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LA PROBABILITA'
Esempi Se in un sacchetto ho 3 palline rosse e 2 palline gialle qual è la probabilità che estraendo a caso un pallina questa sia rossa? La probabilità che si estragga una pallina rossa è p =^
=0,6= 60 % (^) , infatti i casi favorevoli al verificarsi dell'evento “estrarre una pallina rossa” sono 3, tante quante sono le palline rosse, i casi possibili, tutti ugualmente possibili, sono 5, tante quante palline ci sono nel sacchetto. Da un mazzo di 40 carte napoletane estraiamo una carta. Calcoliamo la probabilità degli eventi: A) esce una carta di spade. B) esce una carta con il numero 12. C) esce una carta con un numero o una figura. D) esce il sette di denari E) esce un asso I casi possibili sono 40, dato che il mazzo è formato da 40 carte. Anche qui siamo in presenza di eventi elementari equiprobabili, applichiamo ancora lo schema di valutazione classico L'evento A è casuale, infatti i casi favorevoli sono 10, dato che il mazzo ha 10 carte di spade: P A =
; P B = 0 e P C = 1 L'evento B è impossibile dato che non esiste una carta col numero 12. L'evento C è certo, infatti i casi favorevoli sono 40, dato che il mazzo ha 12 figure e 28 carte con un numero. P D =
c'è un solo sette di denari su 40 carte. P E =
=0,1= 10 % (^) nel mazzo di 40 carte ci sono 4 assi. Lanciando in aria 3 monete, quale dei seguenti eventi è più probabile? a) Ottenere su 3 monete testa, b) ottenere su 1 moneta testa e su 2 monete croce. Per rispondere alla domanda occorre calcolare le probabilità dei due eventi. Applichiamo la definizione classica. Dobbiamo calcolare tutti gli eventi possibili e tutti gli eventi favorevoli. Aiutiamoci con una tabella per elencare tutti i casi. prima moneta seconda moneta terza moneta T T T C T T T C T T T C C C T C T C T C C C C C I casi possibili sono 8. I casi favorevoli all'evento “3 volte testa” sono 1. La probabilità di questo evento è quindi p =
I casi favorevoli all'evento “1 moneta testa e 2 monete croce” sono CCT, CTC, TCC, quindi 3, allora p =
Possiamo concludere che l'evento più probabile è ottenere 1 testa e 2 croci. Calcolare la probabilità che lanciando 2 dadi la somma dei numeri ottenuti sia A. Il numero 1, B. il numero 12, C. il numero 6. Valutiamo prima di tutto il numero dei casi possibili. Elenchiamo tutti gli esiti che si possono avere lanciando due dadi: 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 … … … 3 6 4 1 … … … … 4 6 5 1 … … … … 5 6 6 1 … … … … 6 6 I casi possibili sono quindi 6x6 = 36. A. Non è possibile ottenere il numero 1 lanciando due dadi, il numero minimo ottenibile è 2, perciò p A =
= 0 , l'evento si dice impossibile. B. Il numero 12 si può ottenere in un solo caso quando esce su emtrambi i dadi il 6, quindi C. Il numero 6 s p ^ B =^
≈2,8 % (^) i può ottenere nei seguenti modi: 1+5; 2+4; 3+3; 4+2; 5+1, perciò p C =
Esercizi
1 Calcoliamo la probabilità che lanciando un dado regolare esca
A. un numero dispari, B. il numero 1, C. il numero 6, D. un multiplo di 3.
2 Quali tra i seguenti numeri possono essere misure di probabilità?
3 Elenca i casi favorevoli all'evento: “lanciando tre dadi la somma delle facce è 5”.
4 Un'urna contiene 3 palline bianche, 5 rosse e 7 verdi tutte uguali e distinguibili solo per il colore.
Calcolare la probabilità che estraendo a caso una pallina dall'urna si verificano i seguenti eventi. A) Si estrae una pallina rossa. B) Si estrae una pallina bianca. C) Si estrae una pallina bianca o verde. R. P A =
P B =
P C =
5 Si lanciano 3 monete equilibrate (testa e croce sono egualmente possibili); calcolare la probabilità di
ottenere 2 croci e 1 testa. Svolgimento: L'insieme dei casi possibili è S^ ={}^ I casi possibili sono dunque … I casi favorevoli sono … cioè l'insieme E ={} Quindi P E =
16 La seguente parte di tabella tratta da una pubblicazione di Eurostat (la struttura dell'Unione Europea
per le statistiche) indica il totale dei cittadini residenti di alcuni paesi europei distinguendo se sono indigeni, se appartengono a paesi dell'Unione Europea, oppure se non vi appartengono. Valuta le probabilità che estratto un cittadino in Italia e in Francia questi siano non appartenenti all'Europa dei 27. ►3. Probabilità dell'evento complementare Abbiamo visto nelle regole della probabilità l'importante relazione P^ E^ =^1 −^ P^ ^ E^ ^ , cioè che la probabilità dell'evento complementare è uguale a uno meno la probabilità dell'evento. Consideriamo la probabilità che in un lancio di due dadi si abbia un punteggio uguale a 5. Considerando equiprobabili l'uscita di una qualsiasi faccia del dado, i casi possibili sono 36 (ogni faccia del primo dado si può associare con ognuna delle 6 facce del secondo dado), mentre i casi favorevoli all'evento sono 4, precisamente (1,4), (4,1), (2,3) e (3,2). Quindi P^ ^ E =^
Se vogliamo conoscere la probabilità dell'evento complementare cioè la probabilità che la somma delle due facce del dado non sia uguale a 5, risulterebbe piuttosto laborioso trovare tutti i casi in cui la somma delle due facce sia uguale a 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12, si può invece applicare la regola P E = 1 − P E cioè nel nostro caso P^ E^ =^1 −^ P^ ^ E^ =^1 −^
Dalla formula sulla probabilità dell'evento complementare ricaviamo anche che P E = 1 − P E che risulta molto utile nel risolvere alcuni problemi. A volte è più facile o indispensabile calcolare la probabilità dell'evento complementare che calcolare direttamente la probabilità dell'evento.
17 La seguente tabella è tratta dalla tavola di mortalità dei maschi al 2002 relativa a una popolazione di
100000 individui: Fascia di età 0 ≤ x 20 20 ≤ x 40 40 ≤ x 60 60 ≤ x 80 80 ≤ x 100 x ≥ 100 N. Decessi 997 1909 7227 39791 49433 643 Calcola la probabilità per un individuo dell'età di 20 anni di vivere almeno per altri 40 anni. Le sigle dei paesi indicate nella tabella sono le seguenti: BE: Belgio BG: Bulgaria CZ: Repubblica Ceca DK: Danimarca DE: Germania EE: Estonia IE: Irlanda EL: Grecia ES Spagna FR Francia IT Italia EU-27 sono i 27 paesi appartenenti all'unione Europea dal 1 gennaio 2007 EA-13 sono i 13 paesi appartenenti all'euro dal 1 gennaio 2007
R. P E =0,
18 In un circolo vi sono 100 soci. Di essi si sa che 44 sanno giocare a dama, 39 a scacchi, 8 sanno
giocare sia a dama che a scacchi. Estraendo a sorte uno dei 100 soci, qual è la probabilità che sia una persona che non sappia giocare ad alcun gioco. R. P^ ^ E =0,
19 Da un mazzo di 40 carte si estrae 1 carta. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:
A) La carta non è di spade; B) La carta non è una figura; C) La carta non è un 2. R. (^) P A = 3 4
; P B =
; P C =
20 Calcola la probabilità che lanciano 4 volte una moneta equilibrata esca almeno una testa.
R. P E = 1 −
►4. Probabilità dell'unione di due eventi
Unione di due eventi tra loro incompatibili
Abbiamo già visto questo caso quando abbiamo definito la probabilità. Due eventi si dicono incompatibili, quando non si possono verificare contemporaneamente: cioè quando A ∩^ B =∅^. In questo caso la probabilità dell'evento unione è dato dalla uguaglianza: P A ∪ B = P A P B Esempio Nel lancio di un dado regolare calcolare la probabilità dell'uscita del numero 3 o di un numero pari. A) Uscita del numero 3 B) Uscita di un numero pari Calcoliamo la probabilità dell'unione dei due eventi. Dato che i due eventi sono incompatibili, cioè: A ∩ B =∅ : abbiamo P^ ^ A ∪^ B =^ 1 6 3 6 = 4 6 Esempio Da un'urna che contiene 12 palline identiche numerate da 1 a 12 se ne estrae una. Calcolare la probabilità che la pallina presenti un numero minore di 6 o un numero maggiore di 8. I due eventi sono: A) Si presenta una pallina con il numero minore di 6. B) Si presenta una pallina con il numero maggiore di 8. Calcoliamo la probabilità dell'unione dei due eventi.
Calcolare la probabilità che estraendo a caso un numero della tombola esso contenga la cifra 5 oppure sia multiplo di 5. La prima domanda da farsi è se i due eventi sono compatibili o incompatibili. Poiché esistono numeri della tombola che contengono la cifra 5 e che sono anche multipli di 5 (per esempio 15, 50...) i due eventi sono compatibili. Di conseguenza bisogna applicare la regola P^ ^ A ∪ B ^ =^ P^ ^ A ^ ^ P^ B ^ −^ P^ ^ A ∩ B A = “estrarre un numero che contiene la cifra 5” questi numeri sono: 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, …, 59, 65, 75, 85, in tutto 18 ne segue che p ^ A =^
B = “estrarre n multiplo di 5” i multipli di 5 sono 5, 10, 15, 20, … due per ogni decini, quindi 18 in tutto, ne segue che p ^ B =^
A ∩ B = “estrarre un cifra che contiene 5 ed è multiplo di 5” questi numeri sono 5, 15, 25, 35, 45, 50, 55, 65, 75, 85 in tutto sono 10 p ^ A ∩ B =^
A ∪ B = “estrarre un numero che contenga la cifra 5 oppure sia multiplo di 5” P A ∪ B = P A P B − P A ∩ B = 18 90 18 90 − 10 90 = 26 90
21 Lanciando un dado regolare, si calcoli la probabilità che esca un numero dispari o minore di 4.
R. P E =
22 Lanciando un dado regolare, si calcoli la probabilità che esca un numero pari o minore di 2.
R. P E =
23 Estraendo una carta da un mazzo di 40 carte, calcolare la probabilità che sia un 3 o una carta di spade
R. P E =
24 Da un'urna che contiene 5 palline rosse, 8 palline blu, 12 palline bianche, 15 palline gialle, se ne
estrae una. Calcolare la probabilità che la pallina sia rossa o blu o gialla. R. (^) P E =
25 Da un'urna che contiene 30 palline identiche numerate da 1 a 30, se ne estrae una. Calcolare la
probabilità che il numero della pallina sia minore di 20 o multiplo di 4. R. (^) P E =
26 Per un mazzo di 40 carte napoletane calcola la probabilità che estrare
a) un asso o un re, b) un sette o una carta a bastoni, c) una figura o una carta a denari.
27 Calcola la probabilità che lanciando un dado a sei facce esca un numero pari o un multiplo di 3.
28 Nel gioco della tombola si estrae una pallina numerata da un sacchetto contenente 90 palline
numerate da 1 a 90. Calcola la probabilità che estraendo la prima pallina essa riporti a) un multiplo di 5 o un multiplo di 10, b) un numero pari o un multiplo di 5, c) un numero che contenga la cifra 5 o la cifra 2. ►5. La probabilità dell'evento intersezione di due eventi Per la probabilità dell'intersezione di due eventi occorre distinguere tra eventi tra loro indipendenti e eventi tra loro dipendenti.
Intersezione di due eventi tra loro indipendenti
Dato che gli eventi A e B devono essere considerati congiuntamente, si diranno indipendenti se il verificarsi di A non cambia la probabilità del verificarsi di B. Esempio Calcoliamo la probabilità che lanciando una moneta e un dado regolari esca testa e un numero maggiore di 4. Evento A = “Uscita di Testa nel lancio di una moneta” P^ ^ A =
Evento B = “Uscita di un numero maggiore di 4 nel lancio di un dado” P^ B =^
Evento A ∩ B = “Uscita di testa e di un numero maggiore di 4 nel lancio di una moneta e di un dado” P A ∩ B =? Una rappresentazione grafica che può risultare utile nello studio della probabilità dell'evento intersezione detto anche studio delle probabilità composte è il diagramma ad albero. Le linee dell'albero si dicono rami , mentre i punti da cui partono e arrivano i rami si dicono nodi, il nodo iniziale si chiama radice. La costruzione di un diagramma ad albero nel caso delle probabilità composte consente di eseguire un'analisi completa di tutti i possibili esiti di una prova. Ogni percorso dell'albero che va dalla radice al nodo terminale indica una sequenza di eventi congiunti, incompatibile con qualsiasi altro percorso dell'albero. La probabilità di ogni singolo evento si indica sui rami, allora moltiplicando le probabilità che si incontrano nel percorso si ottiene la probabilità della congiunzione degli eventi che formano il percorso. Dato che ogni percorso che va dalla radice al nodo terminale individua eventi incompatibili, se vogliamo trovare l'unione di due o più percorsi possiamo semplicemente sommarli. L'esempio precedente può essere schematizzato in questo modo:
Possiamo ragionare anche nel seguente modo:
Dato che i due eventi non si influenzano, supponiamo di procedere con due scelte successive: prima il lancio della moneta con probabilità pari a
e poi il lancio del dado con probabilità pari a
Passando dalla prima scelta alla seconda scelta i casi possibili diventano 12 in quanto i due casi possibili del lancio della moneta si compongono con i sei casi possibili del lancio del dado. I casi favorevoli sono due, uno per il lancio della moneta che si compone con i due casi favorevoli nel lancio del dado. Quindi si tratta di moltiplicare le probabilità dei singoli eventi.
nera, evento considerato ora come avvenuto, non influenza la probabilità di avere nera alla seconda estrazione in quanto la pallina estratta viene rimessa nell'urna. Le domande che posso fare su questo esperimento sono relative allo spazio degli eventi ℘ . ove ={ B 1, B 2 ; B 1, N 2 ; N (^) 1, B 2 ; N 1, N (^) 2 } (^) sono del tipo “Quale è la probabilità che escano palline di diverso colore”, “Quale è la probabilità che la prima pallina sia bianca”, ecc.
29 Nel lancio di due monete qual è la probabilità che una almeno sia Croce? R. P E =
30 Nel lancio di due dadi qual è la probabilità di avere un totale di 8 o due numeri uguali? R. P =
31 Qual è la probabilità nel lancio di due dadi che la somma dei punti sia almeno 9? R. P E =
32 La probabilità che un proiettile colpisca un determinato bersaglio è 0,5. Qual è la probabilità che tre
proiettili lanciati uno dopo l'altro colpiscano tutti il bersaglio. R. P^ E^ =0,
33 Un allievo cuoco prepara la cena. La probabilità che la minestra sia troppo salata è pari a 0,3 e che
l'arrosto bruci sia pari a 0,4. Qual è la probabilità che la cena riesca bene? R. P^ E^ =0,
34 Una scopa elettrica è formata da due apparati: il motore che si guasta una volta su 10 dopo un anno e
la carrozzeria che si rompe una volta su 100 dopo un anno. Che probabilità ha la scopa elettrica di essere funzionante dopo un anno? R. P E =89,1 %
35 Una coppia ha caratteri ereditari tali che ogni loro figlio ha probabilità pari a
di essere malato. I genitori vorrebbero avere due figli. A) Qual è la probabilità che entrambi siano sani? B) Qual è la probabilità di avere almeno un figlio malato R. P A =
; P B =
36 Determinare la probabilità che lanciando tre volte una moneta si presentino
A) 3 Teste B) 1 Testa C) 2 Teste R. P A =
; P B =
; P C =
37 Nel lancio di una moneta e di un dado calcolare la probabilità di:
A) Ottenere Croce e il 6 B) Ottenere Testa e un numero multiplo di 2 C) Ottenere Croce e un numero maggiore di 2 R. P^ ^ A =^
; P B =
; P C =
38 In un'urna ci sono 6 palline, di cui 2 nere e 4 bianche: calcola la probabilità di estrarre palline di
diverso colore nel caso in cui la prima pallina viene rimessa nell'urna.
39 Un'urna U1 contiene 10 palline rosse e 15 bianche, un'urna U2 contiene 12 palline rosso e 13 palline
bianche. Calcola la probabilità che estraendo una pallina da U1 e una pallina da U2 siano entrambe rosse.
Intersezione di due eventi tra loro dipendenti
Esempio
Si richiede la probabilità di avere due palline nere in due estrazioni nella stessa urna dell'esempio precedente, questa volta però senza rimettere la pallina nell'urna. Dato che vogliamo calcolare la probabilità dell'evento intersezione N^ 1 ∩ N^ 2 ^ questa sarà data dalla probabilità dell'evento N 1 moltiplicata per la probabilità dell'evento N 2 dopo che si è verificato l'evento N 1. La probabilità dell'evento N 2 dopo il verificarsi di N 1 non è la stessa dell'esperimento precedente in quanto la pallina estratta non viene rimessa nell'urna. P N (^) 2 / N (^) 1 (^) significa probabilità di N 2 dopo che si è verificato N 1. La probabilità dell'insieme intersezione diventa: P^ N^ 1 ∩ N^ 2 ^ =^
Esaminiamo le probabilità di questo esperimento (estrazione dall'urna senza rimettere la pallina nell'urna) degli eventi elementari appartenenti a Ω con ={^ B 1, B 2 ; B 1, N^ 2 ^ ; N^ 1, B 2 ^ ; ^ N^ 1, N^ 2 } Esempio Una scatola di caramelle contiene 20 caramelle assortite alla frutta, incartate allo stesso modo e quindi irriconoscibili. Di esse 14 sono al limone. Fabio ne mangia 2. Qual è la probabilità che siano tutte e due al limone? Evento E1 = “la prima caramella è al limone” p ^ E1 =^
L' evento E2 = “la seconda è al limone” è dipendente dal primo, perché se Fabio ha mangiato una caramella al limone nella scatola rimangono 19 caramelle di cui 13 al limone. p ^ E2 =^
p E1 ∩ E2 =
43 Uno studente ha la probabilità del 55% di prendere il debito in matematica, del 30% di prendere il
debito in inglese e del 20% di prendere il debito in entrambe le materie. Valutare la probabilità di: A) Avere il debito in matematica nell'ipotesi di averlo già preso in inglese. B) Avere il debito in inglese nell'ipotesi di averlo già preso in matematica. C) Avere il debito in matematica nell'ipotesi di non averlo preso in inglese. D) Avere il debito in inglese nell'ipotesi di non averlo preso in matematica. E) Non avere il debito in matematica nell'ipotesi di averlo preso in inglese. F) Non avere il debito in inglese nell'ipotesi di non averlo preso in matematica. R. P^ ^ A =^67 %^ ;^ P^ B^ =^36 %^ ;^ P^ C =^50 %^ ;^ P^ D =^22 %^ ;^ P^ ^ E =^33 %^ ;^ P^ F^ =^64 % ►9. Esercizi dalle prove Invalsi
44 Se si lanciano contemporaneamente due monete, qual è la probabilità che escano una testa e una
croce? (Prove Invalsi 2005)
45 Qual è la probabilità che su 6 lanci di un comune dado a 6 facce non truccato si abbia per 6 volte il
numero 3? (Prove Invalsi 2005)
46 Un'urna contiene 20 gettoni numerati da 1 a 20. Si estrae un gettone: è un numero pari. Sena
reinserire il gettone, se ne estrae un secondo. Qual è la probabilità di estrarre un numero dispari? (Prove Invalsi 2005)
47 Se lanci un dado una sola volta, quale probabilità hai di ottenere un numero pari minore di 6? (Prove
Invalsi 2006)
48 E' lanciato un dado non truccato a forma di ottaedro (solido regolare a otto facce), le cui facce sono
numerate da 1 a 8. Qual è la probabilità che escca una faccia il cui numero è multiplo di 3? (Prove Invalsi
49 Un mazzo di carte da poker è composto da 52 pezzi, 12 dei quali sono figure. Pescando a caso una
carta, qual è la probabilità che si verifichi l'evento: “esce una figura o un asso”? (Prove Invalsi 2006)
50 Un'urna contiene 50 gettoni colorati. 20 sono di colore verde, 18 di colore rosso, 10 di colore blu.
Qual è la probabilità di pescare un gettone che non sia né verde, né rosso e né blu? (Prove Invalsi 2006)
51 La probabilità di estrarre una pallina rossa da un'urna contenente 100 palline è 3/50. Quante sono le
palline rosse contenute nell'urma? (Prove Invalsi 2006)
52 Si lancia un comune dado a 6 facce non truccato per 8 volte. Qual è la probabilità che al terzo lancio
esca il numero 5? (Prove Invalsi 2005)
53 Data un'urna contenente 30 palline, di cui 6 rosse, 9 gialle, 3 verdi e 12 blu, quale delle seguenti
affermazioni è falsa? La probabilità di estrarre una pallina... A. rossa o gialla è 0,5 B. verde è 0, C. blu o gialla è 0,7 D. rossa o blu è 0, (Prove Invalsi 2005)
54 Se i lanciano contemporaneamente due monete, qual è la probabilità che esca almeno una testa?
(Prove Invalsi 2006)
55 Un'urna contiene 20 palline: 4 bianche, 6 rosse e 10 verdi. Quanto vale il rapporto fra la probabilità di
estrarre una pallina bianca o rossa e la probabilità di estrarre una pallina rossa o verde? (Prove Invalsi 2006)
56 La probabilità di estrarre una pallina bianca da un'urna è 4/10. Quale delle seguenti affermazioni è
compatibile con la precedente? A. L'urna contiene 20 palline bianche, 15 rosse e 5 nere. B. L'urna contiene 40 palline bianche, 40 rosse e 40 nere. C. L'urna contiene 40 palline bianche e 100 rosse. D. l'urna contiene 80 palline bianche, 50 rosse e 70 nere. (Prove Invalsi 2006)
57 In un dado truccato avente le facce numerate da 1 a 6, la probabilità di uscita di un numero è
direttamente proporzionale al numero stesso. Quanto vale la probabilità che, lanciando il dado, esca il numero 5? (Prove Invalsi 2006)
58 Un'urna contiene 50 palline. Marco ne estrae 20 senza rimetterle nell'urna ed osserva che 10 sono nere
e 10 sono rosse. Estraendo una 21-esima pallina, qual è la probabilità che questa si nera? (Prove Invalsi
59 Quanto vale la probabilità che una persona risponda correttamente ad una domanda che prevede solo
una risposta esatta, scegliendo a caso una risposta fra le quattro proposte? (Prove Invalsi 2007)
60 Un'urna contiene 21 palline, ognuna delle quali è contrassegnata da una lettera dell'alfabeto italiano.
Qual è la probabilità che, estraendo a caso una di queste palline, si verifichi l'evento “esce la lettera π”? (Prove Invalsi 2007)
61 In una lotteria i 4 premi sono assegnati per estrazioni successive, partendo dal 1° fino al 4°. Pietro ha
acquistato uno solo dei 100 biglietti venduti. Egli è presente all'estrazione dei premi e l'estrazione del 1° premio lo vede perdente. Qual è la probabilità che Pietro vinca il 2° premio? (Prove Invalsi 2007)
62 Si lanciano due dadi ed escono due numeri il cui prodotto è 6. Qual è la probabilità che uno dei due
numeri usciti sia 2? (Prove Invalsi 2007)
63 Quanti casi possibili si ottengono gettando un dado e una moneta contemporaneamente?
A. 12 B. 8 C. 36 D. 2 E. La risposta esatta non è tra quelle proposte. (Prove Invalsi)
