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Capitolo 0
Primitive e Integrali Indefiniti
In questo capitolo ci proponiamo di esporre la teoria delle funzioni primitive per funzioni reali di una variabile reale e di dare cenni ai metodi utilizzati per la loro determinazione. Questo argomento fa parte del Calcolo Differenziale, ma trova le sue maggiori applicazioni nel calcolo degli integrali definiti.
0.1 Definizione e prime propriet`a
Definizione 0.1 Siano I un intervallo e f : I → R una funzione. Diciamo che una funzione F : I → R e primitiva della funzione f nell’intervallo I se Fe derivabile in I e si ha
F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ I.
Esempio 1
- F (x) = sin x + 2004 `e primitiva di f (x) = cos x in I = R.
- F (x) = log |x| `e primitiva di f (x) =^1 x
in I = (−∞, 0) e in I = (0, +∞).
Osservazioni
- Ovviamente, non ogni funzione
e la primitiva di un’altra. Infatti, ogni funzione non derivabile non puo essere una primitiva di alcuna funzione. - Tutte le funzioni continue in I ammettono certamente primitiva in I. Questo segue dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (vedi Cap. 1)
- Esistono funzioni che non ammettono primitiva. Ad esempio, la funzione f (x) = sgn (x) non ammette primitiva in alcun intervallo aperto contenente l’origine. (Questo segue dal fatto che le derivate godono della propriet`a di Darboux.)
- La primitiva, se esiste, non
e unica. Infatti, se la funzione Fe primitiva di f in I, allora tutte le funzioni G (x) = F (x) + c (c ∈ R) sono primitive di f in I.
Inoltre tutte le primitive hanno questa forma come afferma la seguente
Proposizione 0.2 Sia I ⊆ R un intervallo. Se le funzioni F e G sono primitive di f in I allora esiste una costante c ∈ R tale che
G (x) = F (x) + c per ogni x ∈ I.
2 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI
Dim. Sia H = G − F. Per ogni x ∈ I si ha
H^0 (x) = G^0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0.
Per un Corollario del Teorema di Lagrange segue quindi che la funzione H `e costante in I. N
Nella Proposizione precedente l’ipotesi che I sia un intervallo `e essenziale, come mostra il seguente esempio.
Sia E = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) e la funzione f (x) = (^1) x. La funzione F (x) = log |x| `e una primitiva di f in E. Lo sono anche le funzioni
G (x) =
log(−x) + a se x < 0 log x + b se x > 0
per ogni a, b ∈ R (anche distinti!).
Definizione 0.3 Si chiama integrale indefinito di f in I l’insieme delle sue primitive e viene denotato con il simbolo Z f (x) dx.
Quindi, se F `e una primitiva di f in I si ha Z f(x) dx = {G : I → R tali che esiste c ∈ R tale che G (x) = F (x) + c per ogni x ∈ I}.
Per comodit`a di scrittura useremo la seguente forma Z f(x) dx = F (x) + c.
0.2 Calcolo di primitive
I metodi per il calcolo degli integrali indefiniti sono conseguenze immediate di alcune propriet`a delle derivate.
Proposizione 0.4 (Linearit`a) Siano f e g due funzioni che ammettono primitiva in I. Allora, per ogni a, b ∈ R si ha Z [af (x) + bg (x)] dx = a
Z
f (x) dx + b
Z
g(x) dx.
Esempio 2
Z (^) x (^2) + 3x + 1 x
x dx^ =
Z √
x dx + 3
Z 1
x dx^ +
Z 1
x
x dx
3 x
x + 6
x −
√^2
x +^ c.
4 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI
Per utilizzare al meglio questa tecnica `e opportuno rileggere il teorema precedente anche in modo diverso. La formula Z f (ϕ (x)) ϕ^0 (x) dx = F (ϕ (x)) + c
si pu`o anche scrivere come ·Z f (t) dt
t=ϕ(x)
Z
f (ϕ (x)) ϕ^0 (x) dx.
Quindi, dovendo calcolare
R
f (t) dt, si opera la sostituzione t = ϕ (x) (da cui dt = ϕ^0 (x) dx) e ci si riconduce a determinare
R
f (ϕ (x)) ϕ^0 (x) dx.
Esempio 6
Per calcolare
R
arctan
x dx in I = (0, +∞) si pone
x = t, ossia x = t^2 , e quindi dx = 2t dt e, integrando per parti, si ha quindi Z 2 t arctan t dt = t^2 arctan t −
Z (^) t 2 t^2 + 1
dt = t^2 arctan t −
Z ¡t (^2) + 1¢^ − 1 t^2 + 1
dt
= t^2 arctan t − t + arctan t + c.
Ricordando che
x = t, si ottiene Z arctan
x dx = x arctan
x −
x + arctan
x + c.
Esempio 7
Per calcolare
R
x cos^2
x^2 + 3
dx si pone x^2 + 3 = t, e quindi 2x dx = dt e quindi ci si riconduce a calcolare
1 2
Z
cos^2 t dt.
Integrando per parti si ottiene Z cos^2 t dt = sin t cos t +
Z
sin^2 t dt.
Dalla relazione sin^2 t = 1 − cos^2 t si ottiene Z cos^2 t dt = sin t cos t + t +
Z
cos^2 t dt
da cui si ricava Z cos^2 t dt =^12 (sin t cos t + t) + c
e quindi Z x cos^2
x^2 + 3
dx =^1 4
sin
x^2 + 3
cos
x^2 + 3
+^1
x^2 + c.
0.3. CENNI ALL’INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI 5
0.3 Cenni all’integrazione delle funzioni razionali
Vogliamo accennare al metodo per determinare le primitive di funzioni della forma
f (x) = (^) BA^ ((xx))
con A e B polinomi. Possiamo considerare solo il caso in cui deg A (x) < deg B (x). Infatti se fosse deg A (x) ≥ deg B (x) allora esisterebbero (unici!) due polinomi (quoziente e resto) Q (x) e R (x) con deg R (x) < deg B (x) tali che
A (x) = Q (x) B (x) + R (x).
Ossia
f (x) =
A (x) B (x) =^ Q^ (x) +^
R (x) B (x).
Il polinomio a coefficienti reali B (x) pu`o essere scomposto in modo unico in fattori nel seguente modo
B (x) = α (x − b 1 )n^1 · · · (x − bl)nl^
x^2 + c 1 x + d 1
¢m 1 · · ·
x^2 + ckx + dk
¢mk
dove α ∈ R, bi e radice reale di B (x) di molteplicita ni per ogni i = 1,... l e il polinomio a coefficienti reali x^2 + cix + di e irriducubile in R (cioe c^2 i − 4 di < 0) per ogni i = 1,... k.
Inoltre, nelle ipotesi precedenti, la funzione f (x) pu`o essere scritta in modo unico nella forma
f (x) = α^11 x − b 1
C 11 x + D 11 x^2 + c 1 x + d 1 +^ · · ·^ +^
C 1 m 1 x + D 1 m 1 (x^2 + c 1 x + d 1 )m^1 +^ · · ·^ +^
Ckmk x + Dkmk (x^2 + ckx + dk)mk^.
La funzione iniziale `e stata quindi scritta come somma di addendi della forma
α (x − b)n^ α, b^ ∈^ R, n^ ∈^ N, n^ ≥^1
e della forma
γx + δ (x^2 + cx + d)m^
γ, δ, c, d ∈ R, m ∈ N, m ≥ 1
con il polinomio x^2 + cx + d irriducibile in R.
L’integrazione della funzione f `e quindi ricondotta a quella dei singoli addendi. Facilmente, si ottiene
Z (^) α (x − b)n^ dx^ =
α 1 − n (x^ −^ b)
1 −n (^) se n ≥ 2
α log |x − b| se n = 1
0.3. CENNI ALL’INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI 7
Esempio 8 Calcolare le primitive di
f (x) =
x^2 − x − 1 x (x^2 + 1).
Si cercano tre costanti in modo che
x^2 − x − 1 x (x^2 + 1)
= A
x
Applicando il principio di identit`a dei polinomi si trova che A = C = −1 e B = 2 ossia
x^2 − x − 1 x (x^2 + 1)
x
x^2 + 1
e quindi Z (^) x (^2) − x − 1 x (x^2 + 1) dx^ =^ −^ log^ |x|^ + log^
x^2 + 1
− arctan x + c.
Esempio 9 Calcolare
Z
2 x^2 − x + 1 x (x − 1)^2
dx.
Scrivendo
2 x^2 − x + 1 x (x − 1)^2
= A
x
+ B
x − 1
+ C
(x − 1)^2
si ottiene A = B = 1 e C = 2. In conclusione Z (^2) x (^2) − x + 1
x (x − 1)^2
dx =
Z μ^1 x +^
x − 1 +^
(x − 1)^2
dx = log |x (x − 1)| −
x − 1 +^ c.
Esempio 10 Calcolare
Z (^3) x (^2) + 2x + 1 x^3 − 1 dx.
Scrivendo
3 x^2 + 2x + 1 x^3 − 1
= A
x − 1
si ottiene A = 2 e B = C = 1. D’altra parte
x + 1 x^2 + x + 1
=^1
2 x + 1 x^2 + x + 1
+^1
x^2 + x + 1
8 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI
quindi Z (^3) x (^2) + 2x + 1 x^3 − 1 dx^ = 2
Z (^) dx x − 1 +
Z (^2) x + 1 x^2 + x + 1 dx^ +
Z (^) dx x^2 + x + 1
= 2 log |x − 1 | +
2 log^
x^2 + x + 1
Z (^) dx x^2 + x + 1.
Per calcolare l’ultimo integrale osserviamo che
x^2 + x + 1 =
μ x +
√^2
μ x +
Posto t = √^23
x + (^12)
, e quindi dx =
√ 3 2 dt,^ si ottiene Z dx x^2 + x + 1
= √^2
arctan
√^2
μ x +^1 2
e quindi Z (^3) x (^2) + 2x + 1 x^3 − 1 dx^ = 2 log^ |x^ −^1 |^ +
2 log^
x^2 + x + 1
√^1
arctan
2 x √ + 1 3
