Misure di Tendenza Centrale e Variabilità: Esercizi e Quiz, Dispense di Statistica

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Capitolo 3

Descrizione Numerica dei Dati

Statistica

Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di:

 Calcolare ed interpretare la media, la mediana, e la moda

di un set di dati

 Trovare il campo di variazione, varianza, scarto quadratico

medio, e coefficiente di variazione e conoscere il loro

significato

 Applicare la regola empirica per descrivere la variazione

dei valori della popolazione attorno alla media

 Spiegare la media ponderata e quando usarla

 Spiegare come una retta di regressione ottenuta con il

metodo dei minimi quadrati stima la relazione lineare fra

due variabili

Obiettivi del Capitolo

Argomenti Trattati nel Capitolo  Cinque numeri di sintesi e diagramma a scatola e baffi  Covarianza e coefficiente di correlazione  Problemi con le misure usate per descrivere i dati numericamente e considerazioni etiche (continuazione)

Descrizione Numerica dei Dati Media Aritmetica Mediana Moda Descrizione numerica dei dati Varianza Scarto Quadratico Medio Coefficiente di Variazione Campo di Variazione Differenza Interquartile Tendenza Centrale Tendenza^ Non Variabilità Centrale (Quantili) Quartili Decili Percentili

Media Aritmetica  La media aritmetica (media) è la misura di tendenza centrale più comune

 Per una popolazione di N valori:

 Per un campione di dimensione n:

Dimensione del campione n x x x n x x 1 2 n n i 1 i        ^ Valori osservati N x x x N x μ 1 2 N N i 1 i         Dimensione della popolazione Valori della popolazione

Media Aritmetica

 La misura di tendenza centrale più comune

 Media = somma dei valori diviso il numero di valori

 Influenzata da valori estremi (outlier)

(continuazione) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media = 4

Calcolo della media aritmetica per

una distribuzione discreta

Un caso particolare di media aritmetica ponderata è quella

calcolata a partire da una distribuzione statistica discreta

(calcolo equivalente a quello che si otterrebbe con I dati non

raggruppati).

Supponiamo di osservare k valori distinti xi con rispettive

frequenze assolute f 1 , f 2 ,... fk e relative p 1 , p 2 ,... pk

 

k i 1 i i k i 1 i i

x p

N

x f

  K i 1 dove N fi

  K i 1 dove n fi

Per una popolazione

Per un campione

 

k i 1 i i k i 1 i i

x p

n

x f

x

Calcolo della media aritmetica per

una distribuzione continua

Un altro caso particolare di media ponderata è il calcolo approssimato del calcolo della media aritmetica di una distribuzione continua, con dati raggruppati in classi di intervallo Siano i valori m 1 , m 2 ,.. ., mk i valori centrali (le semisomme degli estremi) delle k classi e siano f 1 , f 2 ,... fk le frequenze assolute e p 1 , p 2 ,... pk le frequenze relative delle k classi:

Per una popolazione

 Per un campione

 

k i 1 i i k i 1 i i

p m

N

f m

 

k i 1 i i k i 1 i i

p m

n

f m

x

   K i 1 dove N fi

  K i 1 dove n fi

Trovare la Mediana

 La posizione della mediana:

 Se il numero di valori è dispari, la mediana è il valore centrale  Se il numero di valori è pari, la mediana è la media dei due valori centrali

 Nota che non è il valore della mediana, ma la

posizione della mediana nella sequenza ordinata

posizione nella sequenzaordinata

Posizione Mediana

n

n  1

Trovare la Mediana: distribuzione in classi di intervallo  Qualora si considerino variabili ricodificate in classi di intervallo, il calcolo della mediana a partire dalla distribuzione non coinciderà più con quello ottenuto dai dati originari.  Le fasi per il calcolo della mediana sono le seguenti:

1. Individuazione, attraverso la cumulata, della classe mediana, ovvero la classe di intervallo in cui la funzione cumulativa raggiunge o supera il valore 0 , 5.
2. Per determinare quindi il valore della mediana, si uguaglia a 0 , 5 l’espressione analitica della funzione cumulativa nella classe individuata, oppure si impone che l'area dell'istogramma alla sinistra del valore mediano sia 0 , 5.

Moda  Una misura di tendenza centrale  Valore che occorre più frequentemente  Non influenzata da valori estremi  Usata sia per dati numerici che categorici  Può non esserci una moda  Ci può essere più di una moda  Nel caso di variabile continua per intervalli, la classe modale è quella con massima densità di frequenza e come moda solitamente si prende il valore centrale della classe stessa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

No Moda

 Cinque case su una collina presso una spiaggia Esempio Riepilogativo $2,000 K $500 K $300 K $100 K $100 K Prezzi delle case: $2,000, 500, 300, 100, 100,

 La Media è usata in generale, a meno che ci siano valori estremi (outlier)  La mediana è usata spesso siccome non è influenzata da valori estremi.

 Esempio: Il prezzo mediano delle case

può essere riportato per una regione –

meno sensibile agli outlier

Quale misura di tendenza centrale è la “migliore”?

Misure di tendenza non centrale Tendenza Non Centrale (quantili) Quartili Decili Percentili

 Le misure di tendenza non

centrale forniscono

informazioni sulla

distribuzione delle variabili e

in particolare sulle code della

distribuzione stessa