Probabilità e Statistica, Appunti di Probabilità e Statistica

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STATISTICA

DESCRITTIVA

fazione

~

popolazione

campione

I sotto

insieme popolazionel

VARIABILE : Risultato numerico che

puo

variare

(voto esame

,

,

24

,

...

(Sa. calcio : Juve

,

Inter

QUALITATIVE

:

Si descrivano in termini di

categorie/classi

. Sistema

operativo

utilizzato

~

QUANTITATIVE : Si descrivano in termini di valori

numerici.

lintera

-Voto

esame /intera

~

DISCRETE

:

Possono assumere

valori in un

insieme finito

/o

numerabile)

CONTINUE : Assumono valori in intervalli di

R

(a

,

b)

tempo

'

Idecimalel impiegato

Ican

virgelal

DATI DEL CAMPIONE : Valori

assunti della

variabile

in esame

sulle unità del

campione

.

(Juve

,

Inter

~

popolazione

σ

Attenzione al rischio di BIAS

/distorsionel

nella

DATI >> INFERENZA

scelta del

campione

.

Xcampione

Il

campione

deve

rappresentare

la

popolazione

.

FREQUENZE DI DATI

X

·

Siamo Xs

,

Xc

.....,

Xn

dati di un

campione

.

· Siamo

V , V , ...,

Un i

volori che

può

assumere

la variabile

in esame.

·

Fe

,

fa

, ....,

fr

le FREQUENZE ASSOLUTE dei volori nel

campione

ovvero ,

per j

= 1

.....,

k

Osservazione :

I Quante volte esce un

determinato data

Fi

=

n

fj

=

#[i

e

...,

n) tole dhe

Xi

=

Vj }

numero

di dati

numero

elementi insieme

nel

campione

TABELLA

DELLE FREQUENZE ASSOLUTE

va

.

… …

.

Per le variabili

quantitative

continue

,

non si

opera

come

visto in

precedenza

ma si vanno a

raggruppare

i valori in

degli

INTERVALLI

DATI

RAGGRUPPATI IN CLASSI

Siamo

Xs

,

Xc ....,

Xn

dati del

campione

Siamo Is

,

Iz

, ...,

Ik

INTERVALLI

DI CLASSE

(bim)

Siamo

fa

,

fc

, ...,

fr

le

frequenze

assolute

degli

intervalli

Fi

=

#[it(1....,

m)t

. c. Xi

= [

Siamo

Pr , Pr , ..., pr

le

frequenze

relative

degli

intervalli

Ps

←

「

IQuante volte i dati codono nel nostro intervalla

ì ;

Iire

Gli

Ij

,

devano

soddisfare la

seguente

condizione :

j

• 1

compreso

mon compr

. "

Se

Fi

a ,

bill

=

(xeR t

.

c

. aj

= x

=

bi)

Ovj + 1

allora

bj

=

0j

• 1 per

j

= 1

, ...,

k

• 1 e

I

deve contenere tutti i valori

assunti dai

dati

In

realtà noi vorrano confrontare

le

frequenze

considerando anche

l'ampiezza

dell'intervalle

:

Stampicontengano

pii ol

e

Per

questo

viene introdotto

il concetto di DENSITA DI FREQUENZA :

DENSITA' di frequenze assolute : di

= a

,

Densità di frequenze relative :

di

ISTOGRAMMA

DELLE DENSITA' :

frequenze

relative lo assolutel

densità

n

k

freq ,

relative f

relativa,

= Area tra l'intervallo

Ic

= dalba-oc

PC

Ps Area totale = 1

bc

a

bg

O

Pコ

Pa

Esempio

:

b

Q

f, rel. <

ba

• oua

Q

bs

bo

"valori

Ov

Ouz

VALORI DI SINTESI Se il volare modele è unico ,

fr

, ...,

fr

frequenze

assolute Si chiama moda calcolata sui dati. lequivalente :

Pj

=

Pel

Valori che

compaiono

di

più

.

Per le variabili

quantitative continue :

X

, .. ., Xm

dati Una

CLASSE Ij e'

MODALE

se

It

, ...,

In

intervalli

fi

z

fl

fr

, ...,

fr

frequenze

assolute bj-aj

be-ove

per

l= 1 , ..., K P1 , ..., Pr

frequenze

relative Intervallo

con la densità di

frequenza maggiore

m

D'ora

in poi si

parla

di variabili

quantitative

: Lezione

es

MEDIA

Siamo

X ...., Xn

dati del

campione .

La Media CALCOLata Sul Dati /del

campione) e : m

T

⼆ 吉 i

1

ti

I

j

s pjvs * Es : Esami CFU 6 6 .... Vt ~ 6 6

Siano 11

,

... ,n

[

,

1] PESI

, ovvero tolichei

. λ I = 6

• IIC ,

ta

ot ⑤ IR , t 3

ot % L m

La

MEDIA

PESATA

con

pesi

(Xili

1 .... in CALCOLATA SVI DATI l' : で ⼆ 1

i

ti

media

pesata

=

18 + 1151 S - 3 . 1 系

OSS

: Se Xe , .. ., Xn dati

1 Xi

= fj .

Vj)

La media calcolata sui dati è

equivalente

alla media

pesata

V , ..., Un valori 」

• 吉 %

Firi

• 超

← jpivi dei valori i cui pesi sono le

frequenze

relative

fr,

, ...,

fr

freq

. assolute

P1, ..., Pr

Freq

relative

VARIANZA Piccola :

dati concentrati

Def

:

Siamo X

, ...,

Xn

dati

. Grande :

dati

più

dispersi

La

VARIANZA

I

campionaial

calcolata

sui

dati /del

campionel

e :

Ski

Unità di misura

al

quadrato

lastrattal

IS se occorre

specificare

dei dati

Xil

Xi

·

t

. ∅

La

DEVIAZIONE STANDARD colcelata sui

dati l'i

t

Unità di misura reale.

n

1 ki

• x)

V

"

St

m - t ize

"

(fi

I?

Mi dice effettivamente di

quanto

、

i

dati si "allontanano" dalla media.

Misurano

la

"dispensione"

dei dati

rispetto

alla

media .

OSS : Se i dati

Xz

, ...,

Xn Verificano

S= O

,

allora

:

Tutti i dati coincidono

0 = S

1 MKi-

Ki-= O

peri

= 1 ..., Xperi

0 con

la medien

^

i

=

i 1

^

Zo = mF

OSs :

S '

m

.

t: -

i

( ti

• I

)

'

n. i

1 Ai -

Ztitt

tl

.

I

(i- i

ti

Zt

..

i

ti t

nt

)

m

.

1 (i -

zto - 2

nt ' +

n

)

.

≠

(

iil '

tie nt

'

)

, §

'

⼆

n(

xi

• FORMULA PIU' FACILE PER LA CALCOLATRICE

X

,

. ..,

Xm

dati

Va,

, ...,

Vk

valori

s1mk-

=

m-m)c-

fr,

, ...,

fr

freq

.

assolute

]

P

,

..., Pr

Freq

relative

X

, ...,

Xn

dati

roggruppati

in classi

Variabile

quantitativa

continua formita in

classi :

Classi [Ore

,

bel Lazibal ...

La

,

bul

Un'approssimazione

della

varianza

deviazione standard

calcolata sui

dati

e :

f

.a .

fr fa fr

f

. r. PI Pi

Pr

s 0

品品 (

;

p ;

s

.

品

u (

p

;

by'

Es :

Xx,

, ...,

Xn

temperature

in OF

S

.

8

Y

, ..., Yn

in

°

C

Qatitb

⼆

• 32

Y

• attb

Sy

Yo

te

t b

S

§

=

m

.: -

i "

(

π

)

'

• m

.

:

e

latith

at

b :

& m

.

: -

i ( ti

• I

'

• 's'

Si

=

aS

)

Sy

=

1a/Sx

=

5

. 1 .

~

S = O VxeR

perché

el una

rodice

quodrator

QUARTILI Ivariabili

quantitative

Lezione

13/

Tre valori

/Q

,

Qc

,

Qa) che

dividono un

elenco di dati

,

crescente

,

in

quattro parti uguali

;

ciascuna

parte

contiene il

25 %

dei dati .

Siano

Xs ....,

Xn

dati di

un

campione

.

Assumiamo

che i dati siamo ordinati

:

X

= X =... Xm

壮 x Xs

Xm

QUARTILI ESCLUSIVI

:

Escludono

gli

estremi nella divisione

Z m

n

+ 1 del

segmento

in

parti

uguali.

G na Qe

Calcolo del 1 o

quartile

esclusivo

Q1 :

resto

• X X

Xa x5X6 X

·

m

1

=

ke Es

. dati

:

m

= 7

poi

k e Nn e

40 ,, 3

, 3}

~

_

pesiy

posizion

ss

as

0

aa

s o o a to

Aa

• a

1

= (

-re)Xx

Ve

Xk

• 1

Q

Calcolo del 2

o

quartile

esclusivo

QC :

MEDIANA

Es

: dati : 44 56671014

m

= S

·

M

1

. 2

Kate

kz eN

,

r e

{0, ] "

k

,

5

0

0

if

to f

μ

_

poi 1

1

{

posizioni

:

O

⼟

2 3 《 可 6 f

g

Öz =

(

-r)Xx

vaxk+ 1

Qc

Re:

Oth =

= O

,

R 5 zoom :

,

5

,

media

peasa

e

ae

Calcolo

del 3

o

quartile

esclusivo Qs :

·

M

• 1

. 3

Kst

s

Es : M

= Es : m

= 10

ks-N ,

40 ,, 3

,

poi

tt

ato

= atOis

aO

l

L - 是 +

0

T 5

&

s

=

(1-B)xkg

Xa

1

a

viene detto MEDIANA

dei dati :

Avremo metà dei dati

a

destra e

metà a

sinistra

. (Volare

centrale

OSS

:

Quartili, Meno sensibili alla

presenza

di dati anomali

.

INDIVIDUAZIONE DI DATI ANOMALI

3IQR 3IQR

,

5 IQR

,

5 IQR

Δ Δ $

c

O ㎥

o

spetti DATO

ANOMALO

IRQ

anomali

_

_

un

questa

regione

c'è

il

50 % dei

dati

• >

e

Sospetti

ne anomali

La

distanza

tra

Re e Q3 indica

la

dispersione

dei

dati

rispetto

al volare centrale Qc

.

INTERQUANTILE RANGE :

IQR

=

Qs Qe

Se

Xi è un

dato tole che Se

Xi

l un

dato tole che

Xi non

l'anomalo

e

Xi

= Q1- 3 IQR

/Troppo piccola

xi

= Q

• 1

,

5 IQR

∞

ω

Xi

= Q

3 IQR

/Troppo grandel

Xi

= Qz

1

,

5 IQR

allora

Xi e un

DATO ANOMALO

/Outlier)

allora

Xi

è un DATO

SOSPETTO

BOX

PLOT

/Diogramma

a

scatola

e

baffil

Dati :

min dato ne anomalo max

dato ne anomalo O =

sospetti

ne sospetto

ne sospetto

X = anomali

X

X

Δ ^

" 、

a

a

^

Può

essere realizzato

anche inverticale :

CALCOLO DEL PERCENTILE CON VARIABILI

QUANTITATIVE

CONTINUE RAGGRUPPATE IN CLASSI :

Sarà un

volare

approssimato,

perché

non abbiamo

tutti

i

prezzi

dei dati

,

ma abbiamo

dei dati

raggruppati

in classi.

Es

: Calcola

il novantesimo

percentile

dei

prezzi

dei dati :

Classi f

. r. free.

cumulate relative

[50,100) 9

,

vogliamo

5

⼀

[

,

91 %

⼀

27

,

27 %

"

xn

.

^ }

[

,

さ F

、

L 90 %

[

,

36 %

84 ,

250

302 ,

91 aoo

[

,

45 %

Poo

ricade nell'intervallo tra

,

Xe

, ....

Xn

dati

roggruppati

in

classi

Is

,

...

Ik

,

45 .

10 %

wy

can fe

, ...,

fu

freq

assolute e

Pr , ..., PK

free

relative

、 、

2 5 D 400

1j

= [aj, bj).

II ↑ μ

aj

0 ,

3528

D ,

64 y 2

‰

15 ,

45 %

La FREQUENZA Assoluta cumulata fino

a bj

e' :

Fj

fat fat..

t

fj

α

β = 5 ,

45 %

Le

FREQUENZE RELATIVE

CUMULATE Sond : リーの

、

「

筑

=5,45% = 0,

Pi

品⼆

「

… +㎥←+

Pe

…

Po

感告

15 ,

45 %

Si vuole calcolare

un'approssimazione

di un

quantile

a

con

2

e 10

,

1) Po

δ

[

I

• λ

i

ajt

ibi

(Non

distinguiamo

tra inclusivo

esclusiva

= 0 ,

. 250 + 0

,

1. 400 = 302

,

91

·

Consideriamo 1

. 2 = 100 % L

·

Cerchiamo l'intervallo

Ij

tole che

Es

: Approssimazione

di

Pao :

F Fi

Pso code in

[

,

·

Utilizziamo lo scarto

1-Fi-

> O

per

individuare la

posizione

del

quantile

. Xi

=

30

% 2727o.

=

0 ,

2001

n

;

=

…

Fj - 1

の

、

「

I

:

• te . j

, bj

) Poo

=

Xj)

. 130

+ X

;.

m =

Fi

-Fi

P

= 0 ,

130 + 0

,

1. 150

E[

,

poi

√

11-X

i

( j

+ Xjb

j

dove X

j

[

,

è un

peso

ESERCIZIO D'ESAME 17/06/

,

o

turno

IEsclusival

1. Ordiniamo i dati :

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1050 m

= 12

. MAI =

12

#1 = 310,25 < Re = 0, 75.420 +

h27,

5

met

R =

tee

5 530 55,

.

装⼟

.

了⼀⼟⼠

.

③

• {
  • 0 .

5

>

Qs

→①

5

. 65 O + ①

,

5

.

• ☆

  6 号

,

5

2 ) IQ

.

R

Q

3

Qe

G

• 1

,

5 IQR

= 60 non ci sono

dati

sospetti piccoli

,

5 IQR

= 1040 c'è un dato

sospetto

grande

:

1050 C'è solo

un

dato

sospetto

:

+ 3IQR

=

,

: non l anomalo

1. Box Plot :

P

Δ M

" }

sao

0

427

,

5500555

672 ,

5 1 wop

1050

1100

‰

1 OO

REGRESSIONE LINEARE

Consideriamo i dati

(X

,

Ye)

...,

IXm

,

Ym)

di un CAMPIONE BIVARIATO

Problema

: Cercare

di individuare

una "dipendenza

statistica lineare" tra

i

dati

Xi

e i

dati

Yi

Ψ

DIAGRAMMA A DISPERSIONE :

k

x

□ B

ISCATTERPLOT)

y

·

∅

∅

·

∞

X2 xz

'

Xi

Yin Yin

Yi A

Δ

□

Δ

4

D

e

D

∅

⑨ ·

e

② w o

t

^

o

□ ←

_

K

>

ti ㎡

DATI

CORRELATI LINEARMENTE /Rettal

DATI CORRELATI NON

LINEARMENTE/Parabolal DATI NON CORRELATI

∞

Cerchiamo

di trovare una retta che

∞

y

= ax +

b

a ,

b

parametri

reali

approssimi

la relazione tra i

dati

Yi

e Xi

册

T

Dobbiamo

quindi

trovare i coefficienti a e

b

⽐

da attribuire alla mostra retta :

y

= ax

• b

Yi

·

Ki

,

Yil

e

'

Xi

SSE

=

i-laxi +

b) = ela

,

b)

/minore

possibile

c minore errore nell'approssimazione

_ _

Sum of

volare predetto

squared

volore misurat

a me

dalla retta

errors

Obiettivo

:

Trovare a

tali che

elâ

,

min

ela

,

b)

min elo

,

bl

,

GoceloITte

en

da ela

,

b) =

Galax

b-

yi() =

a +

b-

yi

{

&

ela,b) =

Galax

b

yi() =

2ax +

b -

yi)

= 0

M

代⼆ 1

孌感

。

I =

吉

i-

^

to.

9

i-

s

Yo

{

…

↓

lats-ani

e

ank + mb

my

{

b

=

y

• ax

{

¤

Imxi-nx) =

XiYi

nxy

b

=

y

• at

Segue

che :

XiYi-nx

METODO DEL MINIMI QUADRATI

l

a -

i- e

"

ti

nts

Sono i valori

dei

parametri

che minimizzano

l'errore

.

be

• at

Lezione

Possiamo

anche scrivere :

D

ef :

Siano

,

Ye)

, ...,

/Xm

,

Ya)

dati di un

campione

bivariato

.

M

>

La COVARIANZA calcolata sui dati

e :

…

"

器 “

燕別

Covxy

1MKi-(i-)

unita di misuray

b

• ax

OSs :

CBriy

=

s

i - s "

(

ti-

Illy.

t

is"

tiYo- tif

• Fet Iy

osS : a

=

Covi

s

=

1 MKiYi-my-my

my

=

Kiyi-ny

PIU' COMODA PER CALCOLATRICE

oSS :

a =

CovyCov g

s

e

Pr

Oss :

· Se

Pr

,

allora

yi

= axi

b

con

acO)

In

questi

casi non

ha erari ,

i

mici dati

giacciono

perfettamente

sulla retto

·

Se

Px, y

,

allora

yi

= axi

+ b

con a

ESERCIZIO D'ESAME 17/06/25 Traccia 3

KE

α

y

= 2

,

56x - 42

,

81

1

④

@

LF 5 _

1 6 g

_ 器

^

④ 0

ua 0

世

13 S

• 0

1 R 5

_ ·

III

1 o

best tr to

a =

XiYi -nx

,

256

ritfti

MJa

La retta

passa

sicuramente

per

il

punto

dato delle medie

{

M

Y = さ 50

b -

y

• at

• a 2

,

81

Y

• aftb

y

= 2

,

56x

• 42

,

81

A = 60

YA

188

Pre =

County =

Pi-

R

㎥

Prig

= 0

.