==
× =
×× ==
× =
1122 1122 1122
12 12 12 2211 2211 2211
21 21 21 (^221122112211) (^212121) 2222 2222 2222
(^222222) 11
zy xz yx
x y z zy xz yx
x y z yz zy zy x x x xx yy zz
x y z xx yy zz x y z zy zy zy
x x x
o anche quelle già viste xx^ ( )^2 ( ) 211 T T ⋅⋅ yx ( )( ) 2211 == 10 yy ( )( ) 2211 TT ⋅⋅ yz ( )^2 ( ) 211 == 10 zz ( )^2 ( ) 211 T T ⋅⋅ x z ( )^2 ( ) 211 == 10
Per l’ortogonalità e →.
Dalla definizione di matrice di rotazione e dalla relazione si ricava
R (^) 12 T^ R 12 = I det ( A B ) =det( A ) det( B ) det ( R 12 ) = 1
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ROTAZIONI ELEMENTARIROTAZIONI ELEMENTARI
Sia O 0 X O 0 Y 1 X 0 Z 1 Y 0 1 con una rotazione elementare antioraria di un Z 1 la terna ottenuta dalla terna di riferimento
angolo O 1 X 1 Y 1 α Z 1 intorno all’asse coordinatohanno componenti rispetto agli assi della terna Z. I versori di di riferimento (coseni direttori) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎭
cos 0 sin sin 0 x 10 cosαα y 10 αα z 10^ X 0
O 0 ≡ O 1
Z 0 ≡ Z 1
Y 0 X 1
Y 1 α α
Per rotazioni elementari di β intorno a Y e γ intorno a X si hanno matrici di rotazione
La matrice di rotazione chedefinisce la terna (1) rispetto
alla terna (0) è
( ) ( ) ( ) (^) ( ) ⎥⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢⎢
⎢ ⎣ = =⎡^ − ⎥⎥⎥⎦
⎤ ⎢⎢⎢⎣ =⎡ sin 0 cos 0 10 R 01 x 10 y 10 z 10 R z α cosαα sin αα^0
R (^) y ( β)=⎢⎢⎢⎣⎡−cossin 0 ββ 010 cossin (^0) ββ⎥⎥⎥⎦⎤ R x ( )γ =⎢⎢⎢⎣⎡ 001 sincos^0 γγ − cossin^0 γγ⎥⎥⎥⎦⎤
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COMPOSIZIONE DI MATRICI DI ROTAZIONECOMPOSIZIONE DI MATRICI DI ROTAZIONE
Consideriamo tre terne aventi la stessa originecon V (0) , V (1) , V (2) le rappresentazioni nei tre sistemi di riferimento del vettore O X 0 Y 0 Z 0 , O X 1 Y 1 Z 1 e O X 2 Y 2 Z 2 V e.
Indicando con R 01 e R 02 le rotazioni delle terne (1) e (2) rispetto a (0), si ha
(a) → V^ ( )^0 = R 01 V ( )^1 (b) → V ( )^0 = R 02 V ( )^2
R (^) 02 = R 01 R 12
Considerando la matrice di rotazionequest’ultima nella (a) si ha V ( 0 ) = R 01 RR 1212 , si ha V ( ) 2 che confrontata con la ( V ( )^1 = R 12 V ( )^2. Sostituendob) conduce a
La rotazione espressa dalla matrice di rotazioneinizialmente sovrapposta con O X 0 Y 0 Z 0 in O X 2 Y R 2 Z 022 , può essere interpretata come, che porta una terna
¾composta da due rotazioni successive una rotazione R 01 che ruota la terna inizialmente sovrapposta a O X 0 Y 0 Z 0 in O X 1 Y 1 Z 1 ¾ Un’altra rotazione R 12 che ruota la terna ora in O X 1 Y 1 Z 1 nella posizione finale O X 2 Y 2 Z 2 La rotazione complessiva composta da rotazioni parziali successive rispetto alla terna risultante dalle rotazioni precedenti, detta terna corrente definite, si ottiene moltiplicando da sinistra a destra le rotazioni successive rispetto alla ternacorrente.
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RAPPRESENTAZIONE MINIMA DELLRAPPRESENTAZIONE MINIMA DELL’’ORIENTAMENTOORIENTAMENTO
¾ L’orientamentol’orientamento di 2 terne a essi solidali. relativo tra 2 corpi rigidi nello spazio si esprime tramite ¾ La in quanto dei 9 elementi solo 3 sono indipendenti. matrice di rotazione dà una descrizione ridondante dell’orientamento ¾ Una descrizione con minima dell’orientamento. 3 parametri indipendenti è una rappresentazione ¾ Delle molteplici rappresentazioni minime ne consideriamo una. Angoli di Eulero
Forniscono una rappresentazionedell’orientamento componendo
3 rotazioni elementari agli assi della terna corrente rispetto.
Esistono 12 possibilità: consideriamouna detta ZXZ
θ (^2)
θ (^1) X θ^3 0
O 0 ≡ O 1
Z 0
Y 0 X 1
Z (^1) Y 1
n
13
Angoli di EuleroAngoli di Eulero ↔↔ matrice di rotazionematrice di rotazione^4
=⎡^ −
sin 0 cos 0 10 cos sin 0 00 cossin cossin
sin 0 cos 0 10 cos sin (^03333) 1 1 22 22 (^11) θθ θθ θ θ θθ θθ R θ θ
Le relazioni inverse si ottengono semplicemente con i seguenti calcoli:
La matrice di rotazione corrispondente è R = R Z (^) 1 , 0 (θ 1 ) R X 1 , 1 (θ 2 ) R Z 1 , 2 ( θ 3 )
1 3 231 23 132 31 2 3 122 13 1 23 13 1 2 3 12 SCSCSCS SSSCCCC CCS Ponendole relazioni tra matrice di rotazione e e R CC SCS CS SCC SS angoli di Eulero sono
Si =sin θ i Ci =cos θ i }
3121 3222 3323
11 12 13 rr rr rr R r r r (^1332232213133122) 2 33 2 2 2 coscos sinsin sinsin sinsin
cos sin 1 cos θθ θθ θθ θ θ
θ θ θ rr r r
r ==− ==
Gli Se angoli di Eulero si ricavano dalle relazionigli angoli di Eulero degenerano in una rotazione intorno → Z
pari a sin 0 1 θ^ i =atan^2 (^ sinθ i ,cos^ θ i )
θ θ 21 =± θ 3 → C 2 =±
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POSIZIONE DI UN CORPOPOSIZIONE DI UN CORPO
È esprimibile tramite laUsualmente si fissa una posizione di un suo punto più l’orientamento terna solidale al corpo :.
¾ ¾ come punto si sceglie l’come orientamento quello origine della terna degli assi della terna
La rappresentazione di un punto in un sistema di riferimento cartesiano Coordinate omogenee ortogonale destro è P ( x ,^ y ,^ z ). Consideriamo le coordinate omogenee:
¾ 4 coordinate a , b , c , u
¾ relazioni con le coordinate cartesiane
¾ significativo il rapporto tra a , b , c e u : scelte
¾ u rappresenta il fattore di scala
∞^1
zy cb uu
x au
Queste informazioni possono essere in modo conveniente raggruppate inuna matrice 4x4 coordinate omogenee.
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Posizione e orientamento in coordinate omogeneePosizione e orientamento in coordinate omogenee^2
Con l’adozione della ¾ un punto proprio quaterna di coordinate P ( a , b , c , u ) , con il fattore di scala è possibile descrivere ¾ unper il quale si ha punto improprio P (^) i cioè la direzione di tutte le rette di un fascio il fattore di scala u = 0 parametri direttori a , b , c il segno di a , b , c determina il verso
u ≠ 0
Usualmente si assume ¾ punto proprio: u = 1 P ( a = x , b = y , c = z , 1 ) omogenee cartesiane ¾ punto improprio: necessariamente u = 0 P essendo significativo solo il rapporto tra (^) i ( a , b , c , 0) a , b , c si pone a 2 +b 2 +c^2 =1 e in questo caso a , b , c sono i coseni direttori
P = { x y z 1 } T^3 P ={ x y z } T
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MATRICE DI POSIZIONEMATRICE DI POSIZIONE
È omogenee una matrice. Considerate 4 x 4 che contiene punti propri e impropri in coordinate 2 terne qualsiasi permette di
¾ trasformare la rappresentazione in coordinate omogenee di un punto daun sistema a un altro trasformazione omogenea
¾ rappresentare una terna rispetto a un’altra
P r 0 (^) = T r+ P r 1
Supponiamoqualsiasi (0) edi (1) avere e descriviamo 2 terne
larispetto a esse. posizione di un punto P
Con una rappresentazione matriciale dei vettori rispetto a una genericaterna ( i ) si ha (^3) P 0 ( i ) (^) = (^3) T ( ) i (^) + (^3) P 1 ( ) i
X 0
O 0
Z 0
Y (^0) X 1
Z (^1) Y 1 O 1
P
P^ r 0 P^1
r T^ r
19
4 01 01 ( )^0 0 ( )^0 011 ( )^1 0 0 0 1
M R T ⎥⎥⎥⎥ P = M P ⎦
⎤ ⎢⎢⎢
⎢ ⎣
⎡ = →
La matrice M 01 descrive la posizione della terna (1) rispetto alla terna (0)
¾ R 01 descrive la posizione angolare di (1) rispetto a (0) ¾ T (0)^ descrive la posizione dell’origine di (1) rispetto a (0) ¾ M parametri di rotazione di cui solo 3 indipendenti: 01 è composta da 3 parametri di posizione ( T x , 6 parametri T y , T z ,) e da 9
indipendenti , sufficienti per rappresentare un corpo nello spazio.
¾ Mterna 01 , quindi, descrive la (1) rispetto alla terna posizione di un corpo rigido solidale alla (0).
La matrice M 01 dipende dalla scelta operata per i 2 sistemi
X 0
O 0
Z 0 Y (^0) X 1
Z (^1) Y 1 O 1
P^ r^0^ P P^ r^1
T^ r
20
5
¾ M 01 assume i nomi
matrice di posizione
¾ ogni colonna di della terna (1) espressi nella terna M 01 contiene le coordinate omogenee dei (0) punti notevoli
lel’ ultima colonna prime 3 colonne rappresenta l’ sono i punti impropriorigine di (1) di vista dalla terna X 1 , Y 1 , Z 1 nella terna (0) (0)
¾ Mcinematica aperta 01 è utile per descrivere la: a ogni membro corrisponde una matrice di posizione posizione di meccanismi a catena
P 0 ( 0 )^ = M 01 P 1 ( )^1 → ⎩⎨⎧matricematricedidicambiotrasformazdicoordinateione
01 01 01 0 01 0011 0011 0011 00 z z z^ z
xxyx yyyx zzyx TTyx
x y z T
M
X 0
O 0
Z 0 Y (^0) X 1
Z (^1) Y 1 O 1
P^ r 0^ P P^ r^1
T^ r
21
Trasformazione inversaTrasformazione inversa^6
Dalla matricecoordinate da M (1) (^01) a che converte le(0) si calcola la matriceinversa che compie l’operazione
P 0 ( )^0 = M 01 P 1 ( )^1 ↔ P 1 ( )^1 = M 10 P 0 ( )^0
10 011
01100 011 0111 11 01100 −
− − −
M M
M P M M P P M P
La matrice di posizione trasformazione inversa. Tuttavia le matrici di posizione hanno una si ottiene con l’ inversione della struttura conveniente che (^) rispetto alla formula generale.permette di ottenere l’ inversione in maniera
Moltiplicando a sinistra la prima per (^) M 01 −^1 e confrontando
X 0
O 0
Z 0 Y (^0) X 1
Z (^1) Y 1 O 1
P^ r 0^ P P^ r^1
T^ r
22
7
(^10010101) 01 10
01 01 10 10 1001 10011 3 01
0 0010001 TR TRTT^0
R T R T RR RR IR
T
T
M 10 = M 01 −^1
TR 1010 == − RR^01 T 01 T T 01 M^10 R^10 T^10 R^01 T R^01 T^ T^01
M posizione hanno la 01 e M 10 come matrici di struttura , M 01 R 01 T (^01) M 10 R 10 T 10
con R 10 e T 10 da determinare }
Dalla definizione di matrice di posizione si ottiene M (^) 01 M 10 = I
25
EsempioEsempio^3
X 0
O 0
Z 0
Y 0
b
Z 1 c a
X 1
Y 1
O 1
M 01 = M 01 ′ M 1 ′ 1 ′′ M 1 ′′ 1 ′′′ M 1 ′′′ 1
( ) ((^ ))^ ((^ ))
sin 0 2 00 cos 0 2 10
cos 0 2 10 sin 0 2 00
M 11 R y π^200 ππ π π
M 01 10 10 00 bac
¾ Traslazione nella posizione finale → M 01’
¾ Rotazione intorno a Y’ di π / 2 → M 1’1’’ ¾ Rotazione intorno a Z’’ di π / 2 → M 1’’1’’’ ¾ Rotazione intorno a X’’’ di α → M 1’’’
26
24
M 01 = M 01 ′ M 1 ′ 1 ′′ M 1 ′′ 1 ′′′ M 1 ′′′ 1
( ) (( )) (( )) ⎥⎥
sincos 22 cossin 22 00 00 0 0 0 10
M 11 R z π^200 ππ^ ππ
( )
00 sin 0 cos 0 10
01 cos^0 sin^000
M 11 R x α^00 αα αα
X 0
O 0
Z 0
Y 0
b
Z 1 c a
X 1
Y 1
O 1
27
00 cos 0 sin 0 1
10 sin 0 cos 0
00 sin 0 cos 0 10
01 cos^0 sin^000 00 00 01 10
01
01
01 01 11 11 11
cb
a
cb
a
M
M
M M M M M
5
⎥⎥⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢⎢⎢
⎢ ⎣
⎡ + +
⎥⎥⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢⎢⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥⎥⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢⎢⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥⎥⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢⎢⎢
⎢ ⎣
⎡ = =
0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 03 01 12 23 011223 0112 01
03 01 12 23 01 01 12 12 23 23
M R R R R R T R T^ T
M M M M R T R T R T
3
28
6
− −
cos 0 00 sin 0 cos 1 sin sin^001 cos^0 sin cos
00 cos 0 sin 0 1
10 sin 0 cos 0
10
10 01 0101
1 10 011
aa c c
b
cb
a
M
M R R T
M M
T T X 0
O 0
Z 0
Y 0
b
Z 1 c a
X 1
Y 1
O 1
Trasformazione inversa^4
31
3 Per definirecompatta Q (0)^ scriviamo le 3 relazioni P^ ( j,^^02 ) = Q ( )^0 P ( ) j,^01 in forma matriciale
punti impropri degli assi 4 punti notevoli della terna (^) { origine della terna
Fissando arbitrariamente sul corpo una terna, che nel movimento assume leposizioni O 1 X 1 Y 1 Z 1 e O 2 X 2 Y 2 Z 2 , l’identificazione di Q (0) (^) è immediata,
introducendo nella relazione precedente
[ P 1 ( ) (^) ,^02^ P 2 ( )^0 , 2 P 3 ( )^0 , 2 ] = Q ( )^0 [ P 1 ( )^01 ,^ P 2 ( )^0 , 1 P 3 ( )^0 , 1 ]
[ ( )^ ( )^ ( )^ ( )] ( )^ [ ( )^ ( )^ ( )^ ( )] ( ) ( ) ( ) 0 02 011 011 10 ( ) (^0 )
02 0 01 011 02 011 010 01 011
0 10 10 10 10 02
20 20 20 20
Q M M M M Q M M
M Q M M M M Q M M
M
Q X Y Z O
M
X Y Z O
= → × → =
− −
− − −
32
3 bis
X 0
O 0
Z 0
Y 0
α
u, p
X 1
Z 1
Y 1
P 2 ( ),^01 P 1 ( ), 10
P 3 (,^01 ) P 1 (,^02 )
P 3 (,^02 ) P 2 (^0 ,^2 )
Z 2
X 2
Y 2
[ ( )^ ( )^ ( )^ ( )] ( )^ [ ( )^ ( )^ ( )^ ( )] ( ) ( ) ( ) 0 02 011 011 10 ( ) (^0 )
02 0 01 011 02 011 010 01 011
0 10 10 10 10 02
20 20 20 20
Q M M M M Q M M
M Q M M M M Q M M
M
Q X Y Z O
M
X Y Z O
= → × → =
− −
− − −
33
4 La matrice di rototraslazione Q (0)
¾ non dipende dal posizionamento della terna sul corpo
¾ dipende dal sistema di riferimento (0) : considerando una terna ( k )
Per trovare il legame tra Q (0)^ e Q ( k )^ scomponiamo
¾ (^) M 10^02 = M 10 kk M kk 02
M = M M
Q ( )^0 = M 02 M 10 Q ( ) k^^ = M k 2 M 1 k
sostituendo queste espressioni nella prima delle precedenti ( )
( ) k k ( ) k
k k k 0 0 0
2 1 Q M Q M
Q M M
( ) (^) ( )( ) =
(^002100210) k^ k k
k k k k Q M Q M
Q M M M M M M
= = essendo
o la relazione inversa
La relazione è analoga a quella per il cambio di base per vettori nellarappresentazione con matrici SS (3) ( ) ( )
V i^ = R ij V j R ji
34
5
¾ Δ R (0)^ descrive la rotazione del corpo nel sistema di riferimento (0)
¾ Δ T (0)^ la traslazione del corpo nel sistema di riferimento (0)
¾ in particolaresovrapposto con l’origine di Δ T (0)^ rappresenta lo spostamento del punto solidale al corpo (0) quando si trova nella posizione 1 , infatti si può
scrivere P 0 ( )^0 , 2 = Q ( )^0 P 0 ( )^0 , 1 , essendo
( ) ( )^ ( )
Q^0 M 02 M 10 R^0 T^0
La prodotto tra matrici di posizione matrice di rototraslazione Q (0), essendo definita come un, ne ha la stessa struttura
( ) ( ) ( )^ ( )^ ( )
P 00 , 1 00 P 00 , 2 R^0 T^0^ T^0
37
ROTOTRASLAZIONI ELEMENTARIROTOTRASLAZIONI ELEMENTARI
Quando laavviene rispetto a un asse coordinato rototraslazione di un corpo
del sistema di riferimento forme particolarmente semplici. Dalla (0) si hanno rotazione elementare intorno all’asse Z
( ) ⎥⎥⎥
=⎡^ −
sin 0 cos 0 10
α cosαα sin αα^0
R z
si ha Q z (0)( α ,hz ) = M 01 ( )^ (^ ) ⎥⎥⎥⎥
Q z^0 α, hz cossinαα cossin^ αα^00 h^00 z
u^ v , p α
α X 0 α
O 0
Z 0 = Z 1
X 1^ Y 0
O 1^ Y^1
h z
38
Matrici di rototraslazione analoghe si hanno per gli assi coordinati Y e X^2 ( ) (^) ( ) ⎥⎥
=−sin 00 001 cos 00 10
cos 0 sin 0
Q (^) y β hy hy ( )^ ( ) ⎥⎥⎥⎥ ⎦
00 sin 0 cos 0 10
Q x^0 γ, hx^01 cos^0 γγ sin^0 γγ h^0^ x
Esempio
u^ v , p α
Xu
O u
Z u
Y u
Z 0
O 0
Y 0
X 0
Δ y ( ) ( ) Δ^ z^ Δ^ x Q^0 = M 0 u Q zu M u 0
Si vuole descrivere nel sistema di riferimento la rototraslazione elicoidale rispetto all’asse (0). Per questo definiamo una terna coincidente con l’asse elicoidale con versore ( u ) con l’asse Z (^) u e usiamo la relazione^ u
r
u^ r
39
Q ( )^0 = M 0 u Q ( ) u M^ u 0 3
( ) α α α
zu h ⎥⎥⎥⎥ → h =^ p
Q cossin cossin^0000
La rototraslazione rispetto alla terna ( u ) è
Le matrici ( u ) sono M 0 u e M u 0 che esprimono le posizioni relative delle terne (0) e
M 0 u^000110 yzx M u 0 R^0 T u R^0 T u^ T^0 u yxz
u , p α v
Xu
O u
Z u
Y u
Z 0
O 0
Y 0
X 0
Δ y Δ z^ Δ^ x
2
40
4 Eseguendo il cambio dalla terna (0) alla terna ( u ) si ha Q ( 0 ) (^) = M 0 u Q ( ) u M (^) u 0
( ) (^ )( ) ⎥⎥
sin 0 00 cos 0 sin 1 cos 1
Q^0 cos^0 αα^10 sin^0 αα xx cosαα^1 h x z sin αα
sincos cossin 00 00 01 00 00 1
Q^0 M 0 u Q zu M u 0 00 01 10 yzx αα^ αα h xz y
⎥⎥⎥⎥^ =
cos 0 sin 0 00 1
sin 0 αα cos 0 α α 10 y zxh xz y
3
