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MATEMATICA
FUNZIONE
Si chiama funzione f di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e
un solo elemento di B.
A variabile reale
Se A e B sono sottoinsiemi di R, la funzione si dice reale di variabile reale.
DOMINIO
L’insieme dei valori di x per cui è definita l’espressione f(x).
CLASSIFICAZIONE
- Trascendenti (ln, sin)
- Algebriche
o Intere (razionali, irrazionali)
o Frazionarie (razionali, irrazionali)
PARI E DISPARI
Sia data una funzione y=f(x), avente dominio D, tale che per ogni x
D anche –x
D.
- Pari: f(-x)=f(x), grafico simmetrico rispetto ad asse y
- Dispari: f(-x)=-f(x), grafico simmetrico rispetto all’origine
FUNZIONE INVERTIBILE
Una funzione f si dice invertibile se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra il dominio della
funzione il suo insieme immagine.
FUNZIONE INVERSA
Si chiama funzione inversa di f, la funzione che associa a ciascun elemento dell’immagine di f la sua
unica controimmagine.
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI
Permette di definire una nuova funzione a partire da due funzioni f e g assegnate.
Date due funzioni f e g, si dice funzione composta di f e g: (g o f)(x)=g(f(x)).
MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME
Sia A un sottoinsieme non vuoto di R.
- Un numero reale M si dice massimo di A quando sono verificate entrambe le seguenti
condizioni:
o M appartiene ad A
o M è un maggiorante (>= a tutti gli altri elementi) di A
- Un numero reale m si dice minimo di A quando appartiene ad A ed è un minorante (<= a tutti
gli altri elementi) di A.
ESTREMO SUPERIORE ED ESTREMO INFERIORE DI UN INSIEME
Sia A un sottoinsieme non vuoto di R.
- Si chiama estremo superiore di A, se esiste, il minimo dell’insieme dei maggioranti di A.
- Si chiama estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dell’insieme dei minoranti di A.
INTORNO DI UN PUNTO
Si chiama intorno (circolare) di un numero reale
x
0
di raggio r, con r>0, l’intervallo aperto (
x
0
-r;
x
0
+r).
Intorno destro: (
x
0
x
0
+r).
Intorno sinistro: (
x
0
-r;
x
0
INTORNO DI MENO INFINITO E DI PIÙ INFINITO
Chiamiamo intorno di meno infinto ogni intervallo di tipo (-
;-M) e intorno di più infinito ogni
intervallo del tipo (M;+
), con M>0.
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Sia A sottoinsieme di R, si dice che
x
0
R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di
x
0
cadono infiniti punti di A.
Punto isolato: punto che appartiene ad A e non è di accumulazione.
LIMITE
Siano x
0
,l ∈ R
¿
( R
¿
=R ∪ {± ∞ }) e sia f(x) una funzione di dominio D, tale che
x
0
sia un punto di
accumulazione per D. Diremo che la funzione f(x) tende a l quando x tende a
x
0
, se per ogni intorno U
di l esiste un intorno V di
x
0
tale che per ogni
x ∈ V ∩ D , con
x ≠ x
0
, risulta f (x) ∈ U.
TEOREMA DELL’UNICITÀ DEL LIMITE
Se una funzione f(x) ammette limite per
x → x
0
con x ∈ R
¿
, questo limite è unico.
TEOREMA DEL CONFRONTO
Siano f(x), g(x), h(x) tre funzioni con
x
0
punto di accumulazione, se esiste un intorno
I (x
0
tale che
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈
[
I
x
0
∩ D
]
−{x
0
e se
lim
x→ x 0
f (x)=lim
x → x 0
h( x )=l
allora
lim
x→ x 0
g( x )=l
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Se per per
x → x
0
con x ∈ R
¿
, la funzione f(x) ammette limite finito l , positivo (negativo), allora esiste
un intorno di
x
0
per ogni x del quale
(−{ x
0
f(x) è positiva.
CONTINUITÀ
Una funzione f, definita in un intorno (completo) di
x
0
, si dice continua nel punto
x
0
quando
lim
x→ x 0
f (x)=f ( x
0
DISCONTINUITÀ
a
specie / con salto:
l
+¿≠ l −¿¿
¿
a
specie / essenziale: almeno uno tra
l
+¿¿
ed
l
−¿ ¿
∄ o=± ∞
a
specie /eliminabile:
l
+¿=l −¿¿
¿
ma ∄ f (x
0
Teoremi della funzione continua
TEOREMA DEGLI ZERI – BOLZANO
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] con f (a)∙ f (b)< 0 , allora la
funzione ammette almeno uno zero, ossia esiste un punto
x
0
∈ ¿ a ; b ¿ .
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f(x) assume un valore
minimo m e un valore massimo M nell’intervallo [a,b]: m<f(x)<M.
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f(x) assume almeno una
volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo nell’intervallo [a,b].
ASINTOTI
Verticali
Sia
x
0
∉ D
lim
x→ x
0
±
f ( x )=± ∞
Orizzontali
lim
x→ ±∞
f ( x )=l ∈ R
Obliqui
Possono presentarsi se non esistono asintoti orizzontali.
y=mx+q m= lim
x →∞
f ( x )
x
q= lim
x →∞
[f ( x )−mx ]
RAPPORTO INCREMENTALE
Rapporto tra l’incremento registrato dalla funzione quando la variabile indipendente passa dal valore
x
0
al valore
x
0
+h
.
DERIVATA
Limite del rapporto incrementale per
h → 0
. Una funzione, definita in un intorno di
x
0
, si dice
derivabile in
x
0
se
lim
h → 0
f
x
0
+h
−f ( x
0
h
esiste ed è finito.
Significato geometrico
Derivata in un punto rappresenta coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.
Insieme delle primitive di
f in
I
G ( x )=F ( x )+ c c ∈ R
INTEGRALE INDEFINITO
L’insieme di tutte le primitive di una funzione f si dice integrale indefinito della funzione f.
∫ f ( x) dx=F ( x ) + c
SOMMA DI RIEMANN
Sia
f : [ a , b ] → R
con
f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ [a , b]
. Consideriamo i punti
a=x
0
, x
1
, x
2
,… , x
n
=b
che suddividono
l’intervallo [ a , b ] in n sottointervalli di uguale ampiezza
∆ x=
b−a
n
Scelto in ciascuno degli intervalli [
x
i− 1
, x
i
] un punto arbitrario
c
i
, si dice Somma di Riemann della
funzione f nell’intervallo [ a , b ] : S
n
∑
i= 1
n
f (c
i
) ∙ ∆ x
INTEGRALE DEFINITO (DI RIEMANN)
Sia
f : [ a , b ] → R
continua, si dice integrale definito di
f su
[a , b] il
lim
n →+∞
S
n
= lim
n →+∞
∑
i= 1
n
f
c
i
∆ x
che viene indicato col simbolo ∫
a
b
f ( x ) dx
FUNZIONE INTEGRALE
Supponia che f sia continua in [ a , b ], per ogni x ∈ [ a , b] , f sarà continua anche nell’intervallo [ a , x ].
Si chiama funzione integrale di f , la funzione F :[ a , b ] → R dove F ( x )=
∫
a
x
f ( t) dt
TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE
Afferma che, sia
f : [ a , b ] → R
continua, esiste almeno un punto
c appartenente all’intervallo
[ a , b ]
tale
che area del rettangolo di altezza f (c ) e base [ a , b ] risulta uguale ad area del trapezoide di base [ a , b ].
∫
a
b
f ( x ) dx=f (c)∙ f ( b−a) quindi
f ( c) =μ→ media integrale (valore medio di f ( x) in
[ a , b ]
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE – TEOREMA DI TORRICELLI – BARROW
Sia f : [ a , b ] → R continua e F :[ a , b ] → R la funzione integrale associata. Allora F è derivabile,
continua ed è una primitiva di f (x), ovvero: F
'
x
=f
x
∀ x ∈ [a , b]
COROLLARIO TEOREMA DI TORRICELLI – BARROW – FORMULA DI NEWTON – LEIBNIZ
Sia
f : [ a , b ] → R
una funzione continua e
F :[ a , b ] → R
una qualunque primitiva di
f , allora:
∫
a
b
f ( x ) dx=[F (x )]
a
b
=F ( b)−F (a)
CALCOLO DELLE AREE
Siano f e g continue su [ a , b ], f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ [a , b], l’area della regione di piano delimitata dai due
grafici è: ∫
a
b
[f ( x )−g(x )]dx
CALCOLO DEI VOLUMI
Consideriamo un solido limitato da due piani perpendicolari all’asse x, che lo intersecano nelle ascisse
a e
b
. Suddivido
[ a , b ]
in
n intervalli di ampiezza
∆ x=
b−a
n
. Scelgo
c
i
in ogni intervallo [
x
i− 1
, x
i
] in modo
che l’area della sezione sul sottointervallo sia
S(c
i
L’approssimazione del volume del solido è V = ∑
i= 1
n
S (c
i
)∙ Δ x
Con
∆ x → 0 , volume solido di sezione
S ( x ) , x ∈ [a , b ] :
V = lim
n→+ ∞
∑
i= 1
n
S
c
i
∫
a
b
S ( x ) dx
Solidi di rotazione:
V =π
a
b
[f ( x ) ]
2
dx
EQUAZIONE DIFFERENZIALE
Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione, e in cui compaiono una o
più derivate della funzione incognita.
Sia
y=f ( x )= y (x) una funzione di classe C
(n )
(D):
n volte derivabile con derivata continua.
L’equazione F ( x , y ( x ) , y
'
( x ) , y
' '
( x ) , … , y
( n)
( x ) )= 0
[1] si dice equzione differenziale.
Dunque è un’uguaglianza in cui l’incognita è una funzione y= y (x), contiene oltre alla funzione e alla
variabile indipendente
x anche le
n derivate della funzione.
Si dice che [1] ha ordine
n (ordine massimo di derivata che compare nell’equazione differenziale [1]).
Soluzione di un’equazione differenziale
y=f ( x )= y (x) si dice soluzione di un’equazione differenziale di un determinato tipo quando l’insieme
delle sue derivate rende l’equazione un’identità.
EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE DEL PRIMO ORDINE
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando si può scrivere nella forma:
y
'
=a ( x ) y+b(x ) essendo
y la funzione incognita e
a ( x ) , b ( x ) due funzioni assegnate, continue in un
intervallo
I
Integrale generale di un’ equazione differenziale lineare del primo ordine
L’integrale generale dell’equazione y
'
=a ( x ) y+ b( x ) è espresso dalla formula:
y=e
A (x)
∫
e
− A ( x )
b ( x ) dx
con
A ( x )=
∫
a ( x ) dx
EQUAZIONE DIFFERENZIALE A VARIABILI SEPARABILI
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice a variabili separabili quando la derivata prima
della funzione incognita può scriversi come prodotto di una funzione della sola variabile indipendente
x e di una funzione nella sola incognita y, cioè quando l’equazione può scriversi nella forma:
y
'
=a
x
b( y )
dove a (x) e b ( y) si suppongono due funzioni continue in opportuni intervalli.
PROBLEMA DI CAUCHY
Deteriminare la soluzione di un’equazione differenziale di primo ordine che ha la condizione
y
x
0
= y
0
viene detto problema di Cauchy. Ha una ed una sola soluzione locale.
y
'
=a ( x ) y +b (x)
y
x
0
= y
0
oppure
y
'
=a ( x) b ( y)
y
x
0
= y
0
TEOREMA – UNICITÀ SOLUZIONE PROBLEMA DI CAUCHY
Un problema di Cauchy del primo ordine, nell’ipotesi che la funzione incognita
y (x ) sia di classe C
1
cioè derivabile con derivata prima continua, ha una ed una sola soluzione locale (nell’intorno di
x
0
EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE DEL SECONDO ORDINE
Un’equazione lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti assume la forma:
y
' '
'
+qy= 0 con p , q ∈ R
Si dice equazione caratteristica dell’equazione lineare omogenea la relazione: λ
2
L’integrale generale dipende dal discriminante dell’equazione caratteristica e, indicate con
λ
1
e
λ
2
le
sue soluzioni, si ha che:
y=c
1
e
λ 1
x
+c
2
e
λ 2
x
se ∆ > 0
y=c
1
e
λx
+c
2
e
λx
se ∆= 0
y=e
αx
(c
1
cosβx+c
2
sinβx)
se ∆ < 0 ( λ
1
=α +iβ ; λ
2
=α−iβ)
