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Matematica Generale _ 24 febbraio 2011
Cognome Nome n° matricola
Superata la I prova intermedia Non superata la I prova intermedia
Programma 10 crediti Programma 12 crediti
NB: Gli studenti che hanno superato la I prova intermedia non devono svolgere i primi due esercizi. Gli studenti con il programma da 10 crediti non devono svolgere l’esercizio sugli integrali.
Si determini il dominio della funzione f ( x )= ln( x + 2 )^2 (Punti 2) Soluzione: La soluzione è: ∀ x ≠ − 2. Il dominio della funzione è: D = (^) ( −∞ −, (^2) ) ∪( −2, +∞)
Disegnare il grafico della funzione f ( x )= ex − 1 (Punti 3) Soluzione:
Calcolare il limite 4
lim 3 (^2 2) −
→ + x
x x^ (Punti 2) Soluzione:
2 2 lim 3 x 4
x →+ x
Calcolare il limite (^) x lim → 0 + ( (^) log x )^2 (Punti 3)
Soluzione:
x lim→ 0 +^ (^ log x )^2 = +∞
Applicando il teorema dei valori intermedi per le funzioni continue, dimostrare che il numero y= 3 appartiene all’insieme immagine della funzione: f ( x )= 1 + x. (Punti 4)
Soluzione: Si devono trovare due valori di x , x 1 e x (^) 2 , tali che f ( x 1 )< 3 < f ( x 2 )
. Nel nostro caso, basta prendere x 1 (^) = 3 e x 2 = 15.
Calcolare la derivata della funzione: f^ (^ x^ )=^ (^ x^2 +^2 x )^3 punti Soluzione
eterminare il massimo e il minimo assoluto, per x appartenente all’intervallo [0, 2], della funzione
( ) ( ) f '( ) x = 3 x^2 + 2 x^^22 x +2 ln 2 x
D
f ( x )= x + 2 (Punti 3)
soluto è
Soluzione:
Il minimo as 2 per x = 0 e massimo assoluto è 2 per x = 2.
imostrare che la derivabilità di una funzione f ( x ) in un punto implica la continuità di f ( x ) in (Punti 4)
D x 0 x (^) 0.
Soluzione: (p. 113 testo) Se f è derivabile in x 0 allora f è continua in x 0. Dimostrazione. Scriviamo:
( 0 ) ( 0 ) (^0 )^ (^0 )
f x h f x f x + h − f x h h
Passando al limite per h → 0 , si ottiene f (^) ( x 0 (^) + h (^) ) − f (^) ( x 0 (^) ) → f ' (^) ( x 0 (^) )⋅ 0 = 0 , che è la continuità di f in x 0.
Determinare (se esistono) i candidati soluzione del problema: (Punti 4)
Massimizzare f(x , y )= x + y
sotto il vincolo: x + 2 y = 1 Soluzione:
idato è il punto 2 ,^1 3 6
L’unico cand (^) ⎜⎝ ⎟⎠.
eterminare l’integrale (^) ( ) 2 4 D (^) ∫ x + 1 2 x dx (Punti 3)
Soluzione:
( ) 2 5 ( ) 2 4 1 2
x x + x dx c
∫ =^ +
( ) 2 2 Calcolare la derivata della funzione: f ( x ) = x + x (punti 2)
Soluzione:
( 2 ) f '( ) x 2 x x 2 x^1 2 x
= + ⎛^ + ⎞
eterminare il massimo e il minimo assoluto, per x appartenente all’intervallo [-1, 2], della nzione
D
fu f ( ) x = x + 1 (Punti 3)
assoluto è
Soluzione: Il minimo 0 per x = − 1 e massimo assoluto è 3 per x = 2.
Dimostrare che la derivabilità di una funzione f ( x ) in un punto implica la continuità di f ( x ) in (Punti 4)
x 0 x (^) 0.
Soluzione: (p. 113 testo) Se f è derivabile in x 0 allora f è continua in x 0. Dimostrazione. Scriviamo:
( ) ( )
( 0 ) ( 0 ) 0 0
f x h f x f x + h − f x h h
Passando al limite per h → 0 , si ottiene f (^) ( x 0 (^) + h (^) ) − f (^) ( x 0 (^) ) → f ' (^) ( x 0 (^) )⋅ 0 = 0 , che è la continuità di f in x 0.
Determinare (se esistono) i candidati soluzione del problema: (Punti 4)
Massimizzare f(x , y )= 2 x + y
sotto il vincolo: x + y = 1
Soluzione:
L’unico candidato è il punto 4 ,^1 5 5
eterminare l’integrale (^) ( ) 2 3 D (^) ∫ x − 1 2 x dx (Punti 3)
Soluzione:
( ) 2 4 ( ) 2 3 1 2
x x − x dx c
∫ =^ +
Matematica Generale _ 24 febbraio 2011
Cognome Nome n° matricola
Superata la I prova intermedia n superata la I prova
B: Gli studenti che hanno superato la I prova intermedia non devono svolgere i primi due esercizi.
No intermedia
Programma 10 crediti Programma 12 crediti
N Gli studenti con il programma da 10 crediti non devono svolgere l’eserc i zio sugli integrali.
Si d etermini il dominio della funzione f ( ) x = x^2 − 2 − ex (Punti 2) S oluzione:
La soluzione è: x ≤ − 2 e x ≥ 2. Il d ominio della funzione è: D = ( −∞ −, 2 ⎤⎦^ ∪ ⎡⎣ 2,+∞).
Disegnare il grafico della funzione f ( x )= x + 2 (Pu ti 3)n S oluzione:
Calcolare il limite 1
lim x 1
x →+ x
(Punti 2)
Soluz ione:
x → 1 + x −^1
x + (^2) = +∞
lim
Calcolare il limite
(^2 )
lim 1
x x x
e
− →+∞
(Punti 3)
S oluzione: (^2 )
lim 1
x ex
− (^) = +∞ x →+∞
Dire per quali valori del parametro a la seguente funzione è continua: (Punti 4)
⎩ a +^ x +^2 x^2 per x <^1
f ( x )= x^1 per x^1
Soluzione: a = − 3
