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PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI
La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito
militare, oggi viene applicata all’industria, nel settore pubblico e nell’economia, si occupa
della risoluzione di problemi che richiedono una scelta e cerca di determinarne la
soluzione ottimale.
La ricerca operativa trasforma i problemi reali in problemi matematici e usa gli strumenti
della matematica per risolverli.
La programmazione lineare è uno dei metodi utilizzati per risolvere problemi di scelta.
Si è in presenza di un problema di programmazione lineare in due variabili quando, il problema si
traduce in un modello matematico costituito da:
a. una funzione obiettivo, lineare in 2 variabili (le variabili hanno tutte esponente uno) dette variabili di decisione , che normalmente esprime un costo (da minimizzare) oppure un ricavo o un guadagno (da massimizzare); b. un sistema di vincoli, espressi da equazioni o disequazioni lineari nelle 2 variabili (cioè di primo grado): sono detti anche vincoli tecnologici ; c. un sistema di vincoli di segno, che esprimono la non-negatività delle variabili, trattandosi di grandezze misurabili.
Quando le variabili di decisione sono due (x e y oppure x 1 ed x 2 ), si può risolvere un
problema di questo tipo con il metodo grafico.
Se la funzione da ottimizzare è in due variabili, ha equazione z=ax+by , essa rappresenta
nello spazio a tre dimensioni un piano che passa per l’origine.
Rappresentando una linea di livello ad esempio z=k con k>0, si riesce a determinare la
direzione dei valori crescenti per le linee di livello, la linea di livello z=0 passa sempre per
l’origine, quindi il vettore che indica la direzione crescente delle linee di livello, si può
pensare applicato nell’origine e alla linea di livello z=k.
Esempio: le frecce nere indicano la direzione crescente delle linee di livello
0
1
2
z=
z=
0
1
2
z=
z=
Z=2x+3y
Z= - 2x - 3y
I vincoli sono dati da un insieme di disequazioni e/o equazioni, le cui soluzioni, sul piano
cartesiano, individuano un poligono convesso o una regione illimitata.
vincoli: x>0 e y>0 e y<-x+1e y<-3x+ 2 vincoli: x>0e y>o e y>-x+
Tutte i punti che stanno nella regione sono detti soluzioni ammissibili , mentre le
coordinate dei vertici del poligono o della regione sono dette soluzioni ammissibili di base :
fra queste ultime va cercata, se esiste, la soluzione ottima del problema.
In corrispondenza di ogni vertice del poligono, infatti, si calcola il valore della funzione
obiettivo, e si sceglie la coppia di numeri reali che rende ottima (cioè massima o minima, a
seconda dei casi) la funzione stessa.
Il teorema fondamentale della programmazione lineare afferma che: il massimo ed il
minimo di una funzione lineare di un numero qualsiasi di variabili soggetta a vincoli espressi
da equazioni e/o da disequazioni lineari, se esistono, si trovano sul contorno o sui vertici
della regione ammissibile, e non al suo interno.
Nel caso particolare in cui in corrispondenza di due vertici consecutivi si ottiene lo stesso
valore della funzione obiettivo, la teoria della programmazione lineare dimostra che lo
stesso valore si ottiene in corrispondenza di un qualsiasi punto del segmento che unisce i
due vertici.
Passaggi da svolgere per risolvere un problema di programmazione lineare :
1) individuare le soluzioni ammissibili rappresentando graficamente le soluzioni dei vincoli
2) tracciare una retta di livello z=k con k>0 e il vettore con origine in O(0;0) e
perpendicolare alla linea di livello
3) individuare la direzione dei valori crescenti per le linee di livello se si cerca un massimo
o quella dei valori decrescenti se si cerca un minimo
4) individuare il punto in cui la funzione z assume il valore ottimale ( minimo o massimo
secondo i casi)
5) calcolare le coordinate del punto individuato
6) sostituire le coordinate del punto individuato nella funzione z e calcolarne il valore.
Il valore massimo si ottiene sia nel punto (425/31,1800/31) sia in ( 50,0) quindi su tutta la retta che unisce i due vertici della regione ammissibile e il valore massimo è 100 euro
ESERCIZIO 2
Una fabbrica di giocattoli produce due tipi di trenini. Il primo tipo è di legno ed il secondo in
plastica.
Il processo produttivo si svolge in tre reparti. La fabbrica impiega 18 operai nel primo reparto, 10
nel secondo e 8 nel terzo. Gli operai lavorano 8 ore al giorno per 5 giorni a settimana. I tempi di
lavorazione, in minuti, richiesti e i relativi profitti sono:
prodotti Reparto 1 Reparto2 Reparto3 Profitti ( euro) Trenini in legno 25’ 40’ 7’ 45 Trenini in plastica 50’ 70’ 10’ 65
Determinare quanti giocattoli produrre per massimizzare il guadagno.
SOLUZIONE:
Contiamo i minuti di lavoro massimi alla settimana in ciascun reparto:
Reparto 1 : minuti di lavoro settimanali 18860*5=
Reparto 2: minuti di lavoro settimanali 10860*5=
Reparto 3 : minuti di lavoro settimanali 8860*5=
Variabili di decisione: x ed y quantità di trenini da produrre a settimana Funzione obbiettivo: profitto totale z=45x+65y Vincoli: 25x+50y<43200 e 40x+70y<24000 e 7x+10y<19200 e x>0 e y>
Grafico della regione ammissibile con linea di livello z=4000 e vettore di direzione di crescita delle linee di livello
Il massimo si ha nel vertice di coordinate (600,0) e il valore massimo è 27000 euro
ESERCIZIO 3: Una industria vuole commercializzare un prodotto dietetico che contiene due sostanze
S1 ed S2 che forniscano una giusta quantità di vitamine: vuole fare una miscela delle due sostanze
che fornisca la giusta quantità di vitamine con il minimo costo.
La prima sostanza costa 0,50 euro all’etto e contiene all’etto 0,8 mg di B 1 , 1mg di B 2 , 0,8 mg di B 6.
La seconda sostanza costa 0,35 euro all’etto e contiene all’etto 0,6 mg di B 1 , 0,6mg di B 2 , 0,9 mg di
B 6.
Il contenuto minimo delle tre vitamine deve essere : 2,8mg di B 1 , 9mg di B 2 e 10 mg di B 6.
SOLUZIONE
Rappresentazione schematica dei dati
Variabili di decisione: x ed y quantità di sostanze da miscelare ( in ettogrammi) Funzione obbiettivo: costo totale z=0,50x+0,35y Vincoli: 0,8x+0,6y>2,8 e 1x+0,6y>9 e 0,8x+0,9y>10 e x>0 e y>
Grafico della regione ammissibile con linea di livello z=10 e vettore di direzione di crescita delle linee di livello.
Poiché si deve rendere minima la funzione obiettivo, si deve considerare la direzione opposta al vettore di crescita. Il vertice che risolve il problema ha coordinate (5;20/3) ottenute intersecando le rette x+0,6y= 9 e 0,8x+0,9y=. La minima spesa all’ettogrammo della miscela è 4,83 euro
- Rispondere alle seguenti domande : a) In un problema di programmazione lineare, le coordinate di una soluzione ammissibile soddisfano il sistema dei vincoli. Vero Falso b) In un problema di programmazione lineare in due variabili, la condizione di non negatività sulle variabili limita la ricerca della soluzione ottima lungo il semiasse delle ordinate positive. Vero Falso c) In un problema di programmazione lineare, la regione ammissibile contiene solo i punti le cui coordinate rappresentano la soluzione ottima del problema. Vero Falso d) In un problema di programmazione lineare in due variabili, le rette associate ai vincoli formano sempre, con il semiasse delle ascisse positive, un angolo ottuso. Vero Falso e) In un problema di programmazione lineare la funzione obiettivo è determinata dalle esigenze dei fornitori dell’azienda che deve risolvere il problema. Vero Falso
S1 S2 Quantità minime Vitamina B 1 ( mg) 0,8 0,6 2, Vitamina B 2 ( mg) 1 0,6 9 Vitamina B 6 ( mg) 0,8 0,9 10 COSTI (euro all’etto) 0,50 0,
8- Massimizzare e minimizzare la funzione f(x,y)=5x+2y , soggetta ai vincoli: x+y < 0 ; 2x+y>10 ; x+2y>10 ; x>0 ;y> 9- max(3x+2y) con i vincoli 3x+2y<120 ; x+y<50 ; x>0 ;y> 10- max(80x+160y) con i vincoli x+y<300 ; y< ; x>0 ;y>0 ris (225,75)
12) Un'azienda tessile produce due tipi di tessuti utilizzando tre filati (lana, poliestere, seta) in
diversa proporzione. Nella tabella sono riportate le quantità di filati che occorrono per realizzare una pezza dei due tessuti (di lunghezza unitaria) e le giacenze del magazzino. Individuare la produzione che rende massimo il ricavo, sapendo che il rapporto tra i prezzi (unitari) dei tessuti A e B è 2/3. Filato Tessuto A Tessuto B Magazzino lana 120 g 120 g 144 Kg = 144ּ 103 g
poliestere 180 g 90 g 180 Kg = 180ּ 103 g seta 60 gr. 180 g 180 Kg = 180ּ 103 g
Soluzione Variabili di decisione: x ed y metri di tessuto A metri di tessuto B Funzione obiettivo: z=(2t)x+(3t)y dove t è un parametro che fa variare il prezzo del tessuto mantendo il rapporto 2/3 tra i prezzi dei tessuti. Nello svolgimento si considera t=1. Vincoli: 120x + 120y ≤ 144 ּ 103 e 180x + 90y ≤ 180 ּ 103 e 60x + 180y ≤ 180 ּ 103 e x>0 e y>
Il massimo ricavo si ha nel vertice A A ( 300, 900 ) intersezione tra le rette x+y= 1200 e x+3y= con 300 m del primo tessuto e 900 m del secondo Il ricavo massimo è di 3.300t Euro.
13) Una falegnameria produce mobili usando legno di pino, di noce e di mogano; del primo ha una
disponibilità mensile di 4 q, del secondo di 3 q e del terzo di 2 q. I modelli di mobile sono soltanto
due: M ed N. Per produrre una unità di M occorrono 2 kg di pino, 4 kg di noce e 1 kg di mogano;
per produrre una unità di N occorrono, invece, 3 kg di pino, 1 kg di noce e 1,5 di mogano.
Se il guadagno unitario per M è di € 300,00, e quello per N è di € 250,00, quanti mobili del tipo M e
quanti del tipo N devono essere prodotti per rendere massimo il guadagno complessivo?
Soluzione : produrre 50 unità al mese del mobile M e 100 unità al mese del mobile N, ottenendo un guadagno mensile di 40000 Euro.
14) Per la produzione di due oggetti A1 ed A2, una ditta ha a disposizione, settimanalmente, 65 kg di materie prime e 40 ore di lavoro macchina; ogni articolo del tipo A1 richiede 2Kg di materie prime e 45 minuti di lavoro macchina; ogni articolo del tipo A2 richiede 1Kg di materie prime e 1 ora di lavoro macchina. Sapendo che il ricavo di ogni pezzo A1 è di 20 euro e di ogni pezzo A2 è di 23 euro, determinare la quantità di oggetti da produrre per avere il massimo ricavo settimanale. Soluzione: il massimo ricavo è 975 euro e si ottiene con 20 oggetti del tipo A1 e 25 oggetti del tipo A
15) Una casa editrice produce cassette per la scuola di due tipi. Le cassette passano attraverso due fasi di lavorazione, che indichiamo con A e B. Le ore necessarie per ogni fase e per ogni cassetta e le ore totali disponibili settimanalmente sono riportate in tabella.
Cassetta 1 Cassetta 2 Max ore Fase A 1 1,6 200 Fase B 2,5 1,6 400
Il guadagno netto è di € 6 per il primo tipo di cassetta e di € 8 per il secondo. Determina come deve
essere organizzata la produzione per avere il massimo guadagno tenendo presente che le richieste
superano la produzione.
Soluzione: Il massimo guadagno di € 1.126 si ottiene producendo 133 cassette del primo tipo e 41 del secondo tipo.
16) Un allevatore vuole ottenere una razione alimentare per bestiame dalla miscela di due
prodotti, P e Q, in commercio che, rispetto a tre caratteristiche nutritive A, B, C sono così
composti:
- ogni chilo di P contiene 0,4 chili di A , 0,3 chili di B e 0,3 chili di C;
- ogni chilo di Q contiene 0,2 chili di A, 0,2 chili di B e 0,6 chili di C. Sapendo che per una corretta alimentazione occorrono giornalmente almeno 2 kg di A, 1 kg di B e 2,4 kg di C, e che il costo del prodotto P è di 0,3 euro/kg e quello del prodotto Q è di 0,5 euro/kg, determinare quanti kg di P e quanti di Q l’allevatore deve miscelare per ottenere una razione giornaliera di costo minimo. (Soluzione) : z=0.3x+0.5y, il punto è (4;2), il costo minimo si ottiene miscelando 4kg di sostanza P e 2kg di sostanza Q. Il costo minimo al kg della miscela è circa (40.3+20.5)/6=0,37 euro /kg.
17) Un imprenditore vuole programmare la produzione di due beni A e B utilizzando due macchine
M1 e M2, che possono lavorare settimanalmente per 40 ore ciascuna. Per produrre una unità di A occorrono 40 minuti di lavoro di M1 e 30 minuti di lavoro di M2; per produrre una unità di B occorrono 30 minuti di lavoro di M1 e 60 minuti di lavoro di M2. Per esigenze di produzione, ogni settimana devono essere prodotte complessivamente almeno 50 unità.
