Metodo del Simplesso: Esercizi e Spiegazione, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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Il metodo del simplesso

Il metodo del simplesso

◼ Il metodo del simplesso è un algoritmo general purpose per la soluzione di problemi di programmazione lineare. ◼ Sviluppato da Dantzig nel 1947, tale metodo è molto efficiente ed è utilizzato nei moderni PC per la risoluzione di problemi di grandi dimensioni

Esempio Wyndor Glass

Massimizzare Z=3 X 1 +5 X 2 s.v. Disp. S1 : X 1 ≤ 4 Disp. S2 : 2 X 2 ≤ 12 Disp. S3 : 3 X 1 +2 X 2 ≤ 18 X 1 , X 2 ≥

Esempio Wyndor Glass

◼ La frontiera di un vincolo è una retta che traccia il confine tra i punti che soddisfano il vincolo stesso e quelli che non lo soddisfano. ◼ I punti di intersezione sono i vertici della regione ammissibile ◼ Vertici ammissibili ◼ Vertici non ammissibili

Vertici

◼ Un vertice, in un problema di PL a n dimensioni, è dato dall’intersezione di n vincoli. ◼ Due vertici si dicono adiacenti se condividono n-1 vincoli ◼ Due vertici adiacenti sono collegati attraverso un segmento che giace sulla stessa frontiera comune ◼ Tale segmento viene detto spigolo della regione ammissibile

Esempio Wyndor Glass

◼ Dato che nell’esempio si ha n=2, due vertici sono adiacenti se condividono la frontiera di un singolo vincolo x 1 x 2 Regione Ammissibile La regione ammissibile ha 5 spigoli costituiti dai 5 segmenti che formano la frontiera di questa regione. Da ogni vertice partono due spigoli. Ogni vertice ha due vertici adiacenti (0,0) (0,6) (2,6) (4,3) (4,0)

Osservazione

◼ Relazione tra soluzioni ottime e vertici ammissibili ◼ Se il pb di PL è ammissibile e limitato allora il pb deve avere almeno una soluzione ottima e un vertice. Almeno un vertice è ottimo. Se soluzioni ottime multiple allora 2 vertici ottimi

Metodo del simplesso

◼ Il metodo del simplesso effettua una ricerca tra i vertici della regione ammissibile. Inizializzato su uno di questi vertici, ad ogni iterazione cerca tra i vertici adiacenti se esiste un vertice “migliore”

Metodo del simplesso

◼ Idea risolutiva 1 Il metodo del simplesso concentra la sua attenzione esclusivamente sui vertici. Per trovare la soluzione per un qualunque problema che abbia almeno una soluzione ottima è sufficiente trovare un vertice ammissibile ottimo

Metodo del simplesso

◼ Idea risolutiva 2 Il metodo del simplesso è un algoritmo iterativo Inizializzazione : Determinare un vertice iniziale Test di ottimalità : il vertice corrente è ottimo? Se no Se sì Stop Iterazione : Eseguire una iterazione per determinare un vertice migliore

Metodo del simplesso

◼ Idea risolutiva 4:Il metodo del simplesso nella scelta di un vertice migliore effettua una ricerca sui vertici adiacenti, ottenendo uno spostamento sugli spigoli. Da un punto di vista computazionale è molto più semplice ottenere informazioni sugli spigoli adiacenti

Metodo del simplesso

Idea risolutiva 5: Dopo aver identificato il vertice corrente non si calcola esplicitamente il vertice adiacente ma il relativo tasso di miglioramento che si ha muovendosi lungo il relativo spigolo. Idea Risolutiva 6 Si seleziona uno spostamento solo se il tasso di miglioramento è positivo

Metodo del Simplesso

◼ x 1 ≤4  x 1

• x 3 = 4 ; x 3

Massimizzare Z=3 X 1 +5 X 2 s.v. Disp. S1 : X 1

• X 3 = 4 Disp. S2 : 2 X 2
• X 4 = 12 Disp. S3 : 3 X 1 +2 X 2
• X 5 = 18 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ≥ Forma Aumentata

Metodo del Simplesso

◼ Variabili slack: x

3 , x 4 , x 5 ◼ Se una variabile slack è nulla allora la soluzione si trova sulla frontiera del vincolo ◼ Se una variabile slack assume un valore positivo (negativa ) si trova nella zona ammissibile (inammissibile) rispetto alla frontiera