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MATEMATICA GENERALE
Prima prova parziale - Simulazione 1
COGNOME: NOME:
MATRICOLA UCSC:
Ogni risposta deve essere adeguatamente motivata: soluzioni non motivate non verranno prese in considerazione.
1 (4 pt) Si consideri la funzione f (x) =
ln(x + 2) x^2 + 1
(a) Il dominio naturale della funzione `e:
D =
perch´e
(b) Le intersezioni con gli assi sono:
intercetta con asse y:
intercette con asse x:
2 (5 pt) Si consideri la funzione
g(x) =
3 x^2 + 2 + e−x x^2 − 1
(a) La funzione ha i seguenti asintoti: asintoti orizzontali:
asintoti verticali:
asintoti obliqui:
(b) Tra i grafici proposti, individuare quale rappresenta correttamente la funzione g(x) in base agli asintoti.
x
y
(a) Grafico A
x
y
(b) Grafico B
x
y
(c) Grafico C
x
y
(d) Grafico D
3 (10 pt) Si consideri la funzione
f (x) =
ln x
definita sul dominio D = (0, 1) ∪ (1, +∞).
(a) La derivata prima di f `e:
f ′(x) =
(b) La derivata seconda di f `e:
f ′′(x) =
5 (8 pt) Si consideri una funzione f : D ⊆ R^2 → R.
(a) Si dia la definizione di punto di massimo globale per f.
(b) Per la funzione f definita da
f (x, y) = −y^2 + 2 ln y − x^2 + 2x,
determinare il dominio
determinare i punti critici della funzione e classificare ciascun punto come mas- simo, minimo o punto di sella.
SVOLGIMENTO
1 (4 pt) Si consideri la funzione f (x) =
ln(x + 2) x^2 + 1
(a) Il dominio naturale della funzione `e:
D = (− 2 , +∞)
perch´e l’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo (x + 2 > 0; il denominatore deve essere diverso da 0 ma x^2 + 1 > 0 per ogni x ∈ R, quindi la condizione `e sempre verificata
(b) Le intersezioni con gli assi sono:
intercetta con asse y: (0, ln 2) poich´e
x = 0 ⇒ f (0) = ln 2
intercette con asse x: (− 1 , 0) poich´e
y = 0 ⇐⇒ ln(x + 2) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 1
2 (5 pt) Si consideri la funzione
g(x) =
3 x^2 + 2 + e−x x^2 − 1
(a) La funzione ha i seguenti asintoti: asintoti orizzontali:
la funzione `e definita su un intervallo illimitato. Confrontando gli infiniti di ordine maggiore al numeratore e al denominatore si ha:
lim x→+∞ g(x) = lim x→+∞
3 x^2 x^2
= 3 lim x→−∞ g(x) = lim x→−∞
e−x x^2
quindi la retta orizzontale y = 3 `e asintoto orizzontale per x → +∞.
asintoti verticali: il dominio `e D = R{− 1 , +1}. Si ha:
lim x→− 1 −^
g(x) = +∞ lim x→− 1 +^
g(x) = −∞ lim x→ 1 −^
g(x) = −∞ lim x→ 1 +^
g(x) = +∞
quindi le rette verticali x = −1 e x = 1 sono asintoti verticali
asintoti obliqui: per x → +∞ vi `e un asintoto orizzontale;
per x → −∞: lim x→−∞
g(x) x
= lim x→−∞
e−x x^3
= −∞ quindi non vi sono asintoti obliqui.
4 (5 pt) Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione
h(x) = xe−2(x+1)
a partire dal punto x 0 = −1 con resto secondo Peano.
Si ha h (−1) = −1.
h′(x) = 1 ·
e−2(x+1)
- x · (−2)e−2(x+1)^ = (1 − 2 x)e−2(x+1)^ quindi h′(−1) = 3.
h′′(x) = (−2)e−2(x+1)^ +(1− 2 x)(−2)e−2(x+1)^ = (−4+4x)e−2(x+1)^ quindi h′′(−1) = −8.
Ne segue
xe−2(x+1)^ = −1 + 3(x + 1) − 4(x + 1)^2 + o
(x + 1)^2
per x → − 1
5 (8 pt) Si consideri una funzione f : D ⊆ R^2 → R.
(a) Si dia la definizione di punto di massimo globale per f.
cfr. Definizione 1.18, Appunti di Matematica Generale
(b) Data la funzione f definita da
f (x, y) = −y^2 + 2 ln y − x^2 + 2x,
determinare il dominio
La funzione e definita se ln ye ben definito, cio`e y > 0 quindi
D = {(x, y) ∈ R^2 : y > 0 }
determinare i punti critici della funzione e classificare ciascun punto come mas- simo, minimo o punto di sella.
I punti stazionari sono soluzioni del sistema (condizioni del primo ordine): fx(x, y) = 0 fy(x, y) = 0 cio`e
− 2 x + 2 = 0 − 2 y + (^2) y = 0
Il sistema ammette le due soluzioni (1, 1), (1, −1) ma il secondo punto non ap- partiene al dominio di f.
Le derivate seconde sono fxx = − 2 , fxy = 0, fyy = − 2 − (^) y^22.
L’hessiano `e H(x, y) = − 2
− 2 − (^) y^22
= 4 + (^) y^42.
Poich´e H(1, 1) = 8 > 0 e fxx(1, 1) = − 2 < 0, il punto individuato `e un punto di massimo locale.
