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1 POTENZE E RADICALI 1
I-2 Potenze, Radicali e Logaritmi
Indice
1 Potenze e Radicali 1
1.1 Potenze con esponente naturale........................................ 1 1.2 Potenze con esponente intero......................................... 2 1.3 Radicali..................................................... 2 1.4 Proprietà dei radicali.............................................. 2 1.5 Operazioni con i radicali............................................ 4 1.6 Potenze con esponente razionale....................................... 5 1.7 Potenze con esponente irrazionale....................................... 6
2 Logaritmi 7
2.1 Definizione di logaritmo............................................ 7 2.2 Proprietà dei logaritmi............................................. 7
3 Soluzioni degli esercizi 10
1 Potenze e Radicali
In questa sezione parliamo di altri argomenti che sono stati affrontati nella scuola secondaria. Anche qui lo studente,
in caso senta la necessità di approfondire qualche argomento, può affiancare a queste pagine un testo già utilizzato in
precedenza.
1.1 Potenze con esponente naturale
Richiamo qui alcuni concetti che dovrebbero essere già largamente noti allo studente.
Se a è un numero reale fissato, si dice potenza di base a ed esponente naturale n (n = 1, 2 , 3 ,.. .), il numero
a n def = a · a · a ·... · a | {z } n volte
, se n > 1
o il numero a stesso, se n = 1.
Ecco alcune proprietà delle potenze appena definite.
Qualunque sia il numero a e qualunque siano i naturali m, n, si ha:
- am^ · an^ = am+n
- (am)n^ = (an)m^ = am·n
Con a ̸= 0 e n > m, si ha ancora:
- a n : a m = an am^ =^ a
n−m
Qualunque siano i numeri a e b e il naturale n:
- (a · b) n = a n · b n
Qualunque siano a e b ̸= 0, qualunque sia n, si ha infine:
- (a : b) n = a n : b n =
a b
n .
Osservazione Ribadisco un’osservazione già fatta nella sezione precedente: lo studente si abitui a saper utilizzare
queste regole “nei due versi”: tutte le identità qui sopra possono essere utilizzate da sinistra a destra o da destra a
sinistra.
1 POTENZE E RADICALI 2
1.2 Potenze con esponente intero
Il concetto di potenza, definita poco fa con esponente naturale, si può generalizzare al caso dell’esponente intero.
Questa prima generalizzazione si ottiene ponendo
a 0 def = 1 , se a ̸= 0 ; a −n def =
a
n
=
an^
, se a ̸= 0.
dove n è un numero naturale.
Attenzione che la scrittura 00 non viene definita e resta per ora (lo sarà anche nel seguito) priva di significato. Con le definizioni appena viste abbiamo definito le potenze con esponente intero, cioè il simbolo az^ , con z ∈ Z.
Queste potenze hanno, per effetto della definizione data, le stesse proprietà delle potenze con esponente naturale.
Osservazione La terza proprietà delle potenze con esponente naturale richiede che sia n > m. Con l’introduzione
del concetto di potenza ad esponente intero, la medesima proprietà può essere applicata anche se n ≤ m.
1.3 Radicali
Cominciamo con una definizione fondamentale.
Si dice radice n-esima (n ∈ N, n ≥ 2 ) di un numero reale a ≥ 0 quel numero reale b, pure lui non negativo, la cui
potenza di esponente n è uguale ad a: tale numero viene indicato col simbolo n
a. 1 In simboli quindi:
se a ≥ 0 e n ∈ N, n ≥ 2 , allora scrivere b = n
a, con b ≥ 0 , significa che bn^ = a.
Ad esempio,
4 = 2, perché 22 = 4. Attenzione che scrivere
4 = − 2 (o
4 = ± 2 ), in base alla definizione data,
non ha alcun senso. Quindi la radice n-esima di un numero non negativo è unica ed è un numero non negativo.
Osservazione Al simbolo n
a si può dare significato anche quando a < 0 , ma solo con n dispari (n = 3, 5 ,.. .): 2 in
questo caso il simbolo n
a indica il numero reale negativo b, tale che b n = a. Si vede facilmente che, se a < 0 ed n è
dispari, allora n
a = − n
−a. Quindi ad esempio 3
Nessun significato viene attribuito al simbolo n
a, quando a < 0 ed n = 2, 4 ,.. .; nessun significato ha pure il
simbolo
a, qualunque sia a. Quindi scritture come
4
0
− 2 , sono prive di significato.
1.4 Proprietà dei radicali
Premettiamo alle proprietà dei radicali un richiamo importante: dato un numero reale x, si definisce valore assoluto
o modulo di x la quantità
|x|
def
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Osservazione Dalla definizione segue che |x| è una quantità sempre non negativa e nulla se e solo se x = 0.
- Proprietà fondamentali.
Dalle definizioni del simbolo n
a, con a ≥ 0 , oppure con a < 0 , seguono facilmente le due seguenti proprietà:
(a)
√n bn^ =
b , se n è dispari |b| , se n è pari
Si noti che
√n bn^ è definita qualunque sia b, dato che, se n è pari, allora bn^ ≥ 0 , e, se n è dispari, la radice è comunque definita, essendo di indice dispari.
(b) ( n
a) n = a. (è chiaro che, se n è pari, deve essere a ≥ 0 .)
Ad esempio:
3
3
p (−2)^3 = − 2 ;
4
4
p (−2)^4 = | − 2 | = 2
(
3
3 = 2 ; (
3 = − 2 ; (
4
4 = 2.
Lo stesso se il radicale ha per argomento una quantità che contiene una variabile x.
(^1) La definizione è giustificata dal fatto che si può dimostrare che in R, dato un numero a ≥ 0 e un n ∈ N, esiste un unico numero b ≥ 0
tale che bn^ = a. Come d’uso, anziché 2
√ a scriviamo
√ a. (^2) Questo perché se a < 0 e n ∈ N, n dispari, esiste un unico numero b < 0 tale che bn (^) = a.
1 POTENZE E RADICALI 4
1.5 Operazioni con i radicali
- Addizione (o sottrazione) di due radicali.
In generale, la somma (o la differenza) di due radicali non è esprimibile con un solo radicale, anche se gli addendi sono radicali con lo stesso indice. Quindi, ad esempio
√ 2 +
3
6
6
ma a questo punto non possiamo scriverlo come un unico radicale. Grave errore sarebbe scrivere ad esempio √ 6 8 +
Sono ovviamente applicabili le consuete regole del raccoglimento: ad esempio
- Moltiplicazione (o divisione) di due radicali.
Il prodotto (o il quoziente) di due radicali può sempre essere espresso mediante un solo radicale: se i fattori della moltiplicazione (o i termini della divisione) hanno lo stesso indice, anche il prodotto (o il quoziente) avrà quell’indice e per radicando il prodotto (o il quoziente) dei radicandi.
Quindi, in simboli, si ha: √ n a ·
n
b =
n
a · b ,
n
a n
b
n
r a
b
dove però accorre anche qui fare attenzione all’ambito di validità. Se a ≥ 0 , b ≥ 0 non ci sono problemi (chiaramente dovrà essere b > 0 nella seconda). Se a oppure b sono negativi, dovrà essere n dispari.
Possiamo anche qui estendere la validità nel caso che a e b siano entrambi negativi e n pari, scrivendo
n
p |a| · n
p |b| =
n
a · b.
Ad esempio si ha:
3
3
Se i fattori (o il dividendo e il divisore) sono radicali con indici diversi, occorre ridurli prima allo stesso indice, per avere il prodotto (o il quoziente) espresso con un unico radicale, facendo sempre attenzione, come visto, nell’applicare la proprietà invariantiva.
Ad esempio:
3
Errato sarebbe invece fare:
3
6
6
p (−5)^2 =
- Potenza di un radicale.
Per elevare un radicale a potenza con esponente naturale (o intero) basta elevare a potenza il suo radicando. In simboli: ( n
a) k =
n
ak.
Naturalmente le due quantità devono essere definite (quindi ad esempio, se k < 0 , deve essere a ̸= 0).
Ad esempio: ( 3
2)^2 =
3
−5)^2 =
3
Notare che invece (
−2)^2 =
4
4 non è corretta, dato che
− 2 non ha significato.
Quindi, attenzione prima di applicare questa proprietà ad un radicale il cui argomento contiene una variabile. Si devono anzitutto porre le corrette condizioni di esistenza.
Esempi: (
x − 2) 2 = x − 2 , per x ≥ 2 ;
invece: (
x − 2) 3 = x − 2 , qualunque sia x.
- Radice di un radicale.
La radice di un radicale può, in generale, diventare un radicale semplice, avente per indice il prodotto degli indici ed il medesimo radicando: fare però attenzione come sempre. Quindi, in simboli:
n
q m^ √ a = nm^ √ a.
1 POTENZE E RADICALI 5
Se a ≥ 0 , non ci sono problemi. Se a < 0 , occorre che n ed m siano entrambi dispari.
Osservazione Un fattore numerico esterno ad un radicale potrà sempre essere pensato come un radicale. Attenzione però che un fattore negativo non può essere scritto come radicale di indice pari.
Vediamo alcuni esempi:
4
4
4
3
p (−2)^3 ·
3
4
3 non si può scrivere come 4 p (−2)^4 · 4
- Occorre fare − 2 4
4
4
4
Vediamo altri esempi significativi, in cui si applicano le proprietà viste finora.
4
4
3
p (−5)^10 = 3
p (−5)^9 (−5) = | − 5 | 3 · 3
p | − 5 | = 125
3
Qui occorre usare i moduli dato che la quantità iniziale è positiva.
p (−2)^7 = 3
p (−2)^6 (−2) = (−2) 2 · 3
p (−2) = −(−2) 2 ·
In questo caso la quantità iniziale è negativa, e tali devono restare anche i membri delle uguaglianze sucessive.
- Razionalizzazione dei termini di una frazione.
Sfruttando la proprietà invariantiva delle frazioni è possibile rendere razionale il denominatore (o il numeratore) di una espressione fratta, che sia irrazionale, naturalmente a scapito dell’altro termine.
Richiamiamo con esempi i casi più semplici e utili: lo studente eventualmente approfondisca l’argomento, rivedendo quanto già sa dalla scuola secondaria.
1 ◦^ caso: 3 2
√ 2
. Per rendere razionale il denominatore moltiplichiamo numeratore e denominatore per
Quindi: 3 2
√ 2
√ √^2 2
3
√ 2
◦ caso: 5 3 4
√ 2
. Per rendere razionale il denominatore moltiplichiamo numeratore e denominatore per
Quindi: 5 3
√ 4 2
√ 4 23 √ 4 23
5 4
√ 8
◦ caso:
√ 5 −
√ 2 3.^ Qui razionalizziamo il numeratore:^ basta moltiplicare numeratore e denominatore per (
Quindi:
√ 5 −
√ 2 3 =^
(
√ 5 −
√ 2)(
√ 5+
√
3(
√ 5+
√
5 − 2 3(
√ 5+
√
√^1 5+
√ 2
Altro esempio: x x+
√ x = x x+
√ x
x−
√ x x−
√ x
x(x−
√ x) x^2 −x , precisando però che il tutto ha senso per x > 0 e x ̸= 1,
affinché sia definito il radicale iniziale, non sia nullo il denominatore della frazione iniziale e non sia nulla la quantità (x −
x) per cui abbiamo moltiplicato.
4 ◦^ caso: 3 2 − 3
√ 2
. In questo caso il fattore che razionalizza il denominatore è (4 + 2 3
3
- (ricordare che
(a − b)(a 2
- ab + b 2 ) = a 3 − b 3 ). Quindi:
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1.6 Potenze con esponente razionale
Dati i numeri naturali m, n, con n > 1 , e il numero non negativo a, si definisce potenza di a con esponente razionale m n il valore del radicale n
am. In simboli:
a m/n def = n
am^ , con a ≥ 0.
Se l’esponente è razionale negativo, − m n , e a > 0 , sempre per definizione, si ha:
a −m/n def =
am/n^
n
am^
Per le definizioni date, i simboli am/n^ e a−m/n^ rappresentano sempre numeri non negativi. Essi godono di tutte le
proprietà delle potenze con esponente naturale.
2 LOGARITMI 7
2 Logaritmi
2.1 Definizione di logaritmo
Anche la definizione di logaritmo e le relative proprietà dovrebbero essere già note agli studenti. Coloro che invece tra
voi incontrassero questo termine per la prima volta sono invitati a consultare qualche testo di scuola secondaria in cui
tale argomento viene trattato.
Rivediamo comunque gli aspetti essenziali, cominciando dalla definizione di logaritmo.
Definizione Se b è un numero reale positivo diverso da 1 e a è un numero reale positivo, si dice logaritmo in base b
di a quel numero reale y tale che b y = a. In simboli
logb a = y significa che b y = a, con b > 0 , b ̸= 1 e a > 0.
Quindi logb a è l’esponente che devo dare a b per ottenere a. Si dice che b è la base del logaritmo e che a è l’argomento.
Ci sono alcuni casi particolari, che è bene ricordare:
- logb 1 = 0, qualunque sia la base b ( 0 < b ̸= 1), dato che b 0 = 1;
- logb b = 1, qualunque sia b ( 0 < b ̸= 1), dato che b 1 = b.
Vediamo qualche esempio.
- log 2 8 = 3, poiché 2 3 = 8;
- log 10 100 = 2, poiché 10 2 = 100;
- log 2 1 4 =^ −^2 , poiché^2
− 2
1 4 ;
- log 10 1 10 = − 1 , poiché 10 −^1 = 1 10
- log 1 / 2 4 = − 2 , poiché
1 2
- logb(b^2 ) = 2, poiché b^2 = b^2 (ovviamente con 0 < b ̸= 1);
- log 1 /b b = − 1 , poiché
1 b
= b (anche qui con 0 < b ̸= 1);
Dagli esempi risulta evidente che il valore del logaritmo può essere anche negativo (quindi l’argomento deve essere
positivo, ma poi il valore del logaritmo può avere segno qualunque). Anzi, riguardando gli esempi si intuisce che:
- se la base b è maggiore di 1, allora
il logaritmo è positivo quando l’argomento è maggiore di 1, il logaritmo è negativo quando l’argomento è minore di 1 (il logaritmo vale 0 se l’argomento vale 1);
- se la base b è minore di 1, allora
il logaritmo è positivo quando l’argomento è minore di 1, ed è negativo quando l’argomento è maggiore di 1 (anche qui il logaritmo vale 0 se l’argomento vale 1).
2.2 Proprietà dei logaritmi
Dalla definizione di logb a si deducono immediatamente due proprietà fondamentali:
logb(b y ) = y , con 0 < b ̸= 1 e b logb a = a , con 0 < b ̸= 1, a > 0.
La prima si può giustificare a parole così: logb(b y ) è l’esponente che devo dare a b per ottenere b y : si tratta
chiaramente di y. Anche la seconda è banale: se logb a è l’esponente che dato a b mi fa trovare a, allora evidentemente
b logb a è a. Queste due identità sono molto utili perché consentono di scrivere un numero reale rispettivamente come logaritmo
in una certa base di qualche cosa e come potenza in una certa base di qualcos’altro. 4
Ad esempio, se vogliamo scrivere 10 come logaritmo in base 2 e come potenza in base 2, basta scrivere
10 = log 2 ( 10 ) e 10 = 2 log 2 10 .
(^4) Le due proprietà sono utili nella risoluzione delle equazioni logaritmiche ed esponenziali.
2 LOGARITMI 8
Per quanto riguarda i numeri negativi, sarà certamente possibile scriverli come logaritmi, ma non come potenze
con base positiva. Così, volendo scrivere − 2 come logaritmo in base 10 basterà fare
−2 = log 10 ( − 2 ) = log 10
Non si può invece scrivere − 2 come potenza in base 10.
Ecco ora le altre proprietà dei logaritmi. Queste possono essere dimostrate facilmente, applicando le proprietà
delle potenze e le due identità fondamentali appena viste.
- logb(xy) = logb x + logb y , con x > 0 , y > 0 e 0 < b ̸= 1;
- logb x y = logb^ x^ −^ logb^ y^ , con^ x >^0 ,^ y >^0 e^0 < b^ ̸= 1;
- logb(x a ) = a logb x , con x > 0 e 0 < b ̸= 1.
A dimostrazione della prima, basta provare che elevando b alla quantità di destra si ottiene xy: infatti
b
logb x+logb y = b
logb x · b
logb y = xy.
Per la seconda le cose sono molto simili:
b logb x−logb y =
blogb^ x
blogb^ y^
x
y
Anche per la terza è lo stesso:
b a logb x =
b logb x a = x a .
Lo studente faccia attenzione a queste proprietà: si noti che esse sono state enunciate con argomenti dei logaritmi
tutti positivi (come è ovvio).
Da notare che peraltro la validità di queste proprietà può essere estesa ricorrendo all’uso del valore assoluto.
Possiamo infatti dire che per le prime due valgono queste proprietà più generali:
- logb(xy) = logb |x| + logb |y| , con xy > 0 e 0 < b ̸= 1;
- logb x y = logb |x| − logb |y| , con xy > 0 e 0 < b ̸= 1;
Per quanto riguarda la terza, possiamo osservare che, se la potenza x a richiede che sia x > 0 (come ad esempio nel
caso di a irrazionale), allora non c’è da modificare nulla. Se invece x a è definita anche per x < 0 (come ad esempio se
fosse a numero naturale pari), allora possiamo scrivere
- logb(xa) = a logb |x| , con x ̸= 0 e 0 < b ̸= 1
(la condizione x ̸= 0 va comunque precisata, poiché il logaritmo di 0 non esiste).
A volte può essere utile ricordare anche la formula del cambio di base di un logaritmo. Se conosciamo il logaritmo
in una certa base b di un numero positivo x, come possiamo esprimere il logaritmo in una diversa base c?
Scrivendo x come potenza in base c otteniamo
x = c logc x ,
da cui, applicando i logaritmi in base b ad entrambi, abbiamo
logb x = logb c logc x = logc x · logb c,
da cui
logc x =
logb x
logb c
che è appunto la nota formula del cambio di base: se conosciamo i logaritmi in base b la formula ci dice come calcolare
il logaritmo in base c.
Da notare che, nel caso particolare x = b, si ha l’altra importante identità
logc b =
logb c
Osservazione Occorre fare sempre molta attenzione nell’applicare le proprietà dei logaritmi.
3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 10
Esercizio 2.7 Scrivere, se possibile, come potenza in base e i seguenti numeri:
e ,
3
e
Esercizio 2.8 Il numero log 2 3 è positivo o negativo?
Esercizio 2.9 È vero che il logaritmo di un numero minore di 1 è sempre negativo?
Esercizio 2.10 È vero che log 4 (x^4 ) = 4 log 4 x per ogni x?
Esercizio 2.11 È vero che log 4 (x 4 ) = 2 log 4 (x 2 ) per ogni x diverso da zero?
Esercizio 2.12 Scrivere x come potenza in base z. Per quali valori di x e z ha senso l’uguaglianza?
Esercizio 2.13 Scrivere t come logaritmo in base y. Per quali valori di t e y ha senso l’uguaglianza?
3 Soluzioni degli esercizi
Esercizio 1.
Si ha
23 = (2^3 )^1 /^2 = 2^3 /^2 e 3
81 = (3^4 )^1 /^3 = 3^4 /^3.
Esercizio 1.
Attenzione qui: 4 32 significa 4 9 (e non 64 2 ) e quindi 2 18 .
Esercizio 1.
Certo che no. La quantità 2 1 /x non si può trasformare usando quella proprietà delle potenze. Si ricordi che 21 2 x^ significa 2 1 −x .
Esercizio 1.
Il primo, cioè 2 − 1 /x , si può scrivere anche come 1 21 /x^
. Invece per e
1 −x x (^) si può scrivere
e
1 −x x (^) = e
1 x −^1 = e^1 /x^ · e−^1 =
e^1 /x
e
Esercizio 1.
Si può scrivere x 5 / 3 .
Esercizio 1.
Si ha (^) √
x +
x^5
x
x
x
x
x
x^5
x
x
x
x^5 /^2
x^3 /^2
= x − 1
Esercizio 1.
La
6
a^3 è definita soltanto per a ≥ 0. Quindi la prima risposta al quesito è no. L’uguaglianza
6
a^3 =
a è vera dove
sono definite entrambe le quantità, e cioè per a ≥ 0.
Esercizio 1.
No. La prima quantità è definita per ogni a, mentre la seconda solo per a ≥ 0. La validità dell’uguaglianza è limitata
quindi agli a ≥ 0.
Esercizio 1.
Si ha
e
x
−x = e
x (1 + e
− 2 x )
e
e x
3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 11
Esercizio 1.
Si ha
e
x
1 /x = e
1 /x (e
x− 1 /x
Approfitto dell’occasione per mettere in guardia da un possibile fraintendimento in questo tipo di scritture: se scrivo
e x− 1 /x , ad esponente c’è x − 1 x e non x− 1 x
Se voglio scrivere la seconda con la frazione in linea devo scrivere e (x−1)/x .
Esercizio 2.
Si ha log 2 1 8 = log^2
− 3 = − 3 e log 3
9 = log 3 9 1 / 10 = log 3 3 1 / 5 = 1/ 5.
Esercizio 2.
Si ha
log√ 2
3
= log√ 2
= log√ 2 2 − 4 / 3 = log√ 2 ((
− 8 / 3 ) = − 8 / 3.
Esercizio 2.
In base alla definizione di logaritmo x = logy z significa che y x = z.
Esercizio 2.
Si ha:
0 = log 2 1 , 1 = log 2 2 , 2 = log 2 4 ,
= log 2 2 1 / 4 = log 2
= log 2 2 − 1 / 2 = log 2
Esercizio 2.
Si ha:
√ 2 = 2 1 / 2 , 3 = 2 log 2 3 ,
log 2
√ 3 = 2
1 2 log^2 3 ,
log (^2 ) = 2 − log 2 3 , e = 2 log 2 e
Esercizio 2.
Si ha:
1 = ln e , 2 = ln e 2 , −1 = ln e − 1 = ln
e
= ln e 1 / 2 = ln
e , −
= ln e − 1 / 3 = ln
3
e
Esercizio 2.
Si ha: √ e = e 1 / 2 ,
3
e
= e − 1 / 3 , 2 = e ln 2 ,
= e ln 1/ 2 = e − ln 2 .
Per quanto riguarda l’ultimo (− 1 / 3 ), è impossibile scrivere come potenza di base positiva un numero negativo.
Esercizio 2.
È maggiore di 1, quindi certamente positivo.
Esercizio 2.
No. È vero solo se la base del logaritmo è maggiore di 1.
Esercizio 2.
No. La prima espressione è definita per ogni x diverso da 0, la seconda solo per x > 0. L’uguaglianza è vera per x > 0.
Possiamo scrivere log 4 (x^4 ) = 4 log 4 |x|, e questa vale per ogni x diverso da 0.
Esercizio 2.
Sì, è vero. Infatti log 4 (x 4 ) = log 4 (x 2 ) 2 = 2 log 4 (x 2 ) (ovviamente se x ̸= 0).
Esercizio 2.
Si ha x = z logz x e la scrittura ha senso per z > 0 e z ̸= 1 e per x > 0.
Esercizio 2.
Si ha t = logy (yt) e la scrittura ha senso per y > 0 e y ̸= 1 e per qualunque t.
